（期中复习题）第一章勾股定理

名师教育 努力到无能为力，拼搏到感动自己！

第一章 《勾股定理》复习题

本检测题满分：100分，时间：90分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在△中，，，，则该三角形为（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来 的（ ）

A.1倍 B.2倍 C.3倍 D. 4倍 3.下列说法中正确的是（ ）

A.已知a,b,c是三角形的三边，则a?b?c B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

222C.在Rt△中，∠°，所以a?b?c

D.在Rt△中，∠°，所以a?b?c 4.如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（ ） A.313 B.144 C.169 D.25 A B

D A

C

C B 第4题图 第5题图

5.如图，在Rt△

中，∠

°，

cm，

cm，则其斜边上的高为（ ）

222222A.6 cm B.8.5 cm C.

6030cm D.cm 1313

6.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为 C.三边长之比为 D.三内角之比为 7.如图，在△

，则

中，∠

°，

，

，点

在

上，且

，

的长为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9 M B

N

A

C

第7题图

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8.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为短路程是（ ）

A.6 cm B.8 cm 9.如果一个三角形的三边长

6cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最π

C.10 cm D.12 cm

，则这个三

满足

角形一定是（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 腰三角形 10.在△

222 C.钝角三角形 D.等

中，三边长满足b?a?c，则互余的一对角是（ ）

B.∠与∠

C.∠与∠

D.∠、∠、∠

A.∠与∠

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知两条线段的长分别为5 cm、12 cm，当第三条线段长为________时，这三条线段可

以构成一个直角三角形. 12.在△13.在△

中，

cm，

cm，

⊥

于点，则

_______.

中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼

A 于点，

D 成的长方形的面积为__________. 14. 如图，在Rt△且，是 .

16. 若一个直角三角形的一条直角边长是长短

，另一条直角边长比斜边

中，

，则点到

，平分，交的距离是________.

15.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数

B

第14题图

C

，则该直角三角形的斜边长为 ________.

17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形

的面积之和为___________cm.

2

18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.

三、解答题（共46分）

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19.（6分）若△哪个角是直角. （1）BC?三边长满足下列条件，判断△是不是直角三角形，若是，请说明

3,42AB?5,4AC?1;

（2）a?n?1,20.（6分）在△

b?2n,c?n2?1(n?1).

中，

，

b，．若?C?90?，如图①，根据勾股定

理，则a2?b2?c2.若△

不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试

猜想a2?b2与c2的关系，并证明你的结论． .

A A

A

C ①

B

C

B

②

C ③

B

第20题图

21.（6分）若三角形的三个内角的比是，最短边长为1，最长边长为2.

求：（1）这个三角形各内角的度数； （2）另外一条边长的平方.

22.（7分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

23.（7分）观察下表：

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列举 3，4，5 猜想 5，12，13 7，24，25 ? ? ?? 的值. ，使点落在

的长.

边上的点处，

cm，

请你结合该表格及相关知识，求出24.（7分）如图，折叠长方形的一边

cm，求：（1）

的长；（2）

25.（7分）如图，长方体中，，，

一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？

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第一章 勾股定理检测题参考答案

1. B 解析：在△中，由，，，可推出股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B． 2.B 解析：设原直角三角形的三边长分别是形的斜边长为选B.

，且

.由勾

，则扩大后的三角

，即斜边长扩大到原来的2倍，故

3.C 解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；D.∠B=90°，所以

，故D选项错误.

，由于三个正方形的三边组成一个直角三，即

.

cm，再由三角形的面积公式，有

4.D 解析：设三个正方形的边长依次为角形，所以

，故

5.C 解析：由勾股定理可知

12，得

AC?BC60?. AB136. D 解析：在A选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B，C选

项中，都符合勾股定理的条件，所以A，B，C选项中都是直角三角形.在D选项中，求出三角形的三个角分别是所以不是直角三角形，故选D． 7.C 解析：因为Rt△中，，所以由勾股定理得.因为

，

，所以

的中点，则

就是蚂蚁

.

8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，∵ 为

爬行的最短路径.∵ ，∴

．

∵

，∴

，即蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm．

，整理，得

，即

，所以

所以这个三角形一定是直角三角形. 10.B 解析：由

，得

，所以△

是直角三角形，且是斜边，

，符合

，

9.B 解析：由

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所以∠B=90°，从而互余的一对角是∠与∠. 11.

cm或13 cm 解析：根据勾股定理，当12为直角边长时，第三条线段长为

；当12为斜边长时，第三条线段长为

．

12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，

∴ .∵，∴ .

∵ ，

∴ （cm）．

13.108 解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为

.

9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为14. 3 解析：如图，过点作因为，， 因为

平分

，

于.

，所以. ，所以点到

第三个数是

的距离

A D ．

B

15.15 解析：设，①若为最长边，则

E

第14 题答图

C

，不是整数，不符合题意；② 若17为最长边，

则16.

，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15．

解析：设直角三角形的斜边长是

，解得

，则另一条直角边长是，则斜边长是

．

． ．根

据勾股定理，得

17.49 解析：正方形A，B，C，D的面积之和是最大的正方形的面积，即49 18.4 解析：在Rt△ABC中，

（步）．

19.解：（1）因为

，

，则

，少走了

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根据三边长满足的条件，可以判断△（2）因为

是直角三角形，其中∠为直角.

，所以

，

根据三边长满足的条件，可以判断△20.解：如图①，若△过点作

2

是直角三角形，其中∠为直角.

222a?b?c是锐角三角形，则有.证明如下：

，垂足为，设

2

2

为x，则有

2

2

2

a?x.在Rt△ACD中，

ax?，x根据勾股定理，得AC ?CD=AD，即b ?x= AD. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得

AD2=AB2?BD2，即AD2= c2 ? (a ?x)2，即b2?x2?c2?a22?∴a2?b2?c2?2ax.

∵a?0,x?0，∴ 2ax?0，∴ a2?b2?c2. 如图②，若△过点作设

是钝角三角形，?C为钝角，则有a2?b2?c2. 证明如下： ，交

的延长线于点.

为x，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD2?a2?x2，在Rt△ABD中，根据勾

股定理，得AD2+ BD2= AB2，即(b?x)2?a2?x2?c2． 即a2?b2?2bx?c2.

222b?0,x?02bx?0a?b?c∵，∴，∴.

21.解：（1）因为三个内角的比是所以设三个内角的度数分别为

， .

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由，得，

.

所以三个内角的度数分别为

（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2. 设另外一条直角边长为，则所以另外一条边长的平方为3.

22.分析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．

解：设旗杆未折断部分的长为 m，则折断部分的长为根据勾股定理,得解得：

，

m，

，即

.

m，即旗杆在离底部6 m处断裂．

；根据此规律可求出； ； .

，

，

，即

.

，所以

，则在Rt△

中，可求得

，

的

23.分析：根据已知条件可找出规律值．

解：由3，4，5： 5，12，13： 7，24，25： 故解得

24.分析：（1）由于△的长，从而（2）由于即可．

解：（1）由题意,得在Rt△∴

（2）由题意,得在Rt△解得

中，∵

翻折得到△

的长可求；

，可设

的长为，在Rt△

中，利用勾股定理求解直角三角形

(cm)，

，∴

（cm）． ，设

的长为，则

，

. (cm)，

中，由勾股定理,得，即

的长为5 cm．

25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据 “两点之间线段最短”得出结果．

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解：如图（1），把长方体剪开，则成长方形连接

，则

，宽为，长为，

构成直角三角形，由勾股定理,得

.

如图（2），把长方体剪开，则成长方形连接

，则

，宽为，长为

.

，

构成直角三角形，同理，由勾股定理,得

到达点路程最短,最短路程是5．

∴ 蚂蚁从点出发穿过

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