高一物理教案_第六章_万有引力定律

向心力

向心力：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫做向心力。

向心力的来源：可以由重力、弹力、摩擦力等提供．总之是物体所受的合外力提供了物体做匀速圆周运动所需的向心力。

向心力的方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻在改变。因此向心力是变力。 向心力的作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。

向心力指向圆心，而物体的运动方向沿圆周上该处的切线方向。两者相互垂直，物体在运动方向上所受的合外力为零，在这个方向上无加速度，速度大小不会改变。所以向心力只改变速度的方向。

向心力的大小为 ：

F mr 或F m

2

v

2

r

向心加速度

向心加速度：在向心力作用下物体产生的加速度叫做向心加速度。 向心加速度的方向：总是沿半径指向圆心，每时每刻在不断地变化。 向心加速度大小：

2

a r 2F mr

22 F ma vv

F m a

r r

v

st 2 rT

2 r f频 r

t

vr

2 T

2 f 2 n转速

圆盘上转动的物体及圆锥摆转动的物体的向心力？ 汽车过拱桥时的向心力？ 汽车过凹形路段的向心力？ 过山车与水流星的向心力？

万有引力

1 行星的运动

1、行星运动的两种学说

（1）地心说：地心说的代表人物是亚里士多德和托勒玫。他们从人们的日常经验（太阳从东边升起，西边落下）提出地心说：地球是宇宙的中心，并且静止不动，所有行星围绕地球作圆周运动。

（2）日心说：日心说的代表人物是哥白尼，他在《天体运行论》一书中，对日心说进行了具体的论述和数学论证。认为：太阳是静止不动的，地球和其他行星围绕太阳运动。

2、开普勒定律：开普勒对第谷长期天文观察的结果进行了创造性的研究与思考，开始他想用哥白尼的太阳系模型说明火星的运行轨道，但与第谷的观测结果有8分的误差，从而大胆地摒弃了天体作匀速圆周运动的观点，从事实中寻找原则，建立了开普勒定律，对行星的运动作出了更科学、更精确的描述，回答了“天体怎样运动？”的问题。

（1）开普勒第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨迹上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的焦点上。（参照椭圆的半长轴、焦点进行介绍）

（2）开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

（3）开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨迹的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。即R/T=K，K是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。

注意：①行星的椭圆轨道都很接近圆，所以在中学阶段分析和处理天体运动时，常把椭圆轨道作为圆轨道来处理，这是突出主要因素，忽略次要因素的理想化方法，是研究物理最常用的方法。②开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，但这时K应与行星的质量有关。

3

2

2 万有引力定律

（1）定律的推导

两次简化：①行星运动的椭圆轨道简化成圆形轨道。 ②把天体看成质点。 设行星的质量为m，与太阳的距离为r，运行的速度为v，周期为T，太阳对行星的引力F提供行星做匀速圆周运动的向心力。

F m

v

2

r

又∵v

rT

32

2 rT

∴F 4

2

m

22Tr

r

3

由开普勒第三定律： k

则引力F与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离成反比。根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的引力与太阳吸引行星的力大小相等，那么这个引力也应与太阳的质量成正比。

F

Mmr

2

则F G

Mmr

2

G是一个常量，对任何行星都是相同的。将此关系运用到月球使地球的运动以及其他天体

中，发现它们间的引力跟太阳与行星的引力遵循同样的规律，从而牛顿将此规律推广到自然界中任意两个物体之间，得到具有普遍意义的万有引力定律。

（2）定律的表述

①表述：自然界中任何两个物体都是相同吸引的，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们的距离平方成反比。

②公式：F G

m1m2r

2

。

③引力常量G 6.67 10 11N m2/kg2 说明1：适用于任何两个物体

意义：在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力。 说明2：适用条件：

①万有引力只适用于质点间引力大小的计算，当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力计算。

②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可由公式直接计算，但式中的r是两球心间的距离。

③当研究物体不能看成质点时，可把物体假想分割成无数个质点，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力然后求合力。

3 引力常量的测定

1、 引力常量G的测定 （1）卡文迪许扭秤装置

（2）扭秤实验的原理两次放大及等效的思想。 扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），

扭转角度通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。

T形架在两端质量为m的两个小球受到质量为m’的两大球的引力作用下发生扭转，引力的力矩为FL。同时，金属丝发生扭转而产生一个相反的力矩k ，当这两个力的力矩相等时，T形架处于平衡状态，此时，金属丝扭转的角度 可根据小镜从上的反射光在刻度尺上移动的距离求出，由平衡方程：k F L

G

Fr

2

mm'

k r

2

mm'L

L为两小球的距离，k为扭转系数可测出，r为小球与大球的距离。 （3）G的值

卡文迪许利用扭秤多次进行测量，得出引力常量G 6.71 10 11Nm2/kg2，与现在公认的值6.67 10 11Nm2/kg2非常接近。

2、 测定引力常量的重要意义

（1）证明了万有引力的存在的普遍性。

（2）使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的天体的质量、密度等。 （3）扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。

4 人造卫星、宇宙速度(Ⅰ)

1、人造地球卫星

（1）牛顿对人造卫星原理的描绘。

设想在高山上有一门大炮，水平发射炮弹，初速度越大，水平射程就越大，可以想象当初速度足够大时，这颗炮弹将不会落到地面，将和月球一样成为地球的一颗卫星。

（2）人造卫星绕地球运行的动力学原因：人造卫星在绕地球运行时，只受到地球对它的万有引力作用，人造卫星作圆周运动的向心力由万有引力提供。

（3）人造卫星的运行速度。

设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为r，由于万有引力提供向心力，则 GMmr

2

m

v

2

r

，∴v

可见：高轨道上运行的卫星，线速度小。 提出问题：角速度和周期与轨道半径的关系呢？

vr

T

2

2

可见：高轨道上运行的卫星，角速度小，周期长。

引入：高轨道上运行的卫星速度小，是否发射也容易呢？这就需要看卫星的发射速度，而不是运行速度。

2、宇宙速度 （1）第一宇宙速度 ⑴推导：

问题：牛顿实验中，炮弹至少要以多大的速度发射，才能在地面附近绕地球做匀速圆周运动？地球半径为6370km。

分析：在地面附近绕地球运行，轨道半径即为地球半径。由万有引力提供向心力：

G

MmR

2

m

VR

2

，

得：v

又∵mg G

MmR

2

∴v

7.9 10m/s 7.9km/s

3

结论：如果发射速度小于7.9km/s，炮弹将落到地面，而不能成为一颗卫星；发射速度等于7.9km/s，它将在地面附近作匀速圆周运动；要发射一颗轨道半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于7.9km/s。可见，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难。

⑵意义：第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，所以也称为环绕速度。

（2）第二宇宙速度 大小v2 11.2km/s。意义：使卫星挣脱地球束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，也称为脱离速度。

注意：发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆；等于或大于11.2km/s时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行。

（3）第三宇宙速度。大小：v3 16.7km/s。意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，也称为逃逸速度。

注意：发射速度大于11.2km/s，而小于16.7km/s，卫星绕太阳作椭圆运动，成为一颗人造行星。如果发射速度大于等于16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

3、人造卫星的发射速度与运行速度

（1）发射速度：发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度，一旦发射后再无能量补充，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。

（2）运行速度：运行速度指卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度，当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。

5 人造卫星 宇宙速度(Ⅱ)

（1）轨道处的加速度

卫星正常运行时，地球对它的万有引力提供向心力，即G

Mmr

2

2

2

m

v

r

，则a

v

r

GMr

2

，

此加速度也等于轨道处的重力加速度。因此，卫星不可能处于平衡状态。

（2）卫星中的物体处于完全失重状态：卫星中的物体跟随卫星一起绕地球作匀速圆周运动，受到的引力全部提供圆周运动所需要的向心力，其加速度即为轨道处的重力加速度，而对支持物没有弹力作用，处在完全失重状态。凡是工作原理与重力有关的仪器（如天平、水银气压计

等）在卫星中都无法使用，凡是与重力有关的实验，在卫星中也无法进行。

引导学生思考：在正常运行的卫星中，有一物体自行脱落，该物体作何种运动？ 引入：由于卫星受到的万有引力提供了它绕地球运行的向心力，轨道半径越大的卫星，运行速度越小，不同卫星可能在不同轨道上运行，满足什么样的条件，卫星能和地球自转同步呢？

2、地球的同步卫星：（1）同步卫星与地面相对静止，与地球自转同步，周期为24h。（2）同步卫星的运行方向与地球自转方向相同。（3）同步卫星定点在赤道正上方，离地高度、运行速率是唯一确定的。

分析：万有引力提供卫星运转的向心力，而同步卫星与地球自转同步，所以其轨道平面必定与赤道平面重合，且所有同步卫星都在赤道正上方。

设地球质量M，半径为R，自转周期为T，同步卫星质量m，离地高度h，由牛顿第二定律：G

Mm(R h)

2

m

4 T

2

2

(R h)

∴h

R又∵g

GMR

2

∴h

R

可见：同步卫星的离地高度、线速度大小是唯一确定的。代入具体数据可得h 35800km。

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