初高中衔接教材超好教材

初高中数学衔接教材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目录

1.1 数与式的运算

1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式

1.1.3 二次根式

1.1.４分式

1．2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

3.1.2相似形

3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心”

3.2.2 几种特殊的三角形

3．3圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系

3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

１

２ ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；

①若1，

即24x -+＞4，解得x ＜0，

又x ＜1，

∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，

即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，

即24x -＞4， 解得x ＞4．

又x ≥3，\点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式

…

由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

x ＜0，或x ＞4．

练 习

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >

（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a

c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b

+=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b a b b

-=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1 计算：22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222(1)(1)x x x ??-+-??

３ =242(1)(1)x x x -++

=61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++

=33(1)(1)x x +-

=61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

练 习

1．填空：

（1）

221111()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； （3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

12

x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213

m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212

x x +

+，222x xy y ++，2a 等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等． 一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行

运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式2a 的意义

2a a ==,0,,0.a a a a ≥??

-

（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <．

４ 解： （1）1223b b =；

（2）2(0)a b a b a b a ==≥；

（3）63

3422(0)x y x y x y x ==-<． 例2 计算：3(33)÷-．

解法一：

3(33)÷-＝333

- ＝3(33)(33)(33)

?+-+ ＝33393

+- ＝3(31)6

+ ＝312

+． 解法二：

3(33)÷-＝333

- ＝33(31)- ＝131- ＝31(31)(31)+-+ ＝312+． 例3 试比较下列各组数的大小：

（1）1211-和1110-； （2）

264+和226－. 解： （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-=

==++， 1110(1110)(11

10)11110111101110-

-+-=

==++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．

（2）∵226(226)(226)2226,1226226===－－+－++ 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22， ∴264

+＜226－. 例4 化简：20042005(32)(32)+?-． 解：20042005(32)(32)+?-

＝20042004(32)(32)(32)+?-?-

＝2004(32)(32)(32)??+?-?-?? ＝20041(32)?-

＝32-．

例 5 化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x +

-<<．

解：（1）原式5454=

++ 22(5)2252=+??+ 2(25)=- 25=-52=-． （2）原式=21()x x -1x x =-， ∵01x <<， ∴11x x >>，

所以，原式＝1x x

-． 例 6 已知3232,3232x y -

+==+

-，求22353x xy y -+的值 ． 解： ∵223232(32)(32)103232

x y -++=+=-++=+-， 323213232

xy -+=

?=+-， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=． 练 习

1．填空：

（1）1313

-+＝__ ___； （2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___；

（3）4246543962150-+-=__ ___；

（4）若52x =，则11111111

x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __． 2．选择题： 等式

22

x x x x =--成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x << 3．若22

111

a a

b a -+-=+，求a b +的值． 4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B

具有下列性质： A A M B B M

?=?； A A M B B M

÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．

１ 2．繁分式 像a

b c d

+，2m n p m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2

x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)

A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=??=?

解得 2,3A B ==．

例2 （1）试证：111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910

+++???； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++

n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立． （2）解：由（1）可知

1111223910+++??? 11111(1)()()223910

=-+-++- 1110=-＝910

． （3）证明：∵1112334(1)

n n +++??+ ＝111111()()()23341

n n -+-++-+ ＝1121n -+， 又n ≥2，且n 是正整数，

∴1n ＋1

一定为正数， ∴

1112334(1)n n +++??+＜12 ． 例3 设c e a

=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得

2e 2－5e ＋2＝0，

∴(2e －1)(e －2)＝0，

２ ∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2．

∴e ＝2．

练 习

1．填空题：

对任意的正整数n ，1

(2)n n =+ (11

2n n -+)；

2．选择题： 若22

3x y

x y -=+，则x

y ＝ （ ）

（A ）１ （B ）5

4 （C ）4

5 （D ）6

5

3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y

x y -+的值．

4．计算1

1

11

...12233499100++++????．

习题1．1

A 组

1．解不等式： (1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；

(3) 116x x -++>．

２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．

3．填空：

（1）1819(23)(23)+-＝________；

（2）若22(1)(1)2a a -++=，则a 的取值范围是________；

（3）111

1

1

1223344556++++=+++++________．

B 组

1．填空：

（1）12a =，13b =，则2223352a ab

a a

b b -=+-____ ____；

（2）若22

20x xy y +-=，则22

223x xy y x y ++=+__ __；

2．已知：1

1

,23x y ==，求y

y

x y x y --+的值．

C 组

1．选择题：

（1）若2a b ab b a ---=---，则 （

） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<

（2）计算1

a a -等于 （

） （A ）a - （B ）a （C ）a -- （D ）a -

３ 2．解方程22112()3()10x x x x

+

-+-=． 3．计算：1111132435911++++????． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++????++＜14

．

1.1.1．绝对值

1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －18

1.1.2．乘法公式

1．（1）1132a b - （2）11,24

（3）424ab ac bc -- 2．（1） D （2）A

1.1.3．二次根式 1． （1）32- （2）35x ≤≤ （3）86- （4）5．

2．C 3．1 4．＞

1.1.4．分式

1．12 2．B 3． 21- 4．99100

习题1．1

A 组

1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3

2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61-

B 组

1．（1）37 （2）52

，或－15 2．4． C 组

1．（1）C （2）C 2．121,22x x =

= 3．3655

4．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

４

x 2

－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：

（1）3

2

933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）3

2

933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++

=2(3)(3)x x ++． 或

32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+ ＝2(3)(3)x x ++．

（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．

或

222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----

=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）2

21x x +-； （2）22

44x xy y +-．

解： （1）令221x x +-=0，则解得112x =-+，212x =--，

∴2

21x x +-=(12)(12)x x ????--+---????

=(12)(12)x x +-++．

－1 －2

x x

图1．2－1 －1 －2

1 1

图1．2－2 －2 6

1 1

图1．2－3 －ay －by

x x

图1．2－4 －1 1

x y

图1．2－5

５ （2）令2244x xy y +-=0，则解得1(222)x y =-+，1(222)x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(12)][2(12)]x y x y +-++．

练 习

1．选择题：

多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．

习题1．2

1．分解因式：

（1） 31a +； （2）424139x x -+；

（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．

2．在实数范围内因式分解：

（1）253x x -+ ； （2）2223x x --；

（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．

3．ABC ?三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状．

4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

1.2分解因式

1． B

2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++

（3）(12)(12)x x ---+ （4）(2)(22)y x y --+．

习题1．2

1．（1）()()

211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+- （3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-

2．（1）51351322x x ?

???+--- ??? ???????； （2）()()

2525x x ---+； （3）2727333x y x y ?

???-+++ ??? ???????

； （4）()3(1)(15)(15)x x x x -+---+． 3．等边三角形

4．(1)()x a x a -++

2.1 一元二次方程

６ 2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

2224()24b b ac x a a

-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x 1，2＝242b b ac a

-±-； （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a +

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x 1，2＝242b b ac a

-±-； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；

（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

2142a a x ++=， 2242

a a x -+=． （3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，

所以，

①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根

x 1＝1，x 2＝a －1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，

所以

①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根

111x a =+-， 211x a =--；

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非

常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝

b

a

-，x1·x2＝

c

a

．这一关系也被称为

韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)程x2＋px＋q＝0的两根，出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0，

∴k＝－7．

所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3

5

．

所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．

∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，

即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，

化简，得m2－16m－17＝0，

解得m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x，y，

则x＋y＝4，①

xy＝－12．②

由①，得y＝4－x，

代入②，得

x(4－x)＝－12，

即x2－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴1

1

2, 6,

x y =-

?

?

=?或2

2

6,

2.

x

y

=

?

?

=-?

因此，这两个数是－2和6．

７

８ 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

x 2－4x －12＝0

的两个根．

解这个方程，得

x 1＝－2，x 2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．

（1）求| x 1－x 2|的值；

（2）求22

1211x x +的值； （3）x 13＋x 23．

解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，

∴1252x x +=-，1232x x =-）22

221

21212222

2

221212125325()2()3()2113722439()9()24

x x x x x x x x x x x x --?-+++-+=====?-． （3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2] ＝(－

52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则 ，2242b b ac x a

---=， ∴| x 1－x 2|＝2224424222b b ac b b ac b ac a a a

-+------= 24||||

b a

c a a -?==． 于是有下面的结论：

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||

a ?（其中Δ＝

b 2－4a

c ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．

解：设x 1，x 2是方程的两根，则

x 1x 2＝a －4＜0， ①

且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②

由①得 a ＜4，

由②得 a ＜174

． ∴a 的取值范围是a ＜4．

练 习

1．选择题：

９ （1）方程222330x kx k -+=的

习题2.1

A 组

1．选择题:

（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2

（2）下列四个说法：

①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73

-

； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．

（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是

．

（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．

3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个

相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．

B 组

1．选择题:

若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为

（ ）

（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0

2．填空:

（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．

（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．

3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．

4．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9

习题2．1

2．（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝

2006．

（2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)

＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．

3．（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．

（2）∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1． 4．（1）| x 1－x 2|＝24||

b a

c a -，122x x +＝2b a -；（2）x 13＋x 23＝333abc b a -． 5．∵| x 1－x 2|＝164242m m -=-=，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．

C 组

1．（1）B （2）A

１０

（3）C 提整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5． （3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝1

8

， ② ①2÷②，得

12

21

x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=，

∴322λ=±．

4．（1）Δ＝22(1)20m -+>；

（2）∵x 1x 2＝－24

m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．

①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2

－2x －4＝0，

∴115x =+，215x =-．

②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，

∴m ＝0．此时，方程为x 2

＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．

5．设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得

(x 1－1)( x 2－1)

2.2.1 二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图像和性质

问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2

的图象之间存在怎样的关？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝

12

x 2

，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2

的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2

与y ＝x 2

的图象之间所存在的关系．

先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x 2

…

18

8

2

2

8

18

从表中不难看出，要得到2x 2

的值，只要把相应的x 2

的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图

2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2

的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同

学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2

的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2

＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 图2.2-2

x

y

O －1

y ＝2x 2

y ＝2(x ＋1)2

y ＝2(x ＋1)2＋1

y ＝x 2

y ＝2x 2

图2.2-1

x

O

y

１１ 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a

-时，函数取最小值y ＝2

44ac b a

-． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a

-时，函数取最大值y ＝2

44ac b a -． 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，

∴函数图象的开口向

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：

x /元 130 150 165

y /件 70 50 35

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之

１２ 间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于

设每天的利润为z （元），则

z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000

＝－(x －160)2＋1600，

∴当x ＝160时，z 取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的

图像，求b ，c 的值．

解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2

b )224b

c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到2

2(4)224

b b y x

c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以， 240,220,4b b c ?--=????-+=??

解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2

的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋

c 的图像．

由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图

像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．

解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；

（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；

（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．

y ① x y O －2 a a 2

4 图2.2－6 x y O a －2 2 4 a 2 ② －2 x y O a a 2 4 ③

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

练习

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）

（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；

当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0．①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

１３

１４ 与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的两根，所以 x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a ， 即 b a ＝－(x 1＋x 2)， c a ＝x 1x 2． 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2b c x x a a ++) = a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]

＝a (x －x 1) (x －x 2)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x

－x 1) (x －x 2) (a ≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y ＝x ＋1上，

所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．

∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<，

∵二次函数的图像经过点（3，－1），

∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．

∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，

展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，

顶点的纵坐标为 22

12444a a a a

--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，

∴|－4a |＝2，即a ＝12

±．

１５ 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322

x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴对称轴为直线x ＝－1．

又顶点到x 轴的距离为2，

∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，

由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．

∴a ＝－12，或a ＝12

． 所以，所求的二次函数为y ＝－

12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

22,8,

842,a b c c a b c -=-+??-=??=++?

解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．

所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式

来求二次函数的表达式？

练 习

1．选择题:

（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定

（2）函数y ＝－12

(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a

(a ≠0) ．

（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

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