专接本 高数第一章 函数 极限 连续

第一篇 高 等 数 学

第一章 函数 极限 连续

第一节 函 数

一、基本知识

1．函数的概念 （1）定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为 y?f(x),x?D 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df?D． 函数定义中，对于每一个x?D．按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y?f(x)．因变量y与自变量x的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值f(x)的全体构成集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即

Rf?f(D)??yy?f(x),x?D?． （2）函数的常用表示法 ①公式法：如y?2x?1等， ②表格法：如三角函数表、对数表等， ③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等． （3）分段函数 定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数． 函数关系y?f(x)不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数，无论它分多少段，它总是一个函数，不是几个函数．

两个函数相同?它们的对应关系相同、定义域相同．如y?lnx2与y?2lnx不相同． 2．函数的简单性质 （1）定义域

自变量的取值范围，每个函数都有其定义域，定义域不同，即使定义法则一样，两个函数也不是相等的．如一些基本初等函数，观察其定义域 根式y?x，分式y?1x，三角函数y?sinx，反三角函数y?arcsinx，指数函数y?ex，对

数函数y?lnx，幂函数y?xu，幂指函数y?xx???（注意：00无意义） （2）值域

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因变量的取值范围,它由函数定义域和定义法则同时决定． （3）有界性

设函数f(x)的定义域为D，数集X?D如果存在数K1，使得f(x)?K1对任一x?X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X的一个上界；如果存在数K2使得

f(x)?K2对任一x?X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2 称为函数f(x)在X上

的一个下界．即： K2?f(x)?K1 如果存在正数M，使得 f(x)?M 对任一x?X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M总存在x1?X，使f(x1)?M，那么就称函数f(x)在X上无界． ①有界性与区间I有关，如y?1x在?1,2?上有界，但在?0,1?上无界． ②若函数f(x)在I上有一个界M，则比M大的数都可以作为它的界，即界不唯一． ③在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是(??,??)情况下，分别是

y?sinx,y?cosx,y?arctanx． ④在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”． （4）单调性 设函数f(x)的定义域为D，区间I?D，如果对于区间I上任意两点x1,x2，当x1?x2，恒有 f(x1)?f(x2)， 则称f(x)在区间I上是单调增加；如果对于区间I上任意两点x1,x2，当x1?x2，恒有

f(x1)?f(x2)， 则称f(x)在I上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论．） （5）奇偶性

设函数f(x)的定义域D关于坐标原点对称．如果对任一x?D，f(?x)?f(x)恒成立，则

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称f(x)为偶函数；如果对任一x?D，f(?x)??f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数． 函数奇偶性判断方法：

① 根据奇偶性定义：如证得f(?x)?f(x)，那么此函数为偶函数，如证得f(?x)??f(x)，那么此函数为奇函数． ② 根据四则运算： 奇＋奇＝奇， 偶＋偶＝偶，奇＋偶＝非奇非偶． 奇?奇＝偶， 偶?偶＝偶， 奇?偶＝奇． ③ 指数运算用除法：xf(?x)?1,??f(x)??1偶奇， 举例：f(x)?2?12?1x 运用f(?x)f(x)??1,得f(x)为奇函数． ④ 对数运算用加法：f(x)?f(?x)???0,奇偶?2f(x)， 举例f(x)?ln(x2?1?x) 运用f(x)?f(?x)?0,得f(x)为奇函数． 注意： A 奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y轴对称， B 奇、偶函数的运算性质：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；奇函数与偶函数之积是奇函数， C函数奇偶性的判定依据：1．定义；2．常见的奇、偶函数及奇、偶函数的运算性质等．如y?x3,y?sinx,y?arctanx等是奇函数；而y?x2,y?cosx是偶函数．（特别要说的是，0是既奇又偶的函数） （6）周期性 设函数f(x)的定义域为D．如果存在一个正数，使得对于任一x?D有(x?l)?D，且

f(x?l)?f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数．l为f(x)的周期，通常我们说的周期函数的周

期是指最小正周期． 这里我们总结一个正弦函数的周期公式： y?A?Bsin(wx?l) A表示的是上下移动，B表示的是振幅，l表示的水平移动．，w与三角函数周期有关T?2?w．

一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数．

周期函数在每一个周期上的图形是相同的． 例如：y?1cosx2,y?sin2x,y?sinx?1,y?cos4x1x是周期函数． 不是周期函数．

y?sinx,y?xcosx,y?x?cosx,y?sin28

3．反函数

设函数f:D?f(D)是单射，则它存在映射f例如：y?2x与x?y?ax?1称此映射f:f(D)?D，

?1为函数f的反函数．

y2互为反函数；

与y?logax互为反函数．

4．基本初等函数

（l）幂函数 y?x?，（?为常数）

幂函数y?x?的定义域需要根据?的值来定．如y?x2在整个实轴R上有定义，而y?仅在?0,???上有定义．但无论?为什么数，在x?0上总是有定义的．

最常见的几个幂函数的图形如图1-1所示．

x

（2）指数函数 y?ax（常数a?0,a?1）

指数函数y?ax的定义域为R，值域为(0,??)．当0?a?1时，指数函数y?ax是单调减少的；当a?1时，指数函数y?ax是单调增加的．它的图形都经过点(0,1)．见图1-2．

（3）对数函数 y?logax（常数a?0,a?1）

对数函数y?logax是指数函数y?ax的反函数．它的定义域为(0,??)，值域为R．当

0?a?1时，y?log

ax是单调减少的；当a?1时，y?logax是单调增加的，它的图形都经过

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点(1,0)见图1-3．当底数为e?2.718281828459045...时，简记为y?lnx．即logex?lnx． （4）三角函数．

正弦函数 y?sinx，定义域为R．值域为??1,1?，它是奇函数，以2?为周期的周期函数．

图形见1-4．

余弦函数 y?cosx，定义域为R，值域为??1,1?，它是偶函数，以2?为周期的周期函数． 图形见图1-5． 正切函数y?tanx?sinxcosx，定义域为(k???2,k???2)(k?0,?1,?2,...)，值域为R．它是奇函数，以?为周期的周期函数．图形见图1-6． 余切函数y?cotx?cosxsinx，定义域为(k??1cosx1sinx?2,k?)(k?0,?1,?2,...)，它是奇函数，以?为周

期的周期函数．图形见图1-7． （数一二）正割函数y?secx?，定义域为(k???2,k???2)(k?0,?1,?2,...)．它是偶函数，以2?为周期的周期函数．图形（略）． （数一二）余割函数y?cscx?，定义域为(k?,k???)(k?0,?1,?2,...)．它是奇函数，以2?为周期的周期函数．图形（略） （5）（数一二）反三角函数

三角函数的反函数称为反三角函数．由于三角函数在定义域内不单调，所以它的反函数为多值函数，为避免多值性，特限制其值域，仍简称为反三角函数，图形见图1-8． 反正弦函数y?arcsinx，定义域??1,1?，值域???????2,2??，是单增函数，且是奇函数．

反余弦函数y?arccosx，定义域为??1,1?，值域为?0,??，是单减函数．

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例4 f(x)?1x?1?x2的定义域是（ ）（2002）．

A ??1,1? B [?1,0)?(0,1] C [?1,??) D [0,??) 解 B 定义域D:??x?0?1?x2?x?0,?D:?,?D:0?x?1．故选B?0?x?1．

例5 函数f(x)=sinx?16?x2的定义域为（ ）（2003）．

A ?0,?? B ??4,?????0,?? C ??4,4? D ???,?? 解 B 定义域D???0?sinx?116?x2?0 ，??0?sinx?1 ?x?4?借助三角函数的图像可得D：-4?x???或0?x??，即D:??4,?????0,??． 例6 函数f(x)?x?1lnx的定义域为_____________（200401）． ?x?0?x?1解 ?0,1???1,??? 定义域D:?，即D:?0,1???1,???． 例7 在区间??1,1?上，设函数f(x)是偶函数，那么?f(x)（ ）（200501） A 是奇函数 B 是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性 解 B 记g(x)??f(x)，则在??1,1?上，有 g(?x)??f(?x)??f(x)?g(x)， 即?f(x)为偶函数，故选B． 例8 设f?x?在区间(??,?)内是奇函数，并且在区间(0,??)内严格单调增，那么函数f?x?在区间(??,?)内（ ）（200502）． A 严格单调减 B 严格单调增 C 既不严格单调增，也不严格单调减 D 可能严格单调增，也可能严格单调减 解 B 解 设任意x1,x2??0,???，且x1?x2，则f(x)由在?0,???内严格单调增得 f(x1)?f(x2)，

于是再有f(x)是???,???上的奇函数，得?x2??x1，且

f(?x2)?f(?x1)=?f(x2)?f(x1)?0，

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即f(x)在?0,???上严格单增，故f(x)在???,???内严格单调增．

说明：原题为“f(x)在?0,???内严格单调增”．如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案．

例9 函数y?arcsin(2x?1)?1lnx的定义域是（ ）（200601）．

A (0,1) B (0,1] C (0,2) D (0,2] 解 A 由2x?1?1及x?0,x?1解的函数y?arcsin(2x?1)?例10 函数f(x)?1x?3?ln(x?1)x?11Inx的定义域为(0,1)． 的定义域是 （ ）（200602）． A （?1,??) B （1,??） C (?1,3)?(3,??) D (1,3)?(3,??) 解 D 由题意： x?3?0，x?1?0，x?1?0，所以得到函数 y?域为(1,3)?(3,??)． 例11 函数y?3?x?sinx1x?3?ln(x?1)x?1的定义的定义域是 （ ）．（200603） A [0,1] B [0,1）?(1,3] C [0,??) D [0,3] 解 D 由题意：3?x?0及x?0，解得0?x?3，所以，函数y?3?x?sin是?0,3?，选D． 例12 函数f(x)?14?x2x的定义域?ln(x?1)的定义域是 （ ）（200702）． A （1,2) B (1,2] C [?2,2] D (1,??) 解 A 由题意：4?x2?0及x?1?0，解得：1?x?2，所以选A． 例13 函数f(x)?14?x2?ln(x?1)的定义域是 （ ）（200703）． A （1,2) B （?2,2） C (1,??) D (2,??) 解 A 由题意：4?x2?0及x?1?0，解得1?x?2,所以，选A．

第二节 极 限

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一、基本知识

1．数列 （1）定义

按照某一法则依自然数顺序排列的一列有序的数x1，x2，x3，?，xn，?叫做数列，简记作{xn}．其中每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做通项（或一般项）． 一个数列实质上是一个函数，即xn?f(n)，其定义域为自然数集N． （2）性质 ?? 单调增加数列：对于每①单调性 单调数列??单调减少数列：对于每?个n，都有xn?1?xn. 例如：｛个n，都有xn?1?xn. 例如：｛n?1n1n｝.｝. ②有界性 若存在正数M．使得对一切n都有xn?M，则称?xn?有界，其中M称为?xn?的一个界；反之称?xn?无界． 例如：???1?n?是有界的，而?n?是无界的．

2．数列的极限

（1）定义 设?xn?为一数列，如果存在常数a，对于任给的正数?（不论它多么小），总存在正整数N，当n?N时，不等式xn?a??都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记作 limxn?an?? 或 xn?a(n??)． n如果数列没有极限，则说该数列发散．如数列???1??是发散的 （2)收敛数列的基本性质 ①(收敛的唯一性)若?xn?有极限，则极限必唯一．（对于函数的极限也有类似的结论．） ②(收敛的有界性)收敛数列必有界；反之不一定成立． 如：数列???1??有界，但不收

n敛．

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3．函数的极限 (1) 定义 limf(x)?A x??x???limf(x)?A x???limf(x)?A 设x充分大时，f(x)有定义，若对有设x充分小时，f(x)定义，若对有设x充分小时，f(x)定义，若对???0,?X?0当x?X???0,?X?0当x??X???0,?X?0当x?X时，不等式 f(x)?A?? 时，不等式 f(x)?A?? 时，不等式 f(x)?A?? 恒成立，则称x??时，恒成立，则称x???时，恒成立，则称x???时，f(x)的极限为A． f(x)的极限为A． f(x)的极限为A． x?x0limf(x)?A 左极限： f(x0)?lim?f(x)?A x?x0右极限： f(x0)?lim\\?f(x)?A x?x0??设函数f(x)在x0的设函数f(x)在x0的设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，左 右侧临近有定义，若对 侧临近有定义，若对 若对???0,???0，当 ???0,???0，当 ???0,???0，当 0?x?x0??时，不等式 0?x?x0??时，不等式???x?x0?0时，不等f(x)?A?? f(x)?A?? 式 恒成立，则称x?x0时，f(x)的极限为Af(x)?A?? ?恒成立，则称x?x时，0． 恒成立，则称x?x0?f(x)的极限为A． 时，f(x)的极限为A． (2)定理 ①limf(x)?A的充分必要条件是limf(x)?limf(x)?A． x?x0x?x?0x?x?0 ②若limf(x)?A，且A?0(或A?0)，则必存在x0的某一去心邻域，在该邻域内有 x?x0f(x)?0(或f(x)?0)．

③若在x0的某一去心邻域内有f(x)?0(f(x)?0)，limf(x)?A，则必有A?0(或A?0) ．

x?x0 极限计算：一看趋向，看未知量的趋向方向，常数还是无穷；二代入判断类型? 上述(2)、(3)称为x?x0时函数极限的局部保号性定理，对于在x的其它趋向下也有类似的定理（数一）．

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4．极限存在准则

准则 I（夹逼准则）：如果数列xn、yn及zn满足条件： （1） 从某项起，即?n0?N，当n?n0时，有 yn?xn?zn， （2） limyn?a,limzn?a，

x??x??那么数列xn的极限存在，且limxn?a． n?? 准则 I?： （1）当x?U(x0,r)（或x?M）时， g(x)?f(x)?h(x) （2）limg(x)?A,limh(x)?A， x?x0(x??)x?x0(x??)0那么则limf(x)存在，且等于A． x?x0(x??) 准则 II：单调有界数列必有极限．

5．无穷大与无穷小 (1)定义 ①设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，如果对?M?0,???0，当0?x?x0??时，恒有f(x)?M成立，则称x?x0时f(x)为无穷大，记作limf(x)??． x?x0 注意“?”仅是一个记号，不是通常的“数”，不能像数那样进行运算．limf(x)??实

x?x0质上是limf(x)不存在的特殊情况． x?x0②若limf(x)?0，则称x?x0时f(x)为无穷小． x?x0 注意常数“0”在x的任何趋向下都是无穷小，但除此之外的任何数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小． (2)无穷小与无穷大的关系 若limf(x)??．，则称limx?x01f(x)x?x0?0；反之，若limf(x)?0，且f(x)在x0的某个邻域内x?x0不为零，则lim1f(x)??（通常说成，无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大，但

x?x0是要注意上述的“limf(x)?0，且f(x)在x0的某个邻域内不为零”）

x?x0(3)无穷小的运算性质（下列结论均指自变量x的同一趋向下成立） ①有限个无穷小之和仍是无穷小； ②有限个无穷小之积仍是无穷小； ③有界函数与无穷小之积是无穷小

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(4)无穷小的比较

设函数?(x)和?(x)，当x?x0时都是无穷小： ①若lim?(x)?(x)x?x0则称当x?x0时，记作?(x)?o(?(x)) ?0，?(x)是比?(x)较高阶的无穷小，

(此时也称?(x)是比?(x)较低阶的无穷小）； ②若lim?(x)?(x)?k(k?0)，则称当x?x0时，?(x)和?(x)是同阶无穷小； x?x0 特别，若lim?(x)?(x)x?x0 ?1，则称x?x0时，?(x)和?(x)是等价无穷小，记作?(x)～?(x)．

（5）等价无穷小替换 设x?x0时，?(x)与?(x)是等价无穷小，则lim?(x)g(x)?lim?(x)g(x)； x?x0x?x0（当x?x0时，?(x)?0）limh(x)x?x0?(x)g(x)?limh(x)x?x0?(x)g(x) 以上两式中的等号“=”应理解为：①等号“=”两边的极限同时存在或同时不存在；②若两边的极限存在则必相等． （6）常见的等价无穷小（在x?0时） x～sinx x～tanx x～arcsinx x～arctanx x～ln(1?x) x～e?1 xx22～1?cosx n1?x?1～xn 无穷下替换的条件①无穷小替换等价模型，②替换零位③整体为无穷小④加减不可用，乘除可用． x?0,sin2x?2xx??,sinx1x?1x22； x?1,sinx(?1)?x?1； ； x?0,31?x2?13x2． 6．极限的运算法则（对数列的极限也成立，不再单独叙述） 设limf(x)?A,limg(x)?B，则有 x?x0x?x0（1）limk?k（k为常数）；lim(kf(x))?kA（k为常数）； x?x0x?x0（2）lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)?A?B

x?x0x?x0x?x0（3）limf(x)g(x)?limf(x)limg(x)?A?B

x?x0x?x0x?x0

（4）lim

f(x)g(x)x?x0?x?x0limf(x)limg(x)?AB(B?0)

x?x041

注意：函数的和差积商在极限运算中，若拆分，必须保证拆分后各自极限必须存在，否则不可拆分．比如：

有界函数乘以无穷小=无穷小 lim可以拆分．

7．两个重要极限 （1）limsinxx1xx?01xx??sinx?0，但是拆分后，因为limsinx不存在所以不

x???1 （第一重要极限）

1（2）lim(1?x?0)x?e，lim(1?x)x?e，特别地lim(1?)n?e （第二重要极限） x??n?01n1 例：lim(1?2x)3x，会有多种方法求极限，以下列出三种： x??22??3t①换元法，令2x?t,x?，所以原式化为?lim(1?t)??e3 t?02??t122??3②凑形式，?lim(1?2x)2x??e3; x?0??1 13x③零位乘无穷，在该极限题中，2x所在的位置为零位，1?所在的位置为无穷大，

?elim零位?无穷x?0．

8．高次幂 在下列一般形式的特例中a0?0,b0?0，m和n为非负整数时，有 ?a0?b,?0??0,??,??n?mn?mn?mlima0xmn?a1xm?1n?1?a2x?b0xm?2n?2?...?am?...?bnn??b0x?b1x 例1 lim3x?4x?27x?5x?332323??limn??4x5x??233x?，（n?m） 37n??7?x3分子中变化最快的因子是3x；分母中变化最快的因子是7x．lim333x?4x?27x?5x?33232n???lim3x7x33n???37

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2例2 lim3x?2x?10n??2x3?x2?5?2?0，n?m

2分子中变化最快的因子是3x2；分母中变化最快的因子是2x3．lim3x

n??2x3?032例3 lim3x?x?53x2?2x?1??，n?m

x??3分子中变化最快的因子是3x3；分母中变化最快的因子是3x2．lim3xx??3x2?? 5例 4 limn?4n?63??n??n2?7n?5 5分子中变化最快的因子是n5；分母中变化最快的因子是3n2．limnx??3n2??

二、例题分析 例1．10 求下列极限： 2（1）lim4n?n?12n2?n?4； n??3n2?5n?2 ； （2）lim2n4?n??n3?2n?1（3） lim2nn??；（4）lim(n?1?n)； n2?1?4n2 ?2n?1n??（5）lim(n(n?1)?n)； 1)n??（6）limn??(1?2?12?3?...?1n?(n?1)； （7）lim(1nn??n2?2n2?3n2?...?n2)； （8）limn!n??nn； n?1（8）lim?n?n?2?； （9）lim?n?2?n???n??n????n?1??． 解 （1）对原式的分子、分母同除以n2，并注意到lim1na?0(a?0)n??，故有 14n2?n?14?1n?n2nlim??3n2?5n?2?limn??5?4． 3?n?23n21n?23?1（2）考虑极限limn?2n?1n3n4n??2n4?2n2?n?4?limn??21?0．

2?n2?n3?4n4 43

所以，利用无穷小与无穷大的关系可知，原式??． （3）对原式的分子、分母同除以n可得： lim2nn2x??2?lim?2n?121?1n2?1?4nx???4?2n?1n221?2?23．

?（4）因为当n??时，n?1?n为“???”未定型，可对原式乘以n?1?n?1?nn，再除以

，进一步确定其极限． lim(n?1?n)?lim1n?1?n?0． n??n??（5）本题的数列当n??时，n(n?1)?n仍为“???”待定型．先提出n后，再按上题方法可得： lim(n(n?1)?n)?limn??n??n(n?1?n)?limnn?1?nn???12． （6）本题是一个无穷多项的和的极限．对于这类问题，如果可能，应先求出其和再求极限． 因为11?21n?(n?1)?1n?1n?1，所以， 12121313141n1n?11n?1?12?311?2?...?11?21n?(n?1)?...??(1?1)?(?)?(1?)?...?(?)?1? ?lim(x???n?(n?1))?lim(1?n??n?1)?1（7）利用等差数列前n项的和的公式可得： lim(x??1n2?2n2?3n2?...?nn2)?lim1n2x??(1?2?3?...?n)?lim1n(n?1)n2x??2?12 I得limn!nn（8）因为0?n!nn?n(n?1)(n?2)...3?2?1n??n??n???...??n???n?n??n个n?1n，而lim1nx???0，由极限存在准则x???0．

（9）此极限属“1?”型，可利用第二重要极限的结论． 2(n?1) lim??n?2??x??n??n?12???lim?1??x??n??n2(n?1)?2n??22???lim??1???x???n?????nn?e (?lim22(n?1)nx???2) （10）与上题类似．

?3??3??n?2???lim???lim?1???lim?1??x??x??x??n?1n?1n?1??????nnn?1?3n??3n?1?e?3

例1．11 求下列极限：

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（1） limx?xx232?2x?1?1 ； （2）lim1?x?x?2cosx?1xsinx3x?2； （3）lim?x?1?33?1?x??? 21?x?2（4） limx(x2?1?x)； （5）limx??x?0； （6） limtanx?sinxarcsinx3x?0 ．

解 （1）注意到本题为“

00”型，分子、分母有公因子(x?1)，因为在“x?1”的过裎中x?1，

00故可以约去(x?1)．这种方法叫做消零因子法，这是处理“”型的较初等的方法，若满足洛必达法则（见下一章）的条件，使用该法则会更方便一些． limx?x?2x?1232x?1?lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)x?1?limx?2x?1x?1?32 （2）本题仍为“”型，但不能直接消零因子，注意到分子的特征，可对分子、分母同乘以001?x?3，再消零因子； lim1?x?x?23x?2?limx?2(x?2)(1?x?3)x?2?11?x?3?36 （3）本题为“???”型且是两个分式之差，可以通分后再处理． (1?x)(1?2x)2?1?x?2x?3lim???limlim?222x?11?x31?x?x?1(1?x)(x?x?1)(x?1)x?1(1?x)(x?x?1)(x?1)??lim1?2x(x2x?12 ?x?1)(x?1)?12 （4）limx(x2?1?x)?limx??xx?1?x2x???lim11?1x2x????112 若将上题改为limx(x2?1?x)．则极限不存在，从而limx(x2?1?x)不存在，因此 x???x??求极限时不能漏写“??”中的“?”号或“??”中的“—”号． （5）解法1 用第一重要极限． 2??xx??2??2sin2??2sin?sin2?cosx?1x1x122???limlim?lim?lim??????2x?0x?0x?0?x?0?xxsinxxsinxsinx22?x???sinx?4?????2?????2???x ． 解法2 用等价无穷小替换：当x?0时，1?cosx~x22,x~sinx·所以有

45

limcosx?1xsinx??limx?0xx222x?0??12;

（6） 解法1 用第一重要极限．

limtanx?sinxarcsinx33?sinx1?cosx?x??lim???23x?0?xcosxarcsinx??x?3?1?1sinx1?cosxx?? =lim????23?2x?0?cosxxxarcsinx??3x?0

这是因为lim1cosxx?0?1,limsinxxx?0?1,lim1?cosxx2x?0?12, limx3x?0arcsinx?1(令arcsinx?t即可）．

3 解法2 先对原式作恒等变形，再用等价无穷小替换，注意x?0时．arc3sinx~x3

?x2??x??2???xcosx3limtanx?sinxarc3x?0sinx?limsinx(1?cosx)cosxarc3x?0sinx?limx?0?12 上述两例足以看出适当地使用“等价无穷小替换”，可有效地简化计算，但必须正确使用，否则会出错．如对（6）的分子不作恒等变形而直接用等价无穷小替换（加减不可用无穷小替换）： limtanx?sinxarc3x?0sinx?lim0?0x?0是错误的． 例1．12求下列极限： （1）lim3?1xx； x?01??（2）lim?1??x??x??22x?x?a?； （3）lim??(a?0) x??x?a??x2xsinx?01x（4） limx1?x； （5）limx?1sinx； （6）limx?sinxx． x??解 （1）lim3?1xxx?0?lim2xexln3?1x?0x?limxln3x?2x?0lnx?ln3（这里利用了x?0时，e?1~xln3）;

（2）lim?1?x????1??x??x??1???lim??1???x??x???????e?2; （3）括号内分子、分母同除以x，再用第二重要极限：

?a???1?x?1???x?a??x?lim??lim??lim?x??x?ax???x??a?????1???1?x???xa??x?a??x?xx?eea?a?e2a;

46

（4）本题是“1?”型，应用第二重要极限：

22limx1?x?limlimx?1x?1?1?(x?1)?1?x?x?1??1?(x?1)?1x?1??2?e?2;

（5）注意到sin10x?1，而x?时，x是无穷小，因此有

x2sin1limxsinx?lim?x?0?x?xsin1?x?0?sinxx??1?0?0; ?（6）因为lim1x?0，sinx?1，即limsinxx??x??x?0, ? limx?sinx?lim??1?sinx?x??x??1?0?1． x???x?例1．13 解答下列问题： （1）设f(x)???x2?1x?2?2x?1x?2 求limx?2f(x) ?tankx（2）设f(x)???x?0 问当常数k为何值时，lim?0f(x)存在？ ?xx?x?2x?01（3）讨论lim2x的存在性； （4）讨论x?1x?0lim?1x?1的存在性． x（5）已知当x?0时，1?ax2?1~sin2x，求常数a的值． （6）已知limx2?ax?bx，求常数a,b的值． x?1?1??5解 （1）因为limf(x)=lim(2x?1)?5，limf(x)=lim(x2?1)?5?2? x?2?x?2?x?2?x所以limf(x)x?2?5; （2）由于limf(x)=lim(x?2)?2，lim?f(x)=limtankxx?0?x?0x?0?x?0?x?k 故k?2时，limf(x)?2存在;

x?0111 （3） limx?2x?0，而lim?2???，所以lim2x0不存在．

x?0x?0x?1 本题的极限不存在，且x?0时2x也不是无穷大;

47

（4）limx?1x?1?x?1?lim?x?11?xx?1??1，lim?x?1x?1x?1?lim?x?1x?1x?1?1，因此limx?1x?1不存在（本结论

x?1也可从几何直观上得到）;

（5）由题意得到：lim1?axsin221?axsin22?1x?0x?1，

而lim?1x?0x?limax222x?0??1)2a2，所以a?2． x(1?ax（6）?limx2?ax?bx?1x?1??5，?limxx?1?ax?b?0，即1?a?b?0或b??a?1代入原式，于是有 limx?ax?a?1x?12x?1??5或lim(x?1)(x?1?a)x?1x?1??5b?6．或2?a??5 所以a??7，

三、练习题 （一）回答题 1．收敛数列必有界，而有界数列是否一定收敛？ 2．无界数列必发散，而发散数列是否一定无界？ 3．单调有界数列必收敛，而收敛数列是否一定单调有界？ 4．如果数列{xn}收敛，{yn}发散，则{xn?yn}一定发散吗？ 5．如果数列{xn}与{yn}都发散，则{xn?yn}一定发散吗？ 6．limxn?a，则limxn?a？ n??n??7．若limxn?a，则limxn?a？ n??n??8．有限多个无穷小之和为无穷小，而无穷多个无穷小之和是否一定为无穷小？ 9．已知limf(x)?a，则limf(n)?a？ x???n???10．由数列{xn}去掉（或增加）前有限项得到{bn}，则它们的敛散性是否相同？ （二）填空（或单项选择填空）题 211．已知limxn?a，则limxn?1?_________ 12．limn???x?cosxx?sinxn???x????_________ 13．lim(?1)nnsin?_________ 14．limx?01x?_________

n???1x15．lim(x?1a1?x2?xx?1)?32,则a?_________ 16．limxx?_________

x?017．下列极限不正确的是（ ）

48

1111(A)limex?01x?0

(B)lim?ex?0 (C)limex? (D)lim?ex???x??

x?0x?018．当x?0时，下列函数与x2是等价无穷小的是（ ）

(A)sin2x

(B)arcta2nx (C)1?cosx (D)ln(2?x2)

19．“f(x)在x0处有定义”是“当x?x0时，f(x)的极限存在”的（ ）条件． (A)必要不充分 (B)充分不必要 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 220．limsin(x?1) ） x?1x?1?（(A)1 (B)0 (C)2 (D)12 （三）解答题 21．求下列极限 11n?11?（1）lim2n?3 （2）lim2?4?...?12nn??2n?3n； n??1?111； 5?25?...?5n（3）lim1)n??(1?3?13?5?...?1(2n?1)?(2n?1)； （4）lim1?3?5?...?(2n?1)n2?1； n??2n（5） lim??n?1??； （6）lim3nsinx； n???n?1?n??3n（7） lim?n2n??24282...22?； （8） lim(n?5n?n)． n??22．求下列极限 3x2（1）limsinxx??1?x2； （2）limsin8xtan5x； x?0n（3）limx?1sinxx?1（其中n为正整数）； （4）limx?1x????x； x（5）lim??2x?2??； （6）limx2?x?x2?xx?； x???2x?1????（7）limxxx?01?2x； （8）limx?0cosx．

23．解答下列问题

49

?1?2x?1（1）设f(x)??x??tanxx?0x?0 讨论limf(x)．

x?0（2）当x?0时，下列函数中哪些是比x较高阶的无穷小？哪些是x同阶的无穷小？哪些是无穷大？

①tanx2 ②cosx?1 ③ln(1?2x) ④x2sin1xsin1x1x ⑤cotx ⑥

?x2?2???ax?b?（3） 若lim???0，求常数a、b的值． x??x?1??

四、真题演练 1例1 lim2x?（ ）（2001）． x?0A 0 B ?? C ? D 不存在 解 D 因为limx?01??1?x?0,lim?x?011x??? 1?所以lim2x?0,lim2x??? 故lim2x不存在．应选D． x?0x?0x?0例2 设limx2?ax?bx?1x?1?3，则a,b分别为（ ）（2002）． A 1，1 B ?1，?2 C ?2，1 D 1，?2 解 D 将D的结果代入极限式左端得 limx?1?x?2x?12x?1?lim(x?1)(x?2)x?1x?1?lim(x?2)?3 x?1故选D． 例3 ?x?2?lim??x????x?1?2x?（ ）（2003）． A e?6 B ? C 1 D e3 x2x解 A 解

?x?2?lim??x????x?1?3x?23x?2?lim?2??2?1???x??1???1??x?????4?x??2x?e?42e?e?6．

例4 lim(x??)2x?（ ）（200601）．

50

8A e3 B e?2 C e?3 D e?4 解 A

4解一：lim(x??3x?23x?2(1?)2x23x23x))2x?limx???2x?22x?3)??(1?3x??3?2?2x?)?(1??3x???4334?e3e?438?e3

(1?8二：lim(x??3x?23x?2)2x?lim(1?x??43x?2)2x?4?lim?(1?)x??3x?2?13x?248?3?(1?)??e33x?2?412 所以选A，本题主要考察重要极限lim(1?x)x的一些变化形式． x??例5 下列等式不正确的是 ( )（200702）． A limsinxx1sinxx?0?1 ?0 B limsinxxx???01x ?0C limxx?0 D limxsinx?? 解 D 因为limxsinx?01xsin?limx??1x?1，所以选D（重点考察第一个重要极限 关键在于看趋1x向灵活应用）． 例6 下列函数中，当x?0是，与ex?1等价的无穷小量是（ ）（200901）． A xsinx B 3x C sinx D 222x33 解 A 评注：本题考察的是当x?0时，ex2?1与函数xsinx的比值的极限为1． 2 第三节 函数的连续性 一、基本知识

1．函数的连续性概念 （1）定义

设函数y?f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果

?x?0lim?y?lim?x?0?f(x0??x)?f(x0)??0

那么就称函数y?f(x)在点x0连续．

51

为了应用方便起见，下面把函数y?f(x)在点x0连续的定义用不同的方法来叙述

①设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义，如果limf(x)?f?x0?，则称y?f(x)在x0处

x?x0连续．

②设函数y?f(x)在x0及x0的左侧有定义，如果limf(x)?f?x0?，则称y?f(x)在x0处

x?x0?左连续．

③设函数y?f(x)在x0及x0的右侧有定义，如果limf(x)?f?x0?，则称y?f(x)在x0处

x?x0\\?右连续．

④若函数y?f(x)在区间I上每点都连续，则称y?f(x)在区间I上连续． 约定：函数在区间端点处的连续性，左端点只要求右连续，右端点只要求左连续． ⑤若函数f(x)在x0处不连续，则称f(x)在x0处间断． （2）函数f(x)在x0处连续与它在该点的左右连续性的关系；f(x)在x0处连续的充分必要条件是它在该点既左连续又右连续． （3）间断点的分类

??右极限 lim?f(x) ?lim?f(x)?跳跃型：左极限?x?x0x?x0?第一类：? ??可去型：极限值?函数值 limf(x)?fx??x?x0? ???无穷型第二类：非第一类 （特点是：极限不存在） ??震荡型??

2．初等函数的连续性

（1）基本初等函数在定义域内连续．

（2）在区间I上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在I上连续． （3）由连续函数经过有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续． （4）在区间I上连续且单调的反函数在对应的定义区间上连续． （5）初等函数在定义区间上连续．

（6）若y?f(u)在u0处连续，且lim?(x)?u0，则

x?x0 limf??(x)??f?lim?(x)??f(u0)

x?x0??x?x0??

3．（数一二） 闭区间上连续函数的性质

（1）最大值 最小值定理： 在闭区间上连续的函数在该区间上必取得最大值和最小值． （2）有界性定理： 闭区间上连续的函数必在该区间上有界．

（3）零点存在定理： 在闭区间上连续的函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内至少有一个零点．

推论： 在闭区间上连续的单调函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内有唯一的一个零点．

（4）介值定理： 在闭区间上连续的函数必取得介于两端点的函数值之间的任何值．

52

推论： 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值．

二、例题分析

（一）函数的连续性的讨论

?sinx?x?0例1．14 当常数a,b取何值时，函数f(x)??x?a?1x?0在R上连续．

??x2?bx?0?解 因为在x?0上f(x)?sinxx连续，在x?0上f(x)?x2?b连续， 所以只要，f(x)在x?0处也连续即可． 因 limf(x)?limsinxf(x)?lim2?b)?b，且f(0)?a?1 x?0?x?0?x?1,limx?0??(xx?0由f(x)在x?0处连续知，必有b?1?a?1即a?2, b?1 例1．15 讨论函数f(x)?x(1?x?1)的连续性． ?x(2?x)x?1解?f(x)???1x?1，显然f(x)在x?1或x?1时是连续的． ??x2x?1又f(1?)?f(1?)?1?f(1)，所以f(x)在R上连续． 43例1．16 求函数f(x)?x?3x?2x?1x2?5x?6的连续区间． 解 函数f(x)为初等函数，仅在没定义的点处间断，即在分母为零的点处间断． 由x2?5x?6?(x?2)(x?3)?0得到x?2和x?3， 所以f(x)的连续区间为???,2?,?2,3?,?3,???． 2例1．17设f(x)?x?1x?1?xsin1x?lgx?2，求f(x)的间断点并指出其类别． 解 因为f(x)分别在区间（???,?2?,??2,0?,?0,1?,?1,???内是初等函数， 因此是连续的，而分别在x??2,0,1处无定义，故在这三点处间断， 又?xlim??2f(x)??，所以x??2是第二类间断点（无穷间断点）；

?limf(x)??1?lg2，所以x?0x?0是第一类间断点（可去间断点）；

53

?limf(x)??2?sin1?lg3?limf(x)?2?sin1?lg3,

x?1?x?1? 所以x?1是第一类间断点（跳跃间断点）． 例1．18 求f(x)?tanxx?sin1x?1的间断点，并指出其类型．

时是间断的，而limf(x)?1?sin1，因此

x?0解 函数y?f(x)当x?0,1,k??x?0是

?2(k?0,?1,?2,...)第一类问断点（可去间断点）；limf(x)不存在，因此x?1是第二类间断点（振荡间断点）；

x?1limx?k???2f(x)??(k?0,?1,?2,...)故这些是第二类间断点（无穷间断点）． （二）（数一二）闭区间上连续函数的性质的简单应用 例1．19 证明方程x6?3x2?2x?1至少有一个正根． 介析 要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数，并证明它在某个正的区间上连续且在两端点上的函数值异号． 证 令f(x)?x6?3x2?2x?1，则f(0)??1?0,f(2)?26?12?4?1?55?0，又f(x)在

?0,2?上连续．由零点存在定理知，至少有一点??(0,2)使得x?3x?2x?1至少有一个正根． 62f(?)?0．即方程

例1．20 证明方程x?asinx?b（其中a?0,b?0），在?0,a?b?上至少有一个根． 证 令f(x)?x?asinx?b，f(x)显然在?0,a?b?上连续，且 f(0)??b?0,f(a?b)?a?1?sina(?b)??0 当f(a?b)?0时，x?a?b就是满足题意的一个根； 当f(a?b)?0时，f(0)f(a?b)?0，由零点存在定理知，至少有一点??(0,a?b)，使得

f(?)?0．即原方程在(0,a?b)内至少有一个根． 综上所述，x?asinx?b在?0,a?b?上至少有一个根． 1?xsinx?0?x?f(x)??0x?02?1tanxx?0?x?例1．21 ，则f(x)在x?0处（ ）

A、极限不存在 B、极限存在但不连续 C、连续且不可导 D、可导

54

解 f(0?)?f(0?)?0，所以该函数是连续的，所以函数在其定义域内是连续的，

而f(0?),f(0?)左导数和右导数都存在，但是左导不等于右导． 例1．22 f(x)在(??,??)内连续，且f(x)?3?2xxx(x?0)那么f(0)?_____

解 因为f(x)在(??,??)内连续，所以在x?0处也是连续的，所以我们通过求极限的方式求得f(0): f(0)?limx3?2x?lim?limxxx?0?lim2x3?1?2x?limeln3xxx?1?1eln2xx?0?lim?lim3?1xxln3x?1xx?0x?0x?0x?lim?1x?0x32 xln2xx?0x?0?limln3?limln2?lnx?0x?0例1．23 下列极限不存在的是（ ）． A、lim(1?)?x B、limx?01xsinxxx?0 C、limcosx??1x D、lim1xx?0 解 选D．A,B,C三项均正确，极限存在是指左右极限存在，且相等． 例1．24 当x?0,下列函数哪一个是x的三阶无穷小（ ）． A、x3(ex?1) B、1?cosx C、sinx?tanx D、ln(1?x) 解 根据无穷小替换公式，第一个是ex?1~x，所以是x3(ex?1)~x4；第二个可直接替换为

1?cosx~12x2；第四个ln(1?x)~x．

三、练习题 （一）回答题 1．如果f(x)在x0处连续，g(x)在x0处间断，则f(x)?g(x)在x0处必间断？ 2．如果f(x)在x0处连续，g(x)在x0处间断，则f(x)g(x)在x0处必间断？ 3．如果f(x)和g(x)在x0处都间断，则f(x)?g(x)在x0处必间断？ 4．分段函数是否必有间断点？

5．闭区间上的连续函数一定有界，闭区间上不连续的函数是否一定无界？ 6．在开区间上连续的函数是否一定不能在该区间内取得最大值、最小值？ 7．如果f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处是否必连续？

55

8．如果f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处是否必连续？ （二）填空（或单项选择填空）题

9．“f(x)在x0处有定义”是“f(x)在x0处连续”的( )条件．

(A)必要不充分 (B)充分不必要 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 10．“f(x)在x0处连续”是“f(x)在x0处有极限”的( )条件．

（A)必要不充分 (B)充分不必要 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 11．已知f(x)在(??,?)内有定义（??0)，且limx?0x?0f(x)xx?0?2,f(0)?0，则( ) (A) limf(x)不存在 (B) limf(x)存在但不为零 (C)在x?0处f(x)不一定连续 (D)在x?0处f(x)连续 1?x?f(x)??(1?x)?k?12．x?0x?0，在x?0点连续，则k?______． 13．设f(x)茌x0点连续，且limf(x)?e，则f(x0)?______． x?x0?14．函数f(x)?9?x2?(x2?4)15．（数一）函数f(x)??12的连续区间是_______________ x?1(x?1)(x?2)1x2x(x?1)?的第二类间断点有______个． 16．（数一）x?0是函数f(x)?xcos（三）解答题 ?x?17．讨论函数y??x,?1,?x?0x?0x?0的第_____类间断点． 在x?0处的连续性． ?1?cosx,2?sinx?1?,18．讨论函数y??2?2?x?1,?2??tanx,?x?f(x)??1?a,1?xsin?b,?x?x?0 的连续性． x?0x?0x?0 x?01x?119．设函数 在x?0处连续，求a,b的值．

20．（数一）求函数f(x)?xarctan56

的间断点，并指出其类型．

21．（数一）证明方程x5x?1至少有一个小于的正根．

2122．（数一）设函数y?f(x)在?0,1?上连续，且0?f(x)?1．证明方程x?f(x)在?0,1?上至少有一个根．

四、真题演练 例1 设??x??1f(x)??x??(1?2x)x?0x?01 在x=0处连续，则?的值为（ ）（200901）．

A e B e2 C e?2 D 1

解 C 评注：本题考察的是函数的连续性及两个重要极限． 2例2 f(x)在??1,1?内有定义，且limx?0f?x?xx?0?2,f?0??0，则（ ）（2001）． x?0A limf?x?不存在 B limf?x?存在，但不等于零 C f(x)在x?0不连续 D f(x) 在x?0连续 解 D 法1 由limx?0f(x)?x??2知，当x?0时，f(x)与x是同阶无穷小，故有limf(x)?0

x?0?又有f(x)?0知，有limf(x)?(0)，故f(x)在x?0处连续，从而选D x?0 法2 因为2?limf(x)?x?0x?lim?x?0f(x)?f(0)x?f(0)'． 所以f(x)在x?0处可导，从而f(x)在x?0处连续，故选D． 例3 设f?x?在点x0处不连续，则（ ）（2003）． A f??x0?必存在 B limf?x?必存在 C f??x0?必不存在 D limf?x?必不存x?x0x?x0在

解 C A不对．因为f?(x0)存在，f(x)在点x0必连续． B 不对．因为不连续也可能是因为左或右极限不存在，或存在但不相等引起来的，而此时极限不存在， D不对．因为不连续可能是因为极限不等于函数值引起的． C对．因为不连续一定不可导． 例4 设f(x)?1?1?xx,试定义f(x)在x?0处的值，使f(x)在x?0处连续，则

． f(0)=________（200401）解 ?

12 limf(x)?limx?01?1?xxx?0?lim?xx(1?1?x)x?0?lim?11?1?xx?0??12

57

由f(x)在x?0处连续当且仅当limf(x)?f(0)

x?0 可定义f(0)??

21例5 设函数

?1?f() x?0f?x?在区间(??,?)内有定义，并且limf(x)?a，令g(x)??xx????0 x?0那么

（ ）（200502）． A 点x=0是g(x)的左连续点 B 点x=0是g(x)）的右连续点 C 点x=0是g(x)的连续点 D g(x)在点x=0是否连续，与a的值有关 解 D 解 因为limg(x)?limf()?limf(t)a x?0x?01xt?? 由g(x)在x?0连续当且仅当limg(x)?g(0)知，需且仅需a?0，所以选D． x?01?x?1?2x）f(x)（??? a 例6 设函数x?0 x?0 在(??,??)上连续，则a=（ ）（200703）．

A e2 B e?2 C e D ?2

1解 B 根据函数连续的定义：limf(x)?f(0)，即lim(1?2x)x?e?2?a，所以选B． x?0x?0

第一章练习题答案 l 1．（1）相同；（2）不同；（3）不同；（4）不同；（5）不同；（6）相同． 2．（1）奇；（2）偶；（3）偶；（4）奇；（5）非奇非偶；（6）奇． 3．（1）是，2?；（2）是，?；（3）不是；（4）是，?． 4．（1）y?sinu,u?2x； （2）y?u2,u?sinx； （3）y?u,u?lnv,v?1?x2; （4）y?3u,u??sinx． 5．x?1； 6．??2,2?； 7．

?sinx?f(?x)??x2??x?1x?0x?0

? 8．是，是； 9．C． 10．（1）x?3且x??1； （2）x?k??（3）0?x?1； （4）R． 11．（略）；12．?1?x?3；

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,k?0,?1,?2,...；

2x(20?x)13．S(x)? 0?x?20；

3

14．S(x)?x4?x2,0?x?2．

2 1．否； 2．否； 3．否； 4．是； 5．否； 6．是； 7．否； 8．否； 9．是；

10．是． 11． a2 ; 12．1; 13．0, 14．0; 15．2； 16．0; 17．A; 18．B 19．D； 20．C 21．（1）3; （2） 85; （3） 1/2, （4）l; （5） e?4; （6）x； （7）2; （8）

52． 122．（1）0; （2） 85; （3） n； （4）l; （5） e2; （6）l; （7）e?2; （8）1． 23．（1）不存在； （2）高阶①②④，同阶③，无穷大⑤⑥； （3） a?b?1． 3 1．是； 2．否； 3．否； 4．否； 5．否； 6．否； 7．否； 8．是． 9．A： 10．B; 11．D: 12．1e 13． e; 14． ??3.?2???2,3,?; 15．1; 16．---

17．不连续；18．在R上连续；19．a?0,b?1；20． x?1．第一类； 21．（略）； 22．提示：令F(x)?x?f(x)．

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