34.2014高考领航（文）6-2

【A级】 基础训练

1．(2013·抚顺模拟)已知不等式2x≤x2的解集为P，不等式(x－1)(x＋2)＜0的解集为Q，则

集合P∩Q等于( )

A．{x|－2＜x≤2} C．{x|0≤x＜1}

B．{x|－2＜x≤0} D．{x|－1＜x≤2}

解析：P＝{x|x2－2x≥0}＝{x|x≤0或x≥2}，Q＝{x|－2＜x＜1}，所以P∩Q＝{x|－2＜x≤0}，故选B. 答案：B

2．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中的

( )

c1

解析：由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，

aa得a＝－1，c＝－2，

f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，由－x2＋x＋2＝0得两根分别为－1和2.故选B. 答案：B

3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )

A．－4≤a≤4

B．－4＜a＜4 D．a＜－4或a＞4

C．a≥4或a≤－4

解析：不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4，故选D. 答案：D

4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.

解析：∵x＝1与x＝m是ax2－6x＋a2＝0的根 a26

∴1＋m＝a m＝a＝a 6

∴1＋m＝m ∴m2＋m－6＝0 (m＋3)(m－2)＝0

∴m＝－3或m＝2 又∵m＞1 ∴m＝2. 答案：2

5． (2013·江南十校联考)已知f(x)＝错误!则不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤3的解集是

________．

???x－1＜0?x－1≥0

?解析：或? ???x＋?x＋1?x≤3?x＋?x＋1??－x?≤3

∴－3≤x＜1或x≥1 ∴x≥－3. 答案：{x|x≥－3}

6．不等式ax2＋(ab＋1)x＋b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a＋b＝________.

解析：∵ax2＋(ab＋1)x＋b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，

?－ab＋1＝3，a∴?b

?a＝2，

3

答案：－或－3

2

a＜0，

1???a＝－2，?a＝－1，

解得?或?

?b＝－2.???b＝－1

3

∴a＋b＝－或－3.

2

7． 二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试解不等式f(x)＞－

1.

2＋?－1?1

解：由于f(2)＝f(－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x＝＝，又221

x－?2＋8，将f(2)＝－1代入得，a＝－4. 知最大值为8.可设f(x)＝a??2?1

x－?2＋8. ∴f(x)＝－4??2?

由f(x)＞－1，－4x2＋4x＋7＞－1， 即x2－x－2＜0，∴解集为{x|－1＜x＜2}． 8． 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．

??m＜0，

解：(1)由题意可得m＝0或? 2

?Δ＝m＋4m＜0?

?m＝0或－4＜m＜0?－4＜m≤0. 故m的取值范围为(－4,0]．

(2)∵f(x)＜－m＋5?m(x2－x＋1)＜6， ∵x2－x＋1＞0， ∴m＜

6

对于x∈[1,3]恒成立，

x－x＋1

2记g(x)＝

6

，x∈[1,3]，

x－x＋1

2记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数． 则g(x)在[1,3]上为减函数， 66

∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m＜.

776－∞，?. 所以m的取值范围为?7??

【B级】 能力提升

1

1．(2012·高考重庆卷)设x∈R则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )

2

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：解不等式后直接判断．

1??1

x＞或x＜－1?，故由x＞?2x2＋x－1＞0，但2x2不等式2x2＋x－1＞0的解集为?x?22???1

＋x－1＞0x＞，故选A.

2答案：A

10，? 2．(2013·杭州模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈??2?成立，则a的最小值为( ) A．0 5

C．－

2

B．－2 D．－3

10，?. 解析：由x2＋ax＋1≥0，x∈??2?1

∴ax≥－1－x2，∴a≥－x－x. 1155x＋x?≤－.∴a≥－. 又－x－x＝－???22

5

即a的最小值为－.

2法二：令f(x)＝x2＋ax＋1， 1

0，?成立． 即f(x)≥0对x∈??2?(1)当Δ≤0时，即a2－4≤0，即－2≤a≤2成立． 1

0，?成立． (2)当Δ＞0时，要使f(x)≥0对x∈??2?Δ＞0，

?

?f?1?≥0，则??2?

a1?－?2＞2

??f?0?≥0，

或?

a－??2＜0

Δ＞0，

Δ＞0，

?

?f?－a?≥0，或??2?a1?0≤－?2≤2

5

∴－≤a＜－2或a＞2.

25

由(1)、(2)可知a的最小值为－.

2答案：C

3．(2013·河北衡水三模)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函

数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为

( )

A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2) C．(2,3)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：由导函数图象知当x＜0时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数； 当x＞0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

故不等式f(x2－6)＞1等价于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，即－2＜x2－6≤0或0≤x2－6＜3，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)． 答案：A

4．(2013·泰州质检)若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，则x的

取值范围为________．

解析：(等价转化法)将原不等式化为：m(x2－1)－(2x－1)＜0.令f(m)＝m(x2－1)－(2x－

??f?－2?＜0，

1)，则原问题转化为当－2≤m≤2时，f(m)＜0恒成立，只需?即可，

?f?2?＜0?

2

??－2?x－1?－?2x－1?＜0，即?2解得 ?2?x－1?－?2x－1?＜0，?

－1＋71＋3

＜x＜. 22

?－1＋71＋3? 答案：??

?2，2?

5．(2011·高考浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．

解析：方法一：令x＋y＝t，则y＝t－x，代入x2＋y2＋xy＝1，整理得：x2－tx＋t2－1＝0，

则方程必有实根，即Δ＝t2－4(t2－1)≥0，

4232323即t2≤，解得－≤t≤，故x＋y的最大值为.

3333方法二：由x2＋y2＋xy＝1得1＝(x＋y)2－xy， ?x＋y?2

∴(x＋y)＝1＋xy≤1＋，

4

2

42323

即(x＋y)2≤，故－≤x＋y≤，

33323

∴x＋y的最大值为.

3答案：

23

3

6．(2013·山东泰安市上学期期末检测)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x

－1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x，x∈R，不等式f(x2＋6x＋21)＋f(y2－8y)＜0恒成立，则x2＋y2的取值范围是________． 解析：由题意知f(x)是奇函数且在R上为增函数， ∴f(x2＋6x＋21)＜f(－y2＋8y)恒成立，则x2＋6x＋21

＜－y2＋8y恒成立， 即(x＋3)2＋(y－4)2＜4恒成立， 即(x，y)为如图⊙M内的点(不含边界)， 则3＜x2＋y2＜7. 答案：(3,7)

7．(创新题)三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恒成立，求

实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．

参考上述解题思路，求你认为他们所讨论的问题的正确结论时a的取值范围． 解：由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1≤x≤12?a≤x＋当且仅当x＝5∈[1,12]时等号成立；

|x2－5x|≥0，当且仅当x＝5∈[1,12]时等号成立． 25

x＋x＋|x2－5x|?min＝10， 所以a≤???当且仅当x＝5∈[1,12]时等号成立． 故a∈(－∞，10]．

2525

＋|x2－5x|，而x＋≥2xx

25

x·＝10，x

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．

参考上述解题思路，求你认为他们所讨论的问题的正确结论时a的取值范围． 解：由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1≤x≤12?a≤x＋当且仅当x＝5∈[1,12]时等号成立；

|x2－5x|≥0，当且仅当x＝5∈[1,12]时等号成立． 25

x＋x＋|x2－5x|?min＝10， 所以a≤???当且仅当x＝5∈[1,12]时等号成立． 故a∈(－∞，10]．

2525

＋|x2－5x|，而x＋≥2xx

25

x·＝10，x

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