2019高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 第1课时 不等式

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊第1课时 不等式与不等关系

1．(2018·北京大兴期末)若a<5，则一定有( ) 22

A．aln<5ln

3322

C．|aln|<|5ln| 33答案 D

2．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( ) A．a>b C．lg(a－b)>0 答案 D

解析 方法一：利用性质判断．

b22

方法二(特值法)：令a＝－1，b＝－2，则a1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三项．故选D.

a1

3．设a∈R，则a>1是<1的( )

aA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

1111

解析 若a>1，则<1成立；反之，若<1，则a>1或a<0.即a>1?<1，而<1错误!a>1，故选A.

aaaa11

4．若a，b为实数，则＜成立的一个充分而不必要的条件是( )

abA．b＜a＜0 C．b(a－b)＞0 答案 A

111111

解析 由a>b?＜成立的条件是ab＞0，即a，b同号时，若a＞b，则＜；a，b异号时，若a>b，则＞.

ababab5．(2017·广东东莞一模)设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式成立的是( ) A．a－b>0 C．a－b<0 答案 D

1

6．设a，b为实数，则“0

aA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 D

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2

2

2

2

22

B．|a|ln<5ln

3322

D．a|ln|<5|ln|

33

b

B.<1 a1a1b

D．()<()

33

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．a＜b D．a＞b

B．a＋b>0 D．a＋b<0

33

呵呵复活复活复活 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊111

解析 一方面，若0b>，∴b<不成立；另一方面，若b<，则当a<0时，ab>1，∴0

aaa不成立，故选D.

7．已知00 C．2>2 答案 D

13

解析 方法一(特殊值法)：取a＝，b＝验证即可．

44

1

方法二：(直接法)由已知，0

48．设011

解析 方法一(特殊值法)：取b＝，a＝.

42方法二(单调性法)： 0y＝log1x在(0，＋∞)上为减函数，

2∴log1b>log1a，B不对；

22a>b>0?a>ab，D不对，故选C.

9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室 C．两人同时到教室 答案 B

ss4s解析 设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0

v1v2v1＋v2ss4ss（v1＋v2）－4sv1v2s（v1－v2）

而＋－＝＝>0， v1v2v1＋v2v1v2（v1＋v2）v1v2（v1＋v2）ss4s故＋>，故乙先到教室． v1v2v1＋v2

10．(2018·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( ) A．lg2 C．(lg2)

2

2

2

22

b

a2ab

B．2

a－b

>1

D．log2(ab)<－2

B．log1b

22D．a

2

B．乙先到教室 D．谁先到教室不确定

B．lg2 D．lg(lg2)

呵呵复活复活复活 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊答案 A

解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0； 112

lg2－(lg2)＝lg2(－lg2)>lg2(－lg10)＝0，

22即lg2>(lg2)；

1

lg2－lg2＝lg2>0，即lg2>lg2.

2所以最大的是lg2.

11．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a C．a>c>b 答案 D

解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.

111

12．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz>0，设M＝＋＋，则( )

xyzA．M>0 C．M＝0 答案 B

111yz＋xz＋xy

解析 ∵xyz>0，∴x≠0，y≠0，z≠0.又∵x＋y＋z＝0，∴x＝－(y＋z)，M＝＋＋＝＝

xyzxyzyz＋x（y＋z）yz－（y＋z）（y＋z）－y－z－yz123222

＝＝.∵－y－z－yz＝－[(y＋z)＋z]<0，xyz>0，∴M<0.

xyzxyzxyz24故选B.

ππ

13．(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．

223ππ

答案 (－，)

22

ππ3ππ

解析 ∵－<α<β<，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－<2α－β<. 2222(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)

解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.

1

14．(2017·《高考调研》原创题)设α∈(0，)，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系

2为________． 答案 T1

解析 T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.

2

2

2

B．b>c>a D．a>b>c

B．M<0 D．M不确定

呵呵复活复活复活 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b. 答案 <

解析 (ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，

∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1

(2)若a>0，b>0，则不等式－b<

x11

答案 (－∞，－)∪(，＋∞)

ba

1

解析 由已知，－b<0，a>0，∴∈(－b，a)＝(－b，0)∪{0}∪(0，a)．

x11

∴x∈(－∞，－)∪(，＋∞)．

ba

16．设a>b>c>0，x＝a＋（b＋c），y＝b＋（c＋a），z＝c＋（a＋b），则x，y，z的大小顺序是________． 答案 z>y>x

解析 方法一(特值法)：取a＝3，b＝2，c＝1验证即可．

方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y－x＝b＋(c＋a)－a－(b＋c)＝2c(a－b)>0，∴y>x，即y>x. z－y＝c＋(a＋b)－b－(c＋a)＝2a(b－c)>0， 故z>y，即z>y，故z>y>x.

ab11

17．已知a＋b>0，比较2＋2与＋的大小．

baab答案 解析

ab112＋2≥＋ baab

ab?11?a－bb－a2＋2－?＋?＝2＋2＝ ba?ab?ba

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

222222?11?（a＋b）（a－b）.

(a－b)?2－2?＝22

ab?ba?

（a＋b）（a－b）

∵a＋b>0，(a－b)≥0，∴≥0. 22

ab

2

2

ab11∴2＋2≥＋. baab

18．已知a>0且a≠1，比较loga(a＋1)和loga(a＋1)的大小． 答案 loga(a＋1)>loga(a＋1) 解析 当a>1时，a>a，a＋1>a＋1. 又y＝logax为增函数， 所以loga(a＋1)>loga(a＋1)； 当0loga(a＋1)．

综上，对a>0且a≠1，总有loga(a＋1)>loga(a＋1)．

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

呵呵复活复活复活 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊

1．(2016·山东)已知实数x，y满足aln(y＋1) C．x>y

3

3 2

2

x

y

B．sinx>siny D.

11> 22

x＋1y＋1

答案 C

解析 方法一：因为实数x，y满足ay. 对于A，取x＝1，y＝－3，不成立； 对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；

对于C，由于f(x)＝x在R上单调递增，故x>y成立； 对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．选C.

方法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x，y的大小不确定，故选项A、D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立． 2．(2017·北京平谷区质检)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： cd

①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；

abcd

②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；

abcd

③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.

ab其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2 答案 D

cdbc－adcdbc－ad

解析 对于①，∵ab>0，bc－ad>0，－＝>0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又－>0，即>0，

ababababcdbc－ad

∴②正确；对于③，∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正确．

abab3．(2017·浙江温州质检)设a，b∈R，则“a>1，b>1”是“ab>1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 a>1，b>1?ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b＝－2时，ab＝4>1.故选A. 4．(2017·湖北黄冈质检)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( ) A．xy>yz C．xy>xz 答案 C

5．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )

B．xz>yz D．x|y|>z|y| B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．1 D．3

2

2

3

3

3

x

y

呵呵复活复活复活

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊A．a>b＋1 C．a>b 答案 A

2

2

B．a>b－1 D．a>b

3

3

解析 ①由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b.而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1；②B是非充分必要条件；③C是非充分也非必要条件；④D是充要条件，故选A. 6．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) A．a>b 11C.< ab答案 D

解析 方法一：(特殊值法)

令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，C均错，故选D. 方法二：(直接法) ∵a>b，c＋1>0，∴

2

2

2

B．a|c|>b|c| D.

ab>2 c＋1c＋1

2

ab

>2，故选D. c＋1c＋1

2

7．如果a，b，c满足c解析 由题意知c<0，a>0，则A，B，D一定正确，若b＝0，则cb＝ab.故选C. 8．已知a>b>0，且ab＝1，设c＝A．P

解析 因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1，02ab＝2，0

ab2222

9．已知有三个条件：①ac>bc；②>；③a>b，其中能成为a>b的充分条件的是________．

cc答案 ①

解析 由ac>bc可知c>0，即a>b，故“ac>bc”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件．

10．(2017·皖南七校联考)若a abC．|a|>|b| 答案 B

B．2>2 1a1b

D．()>()

22

a

b

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．c(b－a)>0 D．ac(c－a)>0

2

，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则有( ) a＋b

B．M

2

<1，所以logca

呵呵复活复活复活 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊1111

解析 由a0，因此a·成立；由a－b>0，因此|a|>|b|>0成立；又

ababab1x1a1b

y＝()是减函数，所以()>()成立．

222

11．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( ) A．a>b C．a

解析 a＝m＋1－m＝故选C.

12．已知a<0，－1解析 ∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a0，∴ab>ab.∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a

13．设a，b为正实数，现有下列命题：

112233

①若a－b＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a－b|＝1，

ba则|a－b|<1.

其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④

解析 对于①，a－b＝(a－b)(a＋b)＝1，若a－b≥1，又a>0，b>0，则a＋b>a－b≥1，此时(a＋b)·(a－21122

b)>1，这与“a－b＝(a＋b)(a－b)＝1”相矛盾，因此a－b<1，①正确．对于②，取a＝2，b＝，有－＝

3ba1，此时a－b>1，因此②不正确．对于③，取a＝9，b＝4，有|a－b|＝1，但此时|a－b|＝5>1，因此③不正确．对于④，由|a－b|＝1，得|a－b|(a＋ab＋b)＝1，|a－b|(a＋ab＋b)>|a－b|·(a－2ab＋b)＝|a－b|，于是有|a－b|<1，|a－b|<1，因此④正确． 综上所述，其中的真命题有①④.

14．(2018·吉林一中期末)若0

A. 2C．2ab 答案 D

11

解析 方法一：0a，所以2a<1，所以0，所221222

以0.可排除C项．再对B，D两项作差有23211222222

a＋b－b＝(1－b)＋b－b＝2b－3b＋1＝2(b－)－.把结果视为关于b的函数，定义域b∈(，1)，得a

482

B．a＋b D．b

2

2

3

33

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．a＝b

D．a，b的大小不确定

1

，b＝m－m－1＝，因为m＋1＋m>m＋m－1，所以a

m＋1＋mm＋m－1

1

呵呵复活复活复活 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊＋b－b<0，所以a＋b

方法二：用特殊值法．根据题目条件0

15．(2018·湖南长沙雅礼中学月考)已知log1b

444A．2>2>2 C．2>2>2 答案 A

解析 因为log1ba>c，又因为指数函数y＝2是

4444单调增函数，所以2>2>2，故选A.

16．已知2<2<1，则下列结论错误的是( ) A．a

解析 因为函数h(x)＝2在R上单调递增，由2<2<1，即2<2<2，可得b

排除A，C；由>0，>0，a≠b，可得＋>2，排除B，选D.

abab

x

b

a

b

a

0

2

2

2

22

2

b

a

b

a

c

x

c

b

a

b

a

c

2

2

222

B．2>2>2 D．2>2>2

c

a

b

abc

ba

B.＋>2 ab11D.> ab

呵呵复活复活复活