线性代数第五版答案(全)

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第一章行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

811411

02---;

解

81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a

c b c b a ;

解

a c a c

c b a

=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc

=3abc -a 3-b 3-c 3.

(3)2

22111c b a c

b a ;

解

22111c b a c b a

=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)

x y x x y x y y x y x +++.

解

x y x x y x y y x y x +++

=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).

2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2;

解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;

解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;

解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解逆序数为

)1(-n n :

3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)

(6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n ) (2n -2) ? ? ? 2. 解逆序数为n (n -1) :

3 2(1个) 5 2, 5

4 (2个) ? ? ? ? ? ?

(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)

4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ? ? ? ? ? ?

(2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.

解含因子a 11a 23的项的一般形式为 (-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,

其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和

42.

所以含因子a 11a 23的项分别是

(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,

(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:

(1)

110

0251020214214;

解

711002510202142140100142310202110

473

234-----======c c c c 34)1(14

3102211014+-?---=

1431022110

14--=01417172001099323

211=-++======c c c c . (2)

605

232112131412

解

2605232112131412-2

6050321221304122

--=====c

c 0

4120321221

3041

224--=

====r r

0000321221

3041

214=--=

====r r .

(3)ef

cf bf de cd bd ae

ac ab ---;

解

ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e

c b e

c b a

d f ---=

abcdef

adfbce 41

111111

11=---=.

(4)

c b a 100

110011001---.

解

d c b a 1001100

11001---d

c b a ab ar

r 1001100110

1021---++=====

c a ab 101101)

1)(1(1

2--+--=+0

1011123-+-++=====cd

c ad

a a

b d

c c

ad ab +-+--=+111)1)(1(2

3=abcd +ab +cd +ad +1

5. 证明:

(1)1

11222

b a a b ab a +=(a -b )3;

证明

2222b b a a b ab a +0

012222

2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====

b a b a b a ab 22)

1(2221

3-----=+2

)((a b a a b a b +--==(a -b )3 .

(2)

x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明

ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++

ay by ax x by

ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=

ay y x by

ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22

z y x y

x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=

y x z x

z y z y x b y x z x z y z y x a 33+=

x z x

z y z y x b a )(33+=.

(3)0)3()2()1()

3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222

2222

222

2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明

222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,

c 3-c 2, c 2-c 1得)

2321252321252321252321222

++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,

c 3-c 2得)

222122

21222122

22=++++=d d c c b b a a .

(4)4

2222

1111

d c b a d c b a d c b a

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );

证明

44422221111d c b a d c b a d c b a

)

()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=

)

()()(1

11))()((2

22a d d a c c a b b d

c b a

d a c a b +++---=

)(())((001

11))()((d

b d d a b

c b c c

d b c a d a c a b -++--

----=

()(11)

)()()()((d d a b c c b d b c a d a c a b +

++-----=

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).

(5)1

1 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +?

??-??????????

???????????-???--- =x n +a 1x n -1+ ?

? ? +a n -1x +a n .

证明用数学归纳法证明. 当n =2时, 2121

221

a x a x a x a x D ++=+-=

命题成立.

假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1

=x n -1+a

1 x n -2+ ? ? ? +a n -2x +a n -1,

则D n 按第一列展开, 有

1 00 1

00 01)1(1

1-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n

=xD n -1+a n

=x n +a

1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n .

因此, 对于n 阶行列式命题成立.

6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转, 依次得

n a a a a D 11111 ????

???????????=,

1112 n nn

n a a a a D ????

???????????= ,

113 a a a a D n n

nn ????

???????????=,

证明D D D n n 2

)

1(21)

1(--==

, D 3=D .

证明因为D =det(a ij ), 所以

nn n n n n

n a a a a

a a a a a a D 221

111

111111 )1( ?

?????????????????-=???????????????=-

???=?

????????????????????--=-- )1()1(331

221

11121n

nn n n

n n n a a a a a a a a

D n n n n 2

)

1()

1()2( 21)

1()

1(--+-+???++-=-=.

同理可证

n n n n a a a a D ???????????????-=- )

1(11112

)

1(2D

D n n T

n n 2

)1(2

)

1()

1(---=-=.

D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.

7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):

(1)a

D n

??=, 其中对角线上元素都是a , 未

写出的元素都是0;

解

a a a a D n 0 0010 000 0

0 0000 001

0 00?????????????????????????????????=

(按第n 行

展开)

)

1()1(1

0 000 00 00

00 0010 000)1(-?-+????

??????????????????????????-=n n n a

a a

)

1()1(2 )1(-?-?

???-+n n n a a

n n n

n a

a a

??-?-=--+)

2)(2(1

)

1()

1(=a n -a n -2

=a n -2(a 2-1).

(2)x

a x a

a a x D n ?

????????????????????=

; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得

x x a a

x x a a x x a a

a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 ,

再将各列都加到第一列上, 得

x a

x a x a

a a n x D n -??????????????????-???-???-+=00

00 0 000 0

0 )1(=[x +

(n -1)a ](x -a )n -1.

(3)1

1 1 )( )1()( )1(11

11???-?????????-?

?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n n ;

解根据第6题结果, 有

n n n n n n n n a a a n a a a n a a a

D )( )1()( )1( 11 1

1)1(1112)1(1-???--?????????-?

?????-???-???-=---++

此行列式为范德蒙德行列式.

∏≥>≥++++-

-+--=1

)

1(1)]

1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏≥>≥++-

--=1

)

1()]

([)

1(j i n n n j i

∏≥>≥++???+-++-

-?-=1

)1(2

)

1()()1()

1(j i n n n n n j i

∏≥>≥+-

1)(j i n j i .

(4)n n

d c d c b a b a D ?

???????????=

1112;

解

n d c d c b a b a D ?

???????????=

1112(按第1行展

开)

n n n n n

d d c d c b a b a a 000

111

11111

----?

???????????=

1(111

1111

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+?

?????

??????-+.

再按最后一行展开得递推公式 D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即

D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2.

于是

∏=-=n

i i i i i n D c b d a D 2

2)(.

而

11111

12c b d a d c b a D -==

所以

∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)(.

(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,

321 4 01233

0122 21011

210)det(?

??----?

?????????????????-???-???-???-???=

=n n n n n n n n a D ij n

0 4

321 1 1

1111 1

1111 111

11 1

111 213

2???----???????

??????????????----???---???--???--???-=

====n n n n r r r r

242321 0 2

2210 0

2210 00210 0

001 121

3-???----???????

??????????????----???---???--???-+???+=

====n n n n n c c c c

=(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n

n a a a D +??????????????????+???+=

1 1

1 1 111

112

1, 其中

a 1a 2 ? ? ? a n ≠0.

解

n a a a D +??????????????????+???+=

1 1

1 1 111 112

n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-???????????????????

????????-???-???-???-=

====--10 0

01 000 100 0100 01

00 0

1133

212

132

1131

121110

000

11 000 00 110

00 01100 001 ------+-???-????

???????????????????????-???-??????=n n

n a a a a a a a a

∑=------+?????????????????????????

??????????????=n i i n

n a a a a a a a a 1

131********

000

00 100

00 01000 001

1)((1

21∑

=+=n

i i

n a a a a .

8. 用克莱姆法则解下列方程组:

(1)?

????=+++-=----=+-+=+++0

1123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;

解因为

14211

21351324

1211111-=----=

D ,

14211

21051324

12211151-=------=

D ,

28411

20351224

12111512-=-----=

D ,

426

0135232422115113-=----=D ,

1420

321322

12151114=-----=

D ,

所以

111==D

D x , 22

2==

D x ,

33==

D x ,

144-==

D x .

(2)??

????=+=++=++=++=+15065065065165545434323

212

1x x x x x x x x x x x x x .

解因为

6655

10006510006510

065100065

==D ,

15075

10016510006510

0650000611==D ,

1145510106510006500

0601000152-==D ,

7035

06500006010

0051001653==D ,

39551

000

6010000510

0651010654-==D ,

2121

0000510006510

0651100655==D ,

所以

66515071=x ,

66511452-

=x ,

665

7033=

x ,

665

3954-=

x ,

665

2124=

x .

9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组

?????=++=++=++0

200321321321

x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为

μλ

μμμλ

-==1

21111

1D .

令D =0, 得

μ=0或λ=1.

于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.

10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组

???

??=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？

解系数行列式为

λλλλλλ--+--=----=1011

124

31111132421D

=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得

λ=0, λ=2或λ=3.

于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.

第二章矩阵及其运算

1. 已知线性变换:

?????++=++=++=3

21332123211

3235322y y y x y y y x y y y x ,

求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.

解由已知:

???

?????? ?

?=???? ??221321323513122y y y x x x ,

故

?????? ?

?=???? ??-32

221323513122x x x y y y ???

?????? ??----=321423736947y y y ,

?????-+=-+=+--=321332123211

423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换

?????++=++-=+=3

2133212311

542322y y y x y y y x y y x ,

?????+-=+=+-=3

23312211

323z z y z z y z z y ,

求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.

解由已知

??? ?????? ?

?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???

?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z

???

?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3

21332123211

1610941236z z z x z z z x z z z x .

3. 设???? ??--=111111111A , ???

? ??--=150421321B ,

求3AB -2A 及A T B . 解

??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB

????

??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,

? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T .

4. 计算下列乘积:

(1)??

?????? ??-127075321134;

解

???? ?????? ??-127075321134????

???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374???

? ?

?=49635. (2)???

??123)321(;

解 ???

??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).

(3))21(312-???

??;

解

)21(312-????

?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2?

??? ?

?---=632142.

(4)?

???

??---??? ??-20413121013143110412 ; 解

???

? ??---??? ??-20413121013143110412???

??---=6520876. (5)???

?????? ??32133231323221213121132

)(x x x a a a a a a a a a x x x ;

解

???

?????? ??32133231323221213121132

1)(x x x a a a a a a a a a x x x

=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3

a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???

? ??321x x x

223311321122

33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.

5. 设

??? ??=3121A , ??

? ??=2101B , 问:

(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为

??? ??=6443AB , ??

? ??=8321BA , 所以

AB ≠BA .

(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为

??=+5222B A ,

??? ????? ??=+52225222)(2B A ??

??=2914148,

但

??+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??

??=27151610,

所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.

因为??? ??=+5222B A , ??

??=-1020B A ,

??=??? ????? ??=-+906010205222))((B A B A ,

而

??=??? ??-??? ??=-718243011148322B A ,

故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.

6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0; 解取

???

??=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.

(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解取

? ??=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E .

(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解取

??? ??=0001A , ??

? ??-=1111X , ??

? ??=1011Y ,

则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .

7. 设??

? ??=101λA , 求A 2, A 3, ? ? ?, A k .

解 ??

? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA ,

??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A ,

? ? ? ? ? ?,

? ??=101λk A k .

8. 设???

??=λλλ001001A , 求A k .

解首先观察

???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ???

? ??=222

002012λλλλλ,

????

??=?=3232

323003033λλλλλλA A A ,

????

??=?=43423434004064λλλλλλA A A ,

??=?=545345450050105λλλλλλA A A ,

? ? ? ? ? ?,

??=k

A k

k k

k k k k k k k λλλλλλ00

02)1(12

1----????

? . 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，

???????

??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002

)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A

????

? ??+++=+-+--+11111100)1(02

)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:

?????

??-=---k k k

k k k k k k k k A λλλλλλ0002

)1(1

21. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.

证明因为A T =A , 所以

(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而

B T AB 是对称矩阵.

10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .

证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.

必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)??

??5221; 解

??=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为

?? ??--=???

??=1225*22122111A A A A A ,

故

*||1

1A A A =

-??

? ??--=1225.

(2)??

??-θθθθcos sin sin cos ;

解 ??

? ??-=θθθθc os s in s in c os A . |A |=1≠0, 故A -1存

在. 因为

??? ??-=???

??=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,

所以

*||1

1A A A =

-??

? ??-=θθθθcos sin sin cos .

(3)???

??---145243121;

解

???

??---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因

为

????

?-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,

所以

*||11

A A A =-????

??-----=17162

13213012.

(4)?

??n a a a 0021(a 1a 2? ? ?a n ≠0) .

解

????

??=n a a a A

002

1, 由对角矩阵的性质知

???

??=-n a a a A 100112

12. 解下列矩阵方程: (1)??

??-=??? ??12643152X ; 解

??? ??-??? ??=-126431521

X ?

??-??? ??--=12642153??

? ??-=80232.

(2)??? ??-=???

??--234311*********X ;

解

111012112234311-?

??--?

?? ??-=X

??---??? ??-=03323210123431131

????

??--

-=3253

122. (3)?

??-=??? ??-??? ??-101311022141X ;

解

110210132141--?

??-??? ??-??? ??-=X

? ????? ??-??? ??-=21011013114212

??? ????? ??=2101036612

???

??=04111. (4)???

??---=???? ?????

??021102341010100001100001010X

. 解

010100001021102341100001010--??

? ?????? ??---???? ??=X

???

?????? ??---???? ??=010100001021102341100001010???

? ??---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:

(1)???

??=++=++=++3

532

5221

32321321321x x x x x x x x x ;

解方程组可表示为

???

??=???? ?????? ??321153522321321x x x ,

故 ????

??=???? ?????? ?

?=???? ??-0013211535223211

321x x x , 从而有

???

??===0

321x x x .

(2)???

??=-+=--=--0

5231322

321321321x x x x x x x x x .

解方程组可表示为

???

??=???? ?????? ??-----012523312111321x x x ,

故 ???

??=???? ??????

??-----=???

? ??-3050125233121111

321x x x , 故有

???

??===3

321x x x .

14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+? ?

?+A k -1.

证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.

证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有

E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-? ? ?-A k -1+(A k -1-A k )

=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有

(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.

15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求

A -1及(A +2E )-1.

证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或

E E A A =-?)(2

由定理2推论知A 可逆, 且)(2

1E A A -=

-. 由A 2-A -2E =O 得

A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或

A E E A =-?+)3(4

)2(

由定理2推论知(A +2E )可逆, 且

)3(4

)2(1A E E A -=

+-.

证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得

|A 2-A |=2,

即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,

所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆.

由 A 2-A -2E =O ?A (A -E )=2E ?A -1A (A -E )=2A -1E ?

)(2

1E A A -=

-, 又由 A 2-A -2E =O ?(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ? (A +2E )(A -3E )=-4 E ,

所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,

)3(4

)2(1A E E A -=

+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 2

1||=

A , 求|(2A )-1-5A *|.

解因为*|

1A A A =

-, 所以

|||52

|*5)2(|11

1----=-A A A A A |2

521|

1---=A A

=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8?2=-16.

17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.

证明由*|

1A A A =

-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有

|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.

因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又

*)(||)*(|

|11

11---==

A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明

(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得

A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,

所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.

(2)由于*|

1A A A =

-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到

|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;

若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.

19. 设???

??-=321011330A , AB =A +2B , 求B .

解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故

??-???? ??---=-=--321011330121011332)2(1

A E A

B ???

??-=011321330. 20. 设???

??=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .

解由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).

因为010

010101

00||≠-==-E A , 所以(A -E )可

逆, 从而

???

??=+=201030102E A B .

21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1

=4[diag(2, -1, 2)]-1

,1 ,21(diag 4-=

=2diag(1, -2, 1).

22. 已知矩阵A 的伴随阵????

??-=80

00101001

0000

1*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,

B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A

11*)2(6*)2

(3---=-

=A E A E

???

? ??-=??

??--=-10

060600600006603

01010010000161

. 23. 设P -1AP =Λ, 其中??

? ??--=1141P

? ??-=Λ2001, 求A 11.

解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,

??-=1141*P ,

???

??--=

-1141311P , 而 ??

??-=?

? ??-=Λ1111

20 012001,

故

?? ??--??? ??-??? ??--=313

13431200111411111A ??? ??--=68468327322731.

24. 设AP =P Λ, 其中???

? ??--=11120111

1P ,

? ??-=Λ511,

求?(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ?(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)

=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).

?(A )=P ?(Λ)P -1

*)(|

P P P Λ=

???

? ??------???? ?????? ??---=12130322200000000111120111

???

??=1111111114.

25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为

A -1(A +

B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,

而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.

(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .

26. 计算?

? ??---?????

??300032001210130130

12001010

0121

解设

? ??=10211A , ???

??=30122A , ??? ??-=12131B , ?

??--=30322B ,

则

??? ????? ??2121B O B E A O E A ??? ??+=2

22111B A O B B A A , 而 ?

??-=??? ??--+??? ??-??? ??=+4225303212131021211B B A ,

??--=??? ??--??? ??=90343032301222B A ,

所以

??? ????? ??2121B O B E A O E A ???

??+=2

22111B A O B B A A ?

?? ??---=9000340042102521,

即

? ??---????? ??3000

320012101301300

120010100121?

? ??---=9000340042102521

27. 取

??==-==1001D C B A , 验证

||||||| D C B A D C B

A ≠.

解

4100120021

010*********

21010

0101

1010

0101

==--=--=D C B A , 而

0111

1|||||||| ==D C B A , 故

||||||| D C B A D C B A ≠.

28. 设?

??-=220

23443O O A , 求|A 8|及A 4.

解

令??? ??-=34431A , ?

? ??=22022A ,

则

??=21A O O A A ,

故 8

218

??? ??=A O O A A ??

? ??=828

1A O O A ,

1682818

281810||||||||||===A A A A A .

????

??=???

??=4644

4241

4220

25005O O A O

O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求

(1)1

? ??O B A O ;

解设??

??=?

??-43211

C C C C O B A O , 则

??? ??O B A O ??

??4321C C C C ??? ??=??

? ??=s n E O O E BC BC AC AC 2143.

由此得

?????====s n E BC O BC O AC E AC 21

43??????====--1

141

3B C O C O C A

C , 所以 ??

? ??=?

??---O A B O O B A O 11

(2)1

? ??B C O A .

解设??

??=?

??-43211

D D D D B C O A , 则

??? ??=???

++=??? ????? ??s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 423

1214321. 由此得

????=+=+==s n E BD CD O

BD CD O

AD E AD 423

121??????=-===----14

132

1B D CA B D O D A D ,

所以 ??

? ??

-=?

??-----11

B CA

B O A B

C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:

(1)????

??25

380000120025

; 解设

??? ??=1225A , ??

? ??=2538B , 则

? ??--=?

? ??=--522112251

1A ,

??--=?

??=--853225381

1B .

于是

??---=?

?? ?

?=???

??=????

? ??----5

002

00052

2125

380000120025

B A B A .

(2)????

??41

0312********. 解设

? ??=2101A ,

??? ??=4103B , ?

??=2112C , 则

??-=???

??=????

??------11

4121031200210001B CA

B O A B

C O A

???????

?-----=4112124581031

612100

210001.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:

(1)???

??--340313

021201; 解 ????

??--340313

021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. ) ~???

? ??---020031

00120

1(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). ) ~????

??--010*********(下一步: r 3-r 2. )

~????

??--300031001201(下一步: r 3÷3. )

~????

??--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )

~???

??-100001

001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )

~???

??100001000001.

(2)???

??----174034

301320; 解 ???

??----174034

301320(下一步: r 2?2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )

~???

? ??---3100310

013

20(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )

~????

??0000310010020(下一步: r 1÷2. )

~???

??000031005010.

(3)?

??---------12433023221453334311

;

解 ?

??---------124

023*******

34311(下一步: r 2-3r 1,

r 3-2r 1, r 4-3r 1. )

~???

? ??--------1010500663008840034

311(下一步: r 2÷(-4),

r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )

~???

??-----22

1002210022

10034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )

~???

??---00000000002210032011.

(4)?

??------34732038234202173132

解 ?

??------3473

2038234202

173132(下一步: r 1-2r 2,

r 3-3r 2, r 4-2r 2. )

??-----1187

701298804202111110(下一步: r 2+2r 1,

r 3-8r 1, r 4-7r 1. )

~???

? ??--41000410002020111110(下一步: r 1?r 2, r 2?(-1),

r 4-r 3. )

??----000004100011110

20201(下一步: r 2+r 3. )

~??

??--000

4100030110

20201.

2. 设???

??=???? ?????? ??987654321100010101100001010A , 求

A .

解 ???

??100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其

本身.

???

??100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是

E (1, 2(-1))

???

??-=100010101.

???

??-???? ?????? ??=100010101987654321100001010A

???

??=???? ??-???? ??=287221254100010101987321654.

3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:

(1)???

? ??323513123;

解

???? ??100010001323513123~???

??---101011001200410123

~????

??----1012002110

102/102/3023~???? ??----2/102/11002110102/922/7003 ~???

??----2/102/11002110

102/33/26/7001

故逆矩阵为?????

? ??----21021211233267. (2)?

????

??-----1210

232112201023.

解 ????

??-----10

000100001

000

011210

232112201023

~????

??----0010030110

0001

001220594012102321 ~???

??--------20104301100001001200110012102321

~???

??-------106124301100001001000110012102321

~???

?? ??----------10612631110`1022111000010000100021

??-------106126

3111010421110

01000010

0001

故逆矩阵为???

??-------10612631110104211.

4. (1)设???? ??--=11312

2214A , ???

??--=132231B , 求X 使AX =B ; 解因为

??----=132231 113122214) ,(B A ???

? ??--412315210 1000100

01 ~r

, 所以

???

? ??--==-412315210

1B A X .

(2)设???

? ??---=43331

212

0A ,

??-=132321B ,

求X 使XA =B .

解考虑A T X T =B T . 因为

??----=134313*********) ,(T T B A ???

??---411007101042001 ~r

, 所以 ??

??---==-417142)(1T T T

B A X

从而 ??

??---==-4741121

X .

5. 设???

??---=101110

011A , AX =2X +A , 求X . 解原方程化为(A -2E )X =A . 因为

???

??---------=-101101110110011011) ,2(A E A

???

??---011100101010110001~, 所以

???

??---=-=-011101110)2(1A E A X .

6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?

解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.

例如,

???

??=010*********A , R (A )=3.

0是等于0的2阶子式,

10001000是等于0的3

阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?

解 R (A )≥R (B ).

这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.

8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是 (1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).

解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下

三角矩阵:

?????

??-00

00001000001010001100

001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.

9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:

(1)???

??---4431121

12013;

解 ????

??---4431121

12013(下一步: r 1?r 2. )

~???

??---44312013

1211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )

~????

??----56405640

1211(下一步: r 3-r 2. ) ~??? ??---0000

56401

211,

矩阵的2

秩为

3-=-是一个最高阶非零子式.

(2)???

??-------815073131

213123;

解 ???

??-------815073131

223123(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )

~??

? ??------152733210591170

14431(下一步: r 3-3r 2. )

~??

? ??----000005911

7014431, 矩阵的秩是2, 71

23-=-是一个最高阶非零子式.

(3)??

??---02301085235703273812

解 ??

??---023

010*******

3273812

(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4,

r 3-3r 4. )

~???

? ??------02301024205363071210

(下一步: r 2+3r 1,

r 3+2r 1. )

??-02301

140000160000

71210(下一步: r 2÷16r 4,

r 3-16r 2. )

??-0230

0000010000

71210

??-0000

1000071210

02301

矩阵的秩为3,

0700

230855

70≠=-是一个最高阶非零子式.

10. 设A 、B 都是m ?n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).

证明根据定理3, 必要性是成立的.

充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的.

设A 与B 的标准形为D , 则有

A ~D , D ~

B .

由等价关系的传递性, 有A ~B .

11. 设??

??----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使

(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.

解

??----=32321321k k k A ???

??+-----)2)(1(001

1011 ~k k k k k r

. (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.

12. 求解下列齐次线性方程组:

(1)???

??=+++=-++=-++0

2220

202432143214321x x x x x x x x x x x x ;

解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有

A =???? ??--212211121211~???

? ??---3/4100131

001

01,

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