集合论与图论 离散数学 模拟题1

一．列式题。用谓词表示法表示如下集合： 1． 所有偶数组成的集合A

A={x| x∈Z ∧ x mod 2 =0}. 2． 所有奇数组成的集合B

B={x| x∈Z ∧ x mod 2 =1}. 3． 10的整倍数组成的集合A

A={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}. 4． 5的整倍数组成的集合B

A={x| x∈Z ∧x mod 5 =0}.

5． 方程x2-1=0的所有实数解的集合B。

B={x|x∈R ∧x2-1=0}

6． 小于5的非负整数组成的集合A：A={x | x ∈ N ∧ x < 5 }.

二．判断题 1．（ F ）包含三个元素的集合A表示成：A=（1，2，3）。 2．（ F ）集合A ={1，2，3}与集合B ={2，3，1}是两个不同的集合。 3．（ T ）R=Φ是一个二元关系。 4．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>}，则R是A上自反的关系。 5．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>}，则R是A上对称的关系。 6．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<1, 3>}，则R是A上反对称的关系。 7．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>,<2, 2>}，则R是A上传递的关系。 8．（ F ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<2, 3>}，则R是A上传递的关系。 9．（ T ）R是R的子集。 10．（ T ）设f：A→B是双射，则称f-1：B→A是它的反函数。这个反函数也是双射的。

三．计算题

1．求集合A={1, 2, 3} 的所有子集？ 答：A的0元子集，只有一个?，

A的1元子集，即单元集，有三：{1}、{2}、{3}； A的2元子集有三：{1，2}、{2，3}、{1，3}；

A的3元子集就是它本身{1,2,3} ，因为A就是三元集。 2．写出集合A={0,1,2,3}的幂集P(A)? 答：P(A)={?, {0}, {1}, {2}, {3},

{0,1},{0,2},{0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {0,1,2,}, {0,1,3,} {0,2,3,}, {1,2,3},A }

3．设A={a,b,c},B={a},C={b,d},求A∪B, A∪C, A∩B,B∩C, A-B,B-A,A-C,B-C?

答：A∪B={a，b，c}，A∪C={a，b，c，d}，A∩B={a}，B∩C=?，A-B={b，c}，

B-A=?，A-C={a,c}，B-C=B。

4．A={a，b，c}，B={b，d}，求A?B？ 答：A?B={a，c，d}。

5．设E={a，b，c ，d}， A={a，b，c}，求~A？ 答：~A={d}。

6．已知A={1,2}，求P(A) ? A？

答：P(A)={ ?,{1}, {2},{1,2}}，

P(A) ? A = {, ,<{1}, 1>, <{1}, 2>,<{2}, 1>, <{2}, 2>,<{1,2}, 1>, <{1,2}, 2>,} 7．A={1,2,3,4},R={<1,1>, <1,2>, <2,3>, <2,4>, <4,2>}。求R的关系矩阵？ 答：R的关系矩阵为：

?1100? ?0011? ?MR???0000?

??0100 ??8．关系R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>, <4, 3>},求关系R的定义域 、值域和域？

答：R的定义域 dom R = { 1，2，4 }，值域 ran R= { 2，3，4 }，域fld R= { 1，2，3，4}。 9．设A= {1, 2, .., 8},A上的关系R= { | x, y ∈ A∧x ≡ y (mod3) }，求A中各元素的等价类。

解：对于元素1，有：1R1, 1R4, 1R7。所以，[1] = {1, 4, 7}。

对于元素2，有：2R2, 2R5, 2R8。所以，[2] = {2, 5, 8}。 对于元素3，有：3R3, 3R6。所以，[3] = {3, 6}。

对于元素4，有：4R4, 4R1, 4R7。所以，[4]= {4, 1, 7}= [1]。 对于元素5，有：5R5, 5R2, 5R8。所以，[5]= {5, 2, 8}= [2]。 对于元素6，有：6R6, 6R3。所以，[6]={6, 3}= [3]。

对于元素7，有：7R4, 7R1, 7R7。所以，[7]= {4, 1, 7}= [1] =[4]。 对于元素8，有：8R5, 8R2, 8R8。所以，[8]= {5, 2, 8}= [2] = [5]。

四．简答题。

1．判断以下关系的性质

对称的。但不是自反的，也不是传递的。

反自反的，反对称的。同时又是传递的。

反对称的，自反的，但不是传递的。

五．证明题

1．设A= {1, 2, .., 8}, A上的关系R= { | x, y∈ A∧x ≡ y (mod3) }，

求证：R是A上的等价关系。 证明：因为对于所有的x∈A，有

x ≡ x (mod3) ，所以关系R是自反的。

同时对于所有的x,y∈A，若x ≡ y (mod3) ，则有y ≡ x (mod3)，所以关系R是对称的。 对于所有的x, y, z ∈ A，若x ≡ y (mod3)， y ≡z (mod3)，则有 x ≡ z (mod3)，所以关系R是传递的。 2．求证：( A?B)?B?A?B( A?B)?B证明： ?(A?~B)?B ?(A?B)?(~B?B)

?(A?B)?E

?A?B

?(A?B)?B?A?B

六．有穷集合计数题

1．某班有学生25人，其中会打篮球的有14人，会打排球的有12人，会打网球的有6人，有6人既会打篮球又会打排球，有5人既会打篮球又会打网球，还有2人三种球都会打。又已知6个会打网球的学生都会打另外一种球类（篮球或排球）。 问：什么球都不会打的学生有几人？

解：设A、B、C分别表示会打排球、网球、篮球的学生的集合。则根据题意可画出文氏图：

A

y

B x 0 2 3 4 k z

C

假设：会打排球和网球，但不会打篮球的学生有x人，只会打排球或篮球的学生分别有y人和z人，什么球都不会打的学生有k人。

则由文氏图可知：x+2+3+0=6 ，y+x+2+4=12，z+4+2+3=14。 解得：x=1，y=5，z=5，k=5。

答：什么球都不会打的学生有五人。

((A?B?C)?(A?B))?((A?(B?C))?A)七．化简题

解：根据吸收律，原式 ?(A?B)?A?(A?B)?~A ?(A?~A)?(B?~A) ???(B?~A)

?B?~A?B?A.八．画图题

1．已知 G = < V, E >,其中 V = {v1, v2, v3, v4, v5 }, E = { (v1, v2), (v1, v2), (v1, v3), (v3, v2), (v3, v3), (v3, v4) }，画出图G.

v4 v1

e3

e6

e1

e2

v3

e5

e4

v2

2．画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图.

答：4阶3条边的非同构的无向简单图有三个，其图如下：

九．判断下列各图是否是 欧拉图？是否是哈密尔顿图？

(1) (2) (3)

(4) (5) (6) 答：1是 欧拉图。1和4 是哈密尔顿图。

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