存在性问题

1、（12年.沈阳25题）已知，如图，在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2，0),点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=?2x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE；

（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（22?1） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ．．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

2、（12毕节27） （本题16分）如图，直线l1经过点A（-1，0），直线l2经过点B(3,0), l1、l2均为与y轴交于点C(0,?3),抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过A、B、C三点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;

[www.#&zzst%e~p.c@om](3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。

3、（ 2012青海西宁，20，2分）如图7，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动。小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标( -5 , 0 )和( 5 , 0 )。请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标

4、(12年.枣庄25分)

如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二

0?．B点在抛物线y?象限，点C的坐标为??1，121过点B作BD?xx?x?2的图象上，

22轴，垂足为D，且B点横坐标为?3．

（1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y A

B

C O x D (第25题图)

5．（2012甘肃兰州4分）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为【 】

7779A． B．1 C．或1 D．或1或

44446．（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

y A O B x

7．（2012?阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2

8陕西24．（本题满分10分） 如图，二次函数y?221x—x的图像经过△AOC的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n) 33(1) 求A、B的坐标

(2) 在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形

①、这样的点C有几个？

②、能否将抛物线y?221x—x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C33两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。

9.( 12丹东)

y?ax2?2ax?c已知抛物线 与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且OC?3OA． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；

（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将

正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设

正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）. 求：①s与t之间的函数关系式；

②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如

果不存在，请说明理由．

（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存

在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

y y F A O B x A O B x E D C C P 图1 图2

第26题图

10．（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

22

x35上． 2(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

11．（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

2

y M B C

D E A O

12山西26. (本题14分) 在直角梯形OABC中，CB//OA，?COA=90?， CB=3，OA=6，BA=35。分别以OA、OC边所在直线为 x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系。 (1) 求点B的坐标；

(2) 已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F。

求直线DE的解析式；

(3) 点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使

以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出 点N的坐标；若不存在，请说明理由。

[21x F 13．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0． （1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

14成都28．(本小题满分12分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半

?1:5轴上．已知OA:OB，OB?OC，△ABC的面积S?ABC?15，抛物线

y?ax2?bx?c(a?0)经过A、B、C三点。

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15.(2012湖北潜江，24,12分）如图抛物线y?ax?bx?2交x轴于A（－1，0）、B（4，0）

两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点.

⑴求抛物线解析式及D点坐标；

⑵点E在x轴上，若以A、E、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求此时P点的坐标； ⑶过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q?，是否存在 点P使Q?恰好在x轴上，若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

2y y C D C D A O B x A O B x 备用图

16、（ 2012青海西宁，28，12分）

如图11，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，已知A（0, 4）、C（5, 0）。作∠AOC的角平分线交AB于点D，连接DC，过D作DE⊥DC交OA于点E。 （1）求点D的坐标；

（2）求证：△ADE≌△BCD； （3）抛物线y?4224x?x?4经过A、C两点，连接AC。 55探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M。是

否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。

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