高代选讲讲义1章(1)

第一章 多项式

知识点考点精要

一、一元多项式的概念与运算 1、定义 形式表达式

f(x)?anx?an?1xnn?1?...?a1x?a0 ( 1 )

称为数域P上的一元多项式，其中a0,a1,...,an?1,an全属于数域

P，n为非负整数。

数域P上的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记为P[X]。

2、多项式的次数

n在( 1 )式中，如果an?0，那么anx称为多项式（1）

的首项，n称为多项式（1）的次数，记为??f?x???n。

f?x??c,(c?P,c?0)称为零次多项式。

f?x??0称为零多项式，它是唯一不定义次数的多项式。

3、一元多项式的运算及性质 1）加（减）法：设

f(x)?anx?an?1xmnn?1???a1x?a0，

???b1x?b0是数域P上的两个

g(x)?bmx?bm?1xm?1一元多项式。则

f(x)?g(x)?(an?bn)x?(an?1?bn?1)x

1

nn?1???(a1?b1)x?(a0?b0)。

2）乘法：设

f(x)?anx?an?1xmnn?1???a1x?a0， ???b1x?b0是数域Pg(x)?bmx?bm?1xm?1上的两个

一元多项式。则

f(x)?g(x)?anbmxn?m?(anbm?1?an?1bm)xn?m?1???(a1b0?a0b1)x?a0b0。

2）性质

（1）加法交换律： f(x)?g(x)?g(x)?f(x) （2）加法结合律：

(f(x)?g(x))?h(x)?f(x)?(g(x)?h(x)) （3）乘法交换律： f(x)?g(x)?g(x)?f(x) （4）乘法结合律

(f(x)?g(x))?h(x)?f(x)?(g(x)?h(x))

（5）乘法对加法的分配律：

f(x)?(g(x)?h(x))?f(x)?g(x)?f(x)?h(x)

（6）乘法消去律：如果

f(x)?g(x)?f(x)?h(x)且f(x)?0，那么

g(x)?h(x)。

4、多项式的次数定理 设f?x??0,g?x??0 （1）当f?x??g?x??0时，则

??f?x??g?x???max??f??x??,??g?x???;

2

（2）??f?x??g?x?????f?x?????g?x??; （3）??kf?x?????f?x??,?k?P,k?0?. 二、多项式的整除性

1、带余除法（Euclid除法）

设f?x?,g?x??P[X],g?x??0,则存在唯一的

q?x?,r?x??P[X],使得

f?x??g?x?q?x??r?x?,

这里 r?x??0或??r?x?????g?x??，称上式中q?x?为g?x?除

f?x?的商，r?x?为g?x?除f?x?的余式。

2、整除的定义

设f?x?,g?x??P[X],如果存在h?x??P[X],使得

f?x??g?x?q?x?,

称为g?x?整除f?x?,记为g(x)f(x)。否则称g?x?不能整除

f?x?。

3、整除的性质

（1）h?x?g?x?,g?x?f?x?，则h?x?f?x?； （2）若 h?x?g?x?,h?x?（3）若f?x?g?x?,g?x?非零常数。

（4）若h?x?fi?x?,i?1,2,?,m,则

h?x?f?x?，则h(x)f?x?，则f?f(x)?g(x)?；

?x??c?g?x?,c?P为

?f?x?g?x??11f2?x?g2?x????fm?x?gm?x??，

其中gi?x??P?x?,i?1,2,?,m为任意多项式。

3

4、余数定理

用一次多项式g?x??x?c去除f?x?,所得的余式是一个常数r,即

f(x)?(x?c)q(x)?r,r?P,

则r?f(c)，且f?c??0?三、最大公因式

(x?c)f(x)。

1、最大公因式定义

设f?x?,g?x??P[X],如果d?x??P[X]，满足： 1）d(x)f(x),d(x)g(x),

2）若f(x)与g(x)的任一公因式?(x)d(x)

则d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式。f(x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式记为d(x)??f?x?,g?x??。

2、辗转相除法

设f?x?,g?x??P[X],g?x??0,如果

f?x??g?x?q?x??r?x?,

则

?f?x?,g?x????g?x?,r?x??。

3、设f?x?,g?x??P[X], d(x)??f?x?,g?x??, 则存在

u?x?,v?x??P[X],使得

d?x??f?x?u?x??g?x?v?x? 。

4、互素

?,?g??x1）定义 设f?x

4

x)[P若]X,?f(x),g?(?1称, 则

f(x)与g(x)互素。

x?)?1存在 2）充要条件 ?f(x),g(?u(x),v(x),f(x)u(x)?g(x)v(x)?1。

3）互素的性质 （1）

f(x)g(x)h(x),(f(x),g(x))?1?f(x)h(x)

（2）(f(x),g(x))?1,f(x)h(x),g(x)h(x)?f(x)g(x)h(x) （3）(f(x),g(x))?1,(f(x),h(x))?1?（4）

(f(x),g(x))?1?(f(x)?g(x),g(x))?1?(f(x)?g(x),f(x)g(x))?1(f(x),g(x)h(x))?1

四、因式分解及唯一性定理

1、 可约与不可约

数域P上的次数?1的多项式f(x)如果能表示成数域

P上两个次数较低的多项式的乘积，那么f(x)就称为数域

P上的可约多项式，否则就称为不可约多项式。 一次多项式在任何数域上都是不可约多项式。 2、不可约多项式的基本性质

1) p(x)不可约,f(x)为P[X]中的任意多项式

?p(x)f(x)或(p(x),f(x))?1.

2) p(x)不可约,p(x)3、唯一分解定理

f(x)g(x)?p(x)f(x)或p(x)g(x)。

数域P上每一个次数?1的多项式都可以唯一地分解

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成数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式

f(x)?p1(x)p2(x)?ps(x)?q1(x)q2(x)?qs(x)

那么必有s?t,并且适当调换因式的次序后有 pi(x)?ciqi(x),i?1,2?s 这里ci(i?1,2,?s)是一些数域P中的非零常数。

4、标准分解式

数域P上每一个次数?1的多项式f(x)都有唯一标准分解式，

f(x)?cp11(x)p22?ptt(x)

rrr其中c是f(x)的首项系数，p1(x),p2(x),?pt(x)是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而r1,r2,?rt是正整数。

5、重因式

)1) 定义 设p(x?p(x)kP[是X不可约多项式，如果

的kf(而x)p,k?1(x)不能整除f(x)，那么称p(x)是f(x)重因式。

2）如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，那么它是f?(x)的k?1重因式。

3）p(x)是f(x)的重因式?p(x)是f(x)与f?(x)的公因式。

4）多项式f(x)没有重因式? f(x)与5）设多项式f(x)的标准分解式为：

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f?(x)互素。

f(x)?cp11(x)p22?ptt(x)

rrr则

f(x)?f?x?,f?x??'?cp1(x)p2(x)?ps(x)。

六、多项式函数

1、定义

f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0是数域

P上的

多项式，对于每一个c?P都有f(c)?P与之对应，这就确定了数域P上的一个函数关系，称为多项式函数。

2、多项式的根

f(x)?P[X],如果对于数域P中的?,f(?)?0,那么把

?称为f(x)的根。数域P上的n次多项式f(x)，在数域P上至多有

n个根（重根按重数计算）。

3、代数基本定理

每个次数?1的复系数多项式在复数域内有一个根。 4、n次复系数多项式f(x)恰有n个复根；如果?是实系数多项式f(x)的复根，则?的共轭数?也是实系数多项式f(x)的根，因此奇数次实系数多项式f(x)一定有实根。

5、有理多项式

1) 如果一个非零的整系数多项式f(x)的系数互素，则称f(x)是一个本原多项式。

2）任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成

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一个有理数r和一个本原多项式g(x)得乘积，即

f(x)?rg(x)

这种表示法除了相差一个正负号是唯一的。

3）引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.

4）定理：如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

5）整系数多项式有理根的求法

nn?1设f(x)?anx?an?1x?...?a1x?a0是一个整系数多

项式，

rs是它的一个有理根，其中r,s互素，则必有

san,ra0，特别的，当an?1，f(x)的有理根都是整

数，且是a0的因子。

6）整系数多项式可约性的判断（Eisenstein是判别法） 设f(x)?anx?an?1x式，如果存在素数

（1）

nn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项

p，使

p不能整除an；

2 （2） pan?1,an?2,...,a0 ； （3） p不能整除a0. 则f(x)在有理数域上不可约。

6、不同数域上的多项式

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多项式环 C[X]

R[X]

Q[X]

可约性 C上不可约多项式

只能是一次多项式

R上不可约多项式

有一次及含共轭复根的二次多项式

Q上有任意次的不

可约多项式（艾森斯

坦判别法）

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多项式的根

C上n次多项式在C中有n个根

实系数多项式非实复根成对出现

有理系数多项式在有

理数域

中未必有根（整系数

多项式 有理根的求法）

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