北京航空航天大学历年数学竞赛答案

北京航空航天大学2012年数学竞赛试题

一、填空题（每小题6分，共60分）

xx?x1. lim? . x?11?x?lnx?exy?1,x?0,则f?(0,y)? . 2. 设f(x,y)??x?x?x?0,?y,3.

ln(x?2)?ln(x?1)dx? 2?x?3x?2

24. 函数f(x)?x?0?1te(x2?t)2dt的极大值为 .

35.设u?f(xyz)，其中f有三阶连续导数，f(1)?0,f?(1)?1, ?u?x2y2z2f???(xyz),则

?x?y?zf(x)? . ??6. 已知函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微， 且在该点沿着向量a?{1,1}和b?{?1,1}的方向

?导数分别为1和0，则f(x,y)在点(x0,y0)处沿着向量c?{3,4}的方向导数为 .

7. 设D:(x?1)2?(y?1)2?2,则 8. 设xn??13x(1?0n???xdxdy? .

Dx)dx, 则?xn?

n?14812916xxxx9. 幂级数1??????的和函数为 . 4!8!12!16!10. 已知

?(t,t2)(0,0)f(x,y)dx?xcoysdy?2tsint2()，且f(x,y)有一阶连续偏导数，则

f(x,y)= .

二. 已知连续函数f(x)是周期为T的偶函数，且 设an??nT?0Tf(x)dx?2.

T0xf(x)dx,n?1,2,3,?, 求幂级数?anxn和函数.

n?1?n!三. 设f(x,y,z)在区域?:x2?y2?z2?1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零. 求

lim??0?2?x2?y2?z2?1(???xfx?yfy?zfzx2?y2?z2)3dxdydz.

四．设P为曲面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点，若曲面S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹?，并计算曲面积分I?逆时针方向.

五. 设函数f(x)在[0,1]上有二阶导函数，f(0)?f(1)?a，且f(x)在[0,1]上的最小值在区间内部取得，最小值为b. 证明存在??(0,1)，使得f??(?)?8(a?b).

??ydx?zdy?xdz， 其中?的方向从z轴正向看是

北京航空航天大学2012年数学竞赛试题答案

一、填空题（每小题6分，共60分）

xx?x1. lim?2. x?11?x?lnx?exy?12,x?0,则f?(0,y)?y. 2. 设f(x,y)??x?x2?x?0,?y,3.

ln(x?2)?ln(x?1)ln2(x?1)ln2(x?2) dx?ln(x?1)ln(x?2)???C 2?x?3x?222

24. 函数f(x)?x?0?1te(x2?t)2dt的极大值为

e?1. 235.设u?f(xyz)，其中f有三阶连续导数，f(1)?0,f?(1)?1, ?u?x2y2z2f???(xyz),

?x?y?z 则f(x)?33x2?3.

22??6. 已知函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微， 且在该点沿着向量a?{1,1}和b?{?1,1}的方向

?导数分别为1和0，则f(x,y)在点(x0,y0)处沿着向量c?{3,4}的方向导数为72.

107. 设D:(x?1)2?(y?1)2?2,则

???xdxdy?2?.

D18. 设xn??x3(1?x)ndx, 则?xn?1

0n?11248129161119. 幂级数1?x?x?x?x??的和函数为ex?e?x?cosx. 4424!8!12!16!10. 已知

?(t,t2)(0,0)f(x,y)dx?xcoysdy?2tsint2()，且f(x,y)有一阶连续偏导数，则

f(x,y)=siny?2x2cosx2?sinx2.

二. 已知连续函数f(x)是周期为T的偶函数，且 设an??nT?0f(x)dx?T.

n!T20xf(x)dx,n?1,2,3,?,求幂级数?anxn和函数.

n?1?解：（1）令x?n??t，则

?0nTxf(x)dx??nT0(nT?t)f(t)dt?nT?nT0f(t)dt??nT0tf(t)dt

an?nT2??0nTf(t)dt?n2,n?1,2,3?.

n?2n?1???an?1?1xxnn2n级数?x??x?x??x??x2ex?xex,x?(??,??). n?1n!n?1(n?1)!n?2(n?2)!n?1(n?1)!

三. 设f(x,y,z)在区域?:x2?y2?z2?1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零. 求

lim??0?2?x2?y2?z2?1(2????xfx?yfy?zfzx?y?z)12223dxdydz.

解： 原式=lim?d??sin?d??[f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)]?rdr=?4?f(0,0,0)

??000??四．设P为曲面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点，若曲面S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹?，并计算曲面积分I?逆时针方向.

解：设P的坐标为(x,y,z),则曲面在点P处法向量为n??2x,2y?z,2z?y?，

??ydx?zdy?xdz， 其中?的方向从z轴正向看是

????2z?y?0,由题意知有n?k，即2z?y?0，从而得P的轨迹方程?:?2 . 22?x?y?z?yz?1由斯托克斯公式有I?2z?y?0x2?y2?z2?yz?1??y?1dS?5?23x2?y2?14???15?dxdy??.

352或由格林公式有I??Cydx?2dy?x2dy3x?y2?14???. 1?dxdy??32曲线为C:x?232y?1是?在xOy面上的投影曲线. 4五. 设函数f(x)在[0,1]上有二阶导函数，f(0)?f(1)?a，且f(x)在[0,1]上的最小值在区间内部取得，最小值为b. 证明存在??(0,1)，使得f??(?)?8(a?b). 证明：设f(x)在[0,1]上的最小值在点x0?(0,1)上达到，则由泰勒公式有

f??(?1)2f??(?)f??(?2)x0，a?b?(x?x0)2，a?b?(1?x0)2 222f??(?1)2f??(?2)f??(?1)2f??(?2)2x0?(1?x0)?0，x0?(1?x0)2=2(a?b) 从而

2222f??(?1)2f??(?2)x0?a?b，(1?x0)2?a?b, 解得

22f(x)?f(x0)?1f??(?1)f??(?2)?(a?b)(1?（易求函数y)?8(a?b)，?2222(1?x0)x0的最小值是8）.

由导数的介值性知存在??(0,1)，使得f??(?)??11?在(0,1)内22x(1?x)f??(?1)f??(?2)??8(a?b). 22

北京航空航天大学2010年数学竞赛试题

一.填空题（本题共60分）

1. 设函数f(x)在区间(0,??)内连续，对任意正数x，有f(x)?f(x2)，且f(3)?5，

则f(1)?____________

x5, 则f(5)(x)?__________________ 2. 设 f(x)?2x?1e3. 已知f(x)在(??,??)内可导，且limf?(x)?，

x??2x?cxlim()?lim[f(x?1)?f(x?1)]，则c?___________ x??x?cx??4. 已知

?ba(x?p)e3(x?p)2010dx?0, 则p?____________.

p?(2n?1)!!???5. 当p满足________时，级数?(?1)n?1??(2n)!!??绝对收敛. 4n?1??6. lim_(1?x)x?12?n?1?nxn?_____________

7. 已知f(x)?f(x?4)，f(0)?0，且在(?2,2]上有f?(x)?|x|，则f(9)?________ 8. 计算积分 d?d?00???2?11??20e?(1?z)dz?_______________

|x|?|y|?|z|?129. 设?是八面体

2的表面，则积分

??(x?2z?3)dS=_______________

?10. 设由曲线y2?x与直线x?1所围的均匀薄片(面密度为1)绕过原点的任意直

线的转动，则该转动惯量中的最小值为____________________ 二. (本题10分) 设R?sin?sin?sin?? (0???????),

sin?sin??sin?sin??sin?sin?2试问?,?,?中哪一个的变动对R影响最大?

?三、(本题10分) 已知an??2(x?0?42n)sin2xdx .

?1?2n?1（1）证明an?（2）求 ?an. ()；

2n?14n?0四、(本题10分) 计算曲面积分 ??xdydz?ydzdx?zdxdy, 其中 3?(x2?y2?2z2)2 ?:z?6?(x?1)2?(y?2)2的z?0部分的外侧.

1五、(本题10分) 求最小的实数C， 使得满足?|f(x)|dx?1的连续函数都有

01?f(0x)dx?C.

北京航空航天大学2010年数学竞赛试题答案

一.填空题（本题共40分）

1. 设函数f(x)在区间(0,??)内连续，对任意正数x，有f(x)?f(x2)，且f(3)?5，

则f(1)?_______5________

x55!11?)____________ , 则f(5)(x)?______?(2. 设 f(x)?2662(x?1)(x?1)x?1e3. 已知f(x)在(??,??)内可导，且limf(x)?，

x??21x?cxlim()?lim[f(x?1)?f(x?1)]，则c?___________ x??x?cx??24. 计算广义积分 ??n??0dx??_______________

(1?x2)(1?x2010)45. lim_(1?x)x?12?nxn?1?______1_______

16. 已知f(x)?f(x?4)，f(0)?0，且在(?2,2]上有f?(x)?|x|，则f(9)?________

222?11??2?17. 计算积分 d?d?e?(1?z)dz?_____(1?)__________

0002e???8. 设?是八面体|x|?|y|?|z|?1的表面，则

???(x?2y?4z?5)2dS?__1143_______

?x?2z?1?0y，直线是直、线在平面x?y?z?5上的投L?2y?2z?4?0z?9. 设函数u?exy?

I????R2?z2dv??1?2R2.

五、 在曲面?：z?最大？求最大体积。

x2a2?y2b2(0?z?h)内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积

解：在第一卦限的?上取一点(x,y,z)做为长方体的顶点，则该长方体的体积为

2x?2y?(h?z)

设拉格朗日函数L?2x?2y?(h?z)??(x2a2?y2b2?z)，

x2a24y?(h?z)??2xa2?0,4x?(h?z)??2yb2?0,?4xy???0,z??y2b2,

ahbhhabh2,y?,z?,最大体积为解得x?. 2222六、设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，满足f(0)?0, f(1)?1，且

?10f(x)dx?1. 试证明：在(0,1)内至少存在一点?, 使得f??(?)?0. 2证明：设辅助函数F(x)?f(x)?x,则F(0)?0,F(1)?0,

1又由

?0f(x)dx?11知?F(x)dx?0，从而存在c?(0,1),使得F(c)?0,

02由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点?, 使得F??(?)?0，即有f??(?)?0.

北京航空航天大学2008年数学竞赛试题

一．填空题（每题4分，共40分）

1.limn(nx?1)(x?0)?______.

n??1??x3?x4sin2,x?02.设f(x)??,则使f(n)(x)连续的阶数n的最大值为n?_____.x?0,x?0?

3.设f(x)?xarctanx,则f(2008)(0)?___________.

4.直线l1:x?1y?1zx?1y?1z?1??与直线l2:??所在的平面方程为________.111485

?ln(1?x2?xy)?,5.设f(x,y)??x?y,?6.??40x?0,x?0则fx?(0,0)?fy?(0,0)?_____.

dx(ab?0)?__________. 2222asinx?bcosx?sin2x07.当x?0时,1?x?1(??0)是比?围为___.ln(1?t)dt高阶的无穷小,则?的取值范

8.曲线y?sinx(0?x?π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为____.9.设有向曲面?:z?在?上的通量为___.10.已知x?2?(?1)n?1?n?1?sinnx?2n?11(???x??)且?(?1)?，2 n12nn?132

?4?x?y，上侧，则向量场A?{1,2,3}22

则x2的傅里叶展开式为_______.二 (本题10分) ．求In?三 (本题10分)

??0sin(2n?1)xdx.

sinx设f(x)在[0,2]上有一阶连续导数，且f(0)?f(2)?1，|f?(x)|?1,

求证?20f(x)dx?1.

四(本题10分) 求幂级数1??(?1)nn?1?(2n?1)!!nx的和函数.

(2n)!!五(本题10分) 已知函数f(x)为[0,??)上的连续函数，且满足方程

f(t)?πt?2x?y2?4t2??f?(12x?y2)dxdy,求f(x)的表达式. 2

六 (本题10分)

设t?a?0(a为常数),记S(t)为球面x2?y2?(z?a)2?t2被包含

球面x2?y2?z2?a2内部部分的表面积.试求S(t)的最大值.

七 (本题10分) . 求

?y2dx?z2dy?x2dz,其中C为曲线z?R2?x2?y2,x2?y2?Rx C(R>0),若从 z轴正向看去，C为逆时针方向.

北京航空航天大学2008年数学竞赛试题答案

一．填空题（每题4分，共40分）

1.limn(nx?1)(x?0)?__lnx____.

n??1?3?x?x4sin2,x?02.设f(x)??,则使fx?0,x?0?(n)(x)连续的阶数n的最大值为n?_1____.

3.设f(x)?xarctanx,则f4.直线l1:

(2008)(0)?__-2008?2006！_________.

x?1y?1zx?1y?1z?1??与直线l2:??所在的平面方程为3x?y?4z?2?0.111485?ln(1?x2?xy)?,x?0,5.设f(x,y)??x?y,x?0??则fx?(0,0)?fy?(0,0)?_2____.

6.?40dx1a(ab?0)?____arctan______. 2222abbasinx?bcosx?sin2x07.当x?0时,1?x?1(??0)是比?围为_??4__.

32ln(1?t)dt高阶的无穷小,则?的取值范8.曲线y?sinx(0?x?π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的4?体积为____.3

?9.设有向曲面?:z?4?x?y，上侧，则向量场A?{1,2,3}在?上的通量为22____12?___.

10.已知x?2?(?1)n?1?n?1?sinnx?2n?112(???x??)且?(?1)?，则x的傅里叶2n12nn?1?展开式为_x?2?23?4?(?1)nn?1cosnx_____.2n 二 (本题10分) ．求Inπ???0sin(2n?1)xdx.

sinxπ 解：In?1sin(2n?1)xsin2nxcosx?cos2nxsinx?dx?dx

sinxsinx00??sin2nxcos2nxsin(2n?1)xcosxdx-sinxdx ?dx=In =

sinxsinxsinx000πππ???所以，In=I1?? . 三(本题10分)

设f(x)在[0,2]上有一阶连续导数，且f(0)?f(2)?1，|f?(x)|?1,求证?220f(x)dx?1.

12证明?0f(x)dx??0f(x)dx??1f(x)dx.由f(x)?f(0)?f?(?1)x?1?f?(?1)x?1?x,0??1?x,x?[0,1];f(x)?f(0)?f?(?2)(2?x)?1?f?(?2)(2?x)?1?2?x?x?1,1??2?x,x?[1,2]. 112121??0f(x)dx??0(1?x)dx?,?1f(x)dx??1(x?1)dx?,222??0f(x)dx?1.四(10分). 求幂级数1??(?1)nn?1?(2n?1)!!nx的和函数.

(2n)!!?dxxn?x??(C??xee)?e??C?n??,

??n?1x 解：f(x)?fn(x)?xe,fn(x)?e?'nn?1x??dxexnex由 fn(1)? 得 C?0, fn(x)?.

nn?n?1?1xnexx?xnx?x?n-1?xxdxxelnfn(x)=??xdx=e?=e?==, x?[?1,1) e?????1?xnn?1nn?1?0n?1?01?x?五(本题10分) 已知函数f(x)为[0,??)上的连续函数, 且满足方程

f(t)?πt?2x?y2?4t2??f?(12x?y2)dxdy,求f(x)的表达式. 2 解： 显然 f(0)?1, 由于

x2?y2?4t2??2?2t2t121r2f(x?y)dxdy??d??f(r)dr??rf()dr 222000f(t)?e4πt2r?2??rf()dr

2022t等式两边关于t求导，得f?(t)?8πt?e4πt?8πtf(t)，于是有

8πtdt??8πtdt4πt22?4πt???e4πt?C f(t)?eC?8πte?edt?????2??代入 f(0)?1, 得 C=1.故 f(t)?e4πt4πt2?1，t?[0,??). 六 (本题10分)

2??设t?a?0(a为常数),记S(t)为球面x2?y2?(z?a)2?t2被包含

球面x2?y2?z2?a2内部部分的表面积.试求S(t)的最大值.?2t22x?y?(4a2?t2)?2?4a解：两球面的交线为：.?2t?z?a??2a?S(t)?Dxy???z?z1?()2?()2dxdy??x?yDxy??tt?x?y222dxdy??2?0d??t4a2?t22a0t?t??22d??2?t?2?t3a.3?t26?tS?(t)?4?t?,S??(t)?4??.aaS(a)??a2,limS(t)???.t???所以当t?44322a时，S(t)取最大值，且最大值S(a)??a.3327

七 (本题10分) 求

?y2dx?z2dy?x2dz,其中C为曲线z?R2?x2?y2,x2?y2?Rx C(R>0),若从 z轴正向看去，C为逆时针方向.

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