近世代数证明题

证明题

1、设G是群，a∈G ，令CG（a）= {x|x∈G ，xa = ax}，证明：CG（a）≤G 2、设G ~ G，H≤G，H = {x | x ∈G ，f（x）∈ H}。证明：H/Kerf ≌H. 3、证明：模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。

f

?ab??ox?4、设R = ??oc?? ，a，b，c ∈Z ，I = ??oo?? x∈Z 。

????（1）验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。 （2）证明I是R的一个理想。

5、设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob = a u 2 b （a，b∈G），证明 （G，

o）构成一个群.

6、设R为主理想整环，I是R的一个理想，证明R/I是域?I是由R的一个素元生成

的主理想.

7、证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.

8、设G是群，H≤G。令NG（H） = {x | x∈G，xH = Hx }.CG（H）= { x | x∈G，?h ∈

H，hx = xh }.证明： （1）NG（H）≤G

（2）CG（H）△NG（H）

9、证明数域F = {a＋b7|a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.

10、设R是主理想环，I = （a）是R的极大理想，ε是R的单位，证明：εa 是R的

一个素元.

11、设G与G是两个群，G ~ G，K = Kerf，H≤G，令H = {x |x∈G ，f(x) ∈

H}，证明：H≤G且H/K ≌H.

f

12、在多项式环Z[x]中，证明：

（1）（3，x）= {3a0＋a1x＋?＋anxn|ai ∈Z}. （2）Z[x]/(3，x)含3个元素.

13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|x?G, xH=Hx},证明NG(H)是G的子群．

14、在整数环Z中, a, b?Z,证明(a, b)是Z的极大理想的充要条件是a, b的最大公因数是一个素数。

1

??ab????02x?????a,b,c?Zx?Z15、设R=??, I=????． ?0c????????00?? (1) 验证R对矩阵的加法和乘法构成环。 (2) 证明I是R的一个理想。

16、设G是群，令 C={x|x?G, ?y?G, xy=yx},证明C是G的正规子群。 17、在整数环Z中, p, q是不同的素数,证明 (p)?(q)=(pq), (p,q)=Z。 18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。 19、设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。

20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，

且G21、设RT除单位元之外不含有限阶元素。

?m???m,n?Z,(n,p)?1.p是质数?证明(R,+,?)是整环（+,?是数的加法?n??1与乘法）．

22、取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=aub.?a.b?G.证明（Ｇ，o）是群． 23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明

??a1?? N???b1??c??1oo????oo?a1,b1,c1?R?是A的一个左理想。

?oo???24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。 25、证明循环群的子群也是循环群。 26、证明（3，x）是Z[x]的一个极大理想。

27、I是一个整环，a, b?I,（a），（b），是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是

a与b相伴。

28、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。

29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程x2?e的解，证明G是一个交换群。

2

30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明GN也是一个循环群. 31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。

32、设I是一个主理想环,a, b?I, d是a是与b的一个最大公因子,证明(a, b)=(d)。 33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。 34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域?p为质数(素数)。 35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不是主理想。 36、证明群G为交换群?f:x?x?1(x?G)为G到G的一个同构映射。

37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。 38、证明阶是素数的群一定是循环群。

39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bia,b?Z, i2=-1}中，3是一个素元。 40、设Z是整数环, x是Z上的未定元, 证明Z[x]的生成理想。 (3,x)={3a0?a1x???anx|ai?Z,0?n?Z},并且剩余类环Z[x]41、 证明(5,x)不是Z[x]的主理想。

42、设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 G43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。

44、设F22是有理数域上的二阶方阵环，证明F22只有零理想和单位理想，但F22不是一个除环。

45、设G是群，f：G→G，a?a2,(a?G)证明f是群G的自同态?G是交换群。 46、设G=｛（a, b）|a, b?|R,a?0｝，在G上定义“?”：(a, b)?(c,d)?(ac,ad?b) 证

明（G，?）构成一个群。

47、设G是有限交换群，f：G?G,f(g)=gk(?g?G)证明f?Aut(G)?(k,|G|)=1。 48、设G是100阶的有限交换群，f: G?G, f(g)=g49(?g?G),证明f?Aut(G)。 49、设A?G,B?G如果存在a, b?G,使得Aa=Bb,则A=B。

50、设G是交换群，m是固定的整数，令H=｛a|a?G, am=e｝，证明H?G。 51、设H?G,令CG(H)=｛g|g?G,?h?H,gh=hg｝，证明CG(H)?G。

3

(3,x)={[0]，[1]，[2]}。

?a??Z10。

52、设G是非空有限集合，“?”是G的一个二元运算，“?”适合结合律及左、右消去律，证明：(G,?)构成一个群，当G是无限集时呢？ 53、设G是2000阶的交换群，H?G,|H|=200，证明：GH是一个循环群。

54、证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两

个，则G是否一定同构于Z ？

55、设G是一个循环群，|G|?3,4,G的生成元的个数为2，证明G?Z。 56、设G是有限群，H?G, a?G,证明存在最小正整数m,使am?H,且m|a。 57、设G是奇阶群，则对任意g?G, 存在唯一元x?G, 使g=x2。 58、证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。

59、设H?G, g是G的一个固定元素，gHg-1=｛ghg-1|h?H｝ （1）证明: gHg-1?G。 （2）证明: H?gHg?1。

??a2b??60、设G=a?b2|a,b?Q,H?????ba?|a,b?Q?，G对复数的加法构成群，H对矩阵

??????的加法也构成群，证明：G?H。

61、设H是群G的非空子集, 且H中元的阶都有限，证明：

H?G?H2?H。

62、设N?G, |G/N|=10, g?G, |g|=12, 证明: g2?N。

63、设G是群，a, b?G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, ∩=｛e｝.证明：|ab|=[m, n]

([m, n]是m, n的最小公倍数)。

64、设?是一个n次置换，集合X=｛1, 2, 3, ?, n｝，在X中，规定关系“~”为

k~l??r?Z, 使?r(k)=l.证明：“~”是X上的一个等价关系。 65、设K=｛(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)｝证明：K?S4。 66、设G是群，H?G, 规定关系“~”

a ~ b?ab?1?H,?a,b?G 证明：~是G的一个等价关系，且a所在的等价类[a]=Ha。

4

67、证明：15阶群至多含有一个5阶子群。

68、设H?G, 若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H?G。 69、设N?G, [G:N]=2004, 证明：对?x?G, 恒有x2004?N。 70、设N?G, [G:N]=4,证明：存在M?G,且[G:M]=2。

71、设H，N?G, H?N??e?,a?H,b?N,|a|?2,|b|?3证明：|ab|=6。 72、设H?G, 证明：H?G??a,b?G,如果由ab?H?ba?H。 73、设k|m, 证明:

Zm?k??Zk。

74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得?e??B?N, 证明：

整数加群Z没有极小子群。

75、如果C(G)是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）。 76、证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。

77、证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。 78、设R为环，如果每个元素a?R都满足a2=a，证明R为交换环。

79、环R中元素a称作幂零的，是指存在正整数m，使得am=0，证明：当R为交换环时，

两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。

80、设R和R都是含单位元的环，1R?0R， f是R到R的满同态，证明：（1）f(1R)=1R； （2）如果a是R的单位，则f(a)是R的单位。

??00????A?|x,y?R81、设 ???证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。?xy????___G82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。

83、设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R

84、设R是交换环，X是R的非空子集，令Ann(X)??r|r?R,rx?0,?x?X? 证明：Ann(X)是R的理想。

85、设R是环，I， J是R的两个理想，令

?I:J???x?R|xJ,Jx?I?，证明：[I:J]是R5

的理想。 86、设Z?2???a?b2|a,b?Z,I?(2)证明：Z[2]?I是域。

87、设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果R的每个不在I中的元素

都可逆，则I是R的唯一的极大理想。

88、在Z[x]中，证明(7, x)不是Z[x]的一个主理想。

89、设I和J是环R的理想, 且满足I+J=R，I∩J=｛0｝证明：R?J。

I90、证明：整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。 91、在整环Z[?3]?a?b?3|a,b?Z中, 证明4??3是素元。

92、设f:R?R为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态

是指g: R?R, x?0,x?R）。

93、设f:R?S是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且P?K,则f(P)是S的素理

想。

94、设f:R?S是环的满同态，Q是S的素理想，证明：f?1?????(Q)??a|a?R,f(a)?Q?是

R的素理想。

95、设D为整环，m和n为互素的正整数，a, b?D如果am=bm, an=bn求证a=b。 96、证明：Z[x]不是主理想整环。

97、设R为交换环，R2=R, 则R的每个极大理想都是素理想。

R[x]98、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取x+1?R[x]证明：

2(x2?1)?C，C为

复数域。

99、设R是一个主理想整环，p, q?R都是素元，且p与q不相伴，

证明(p, q)=R。

100、设S是环R的子环，I是R的理想，且I?S，证明：

S是RI的子环。 （1）I（2）若S是R的理想，则S是R的理想。

II 6

101、设f是环R到环R?的满同态，A为R的理想，证明：f(A)?R??A?Kerf?R。 102、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：f(N)?G?N?Kerf?G。 103、设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的一个极大理想。 104、设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f 是R的一个自同构。 105、设H，K?G,则对任意a, b ?G,则Ha?Kb=?或Ha?Kb是H?K的一个右陪集，

该结果能否推广？ 106. 方程 107. 设

在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.

??

证明 关于矩阵的乘法构成群. 108. 设 是群. 证明: 如果对任意的 109. 证明: 在群 中, 如果 110. 设 为加群. 证明: 任给

, 则 ,

, 有 . , 有

.

, 则 是交换群.

111. 证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。 112. 设群 的子群 在 中的指数为2. 证明:

,

.

113.设 为群, 是 的子群. 证明: 中每个元素属于且属于 的一个左陪集. 114. 设 是群, 是 的子群,

. 则

是 的子群.

115. 设 是群, 是 的非空子集. 证明: 中与 中每个元素都可交换的元素全体

7

是 的子群. 116. 设

. 证明: 是

的子群.

117. 设 是交换群. 是一个固定的正整数. 令

,

.

证明: 与 都是 的子群.

118. 设 为群. . 证明: 与 有相同的阶.

119. 设 为群. . 证明:

(1) 与 有相同的阶.

(2) , , 有相同的阶.

120. 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: .

121. 证明: 循环群是交换群.

122. 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数. 123. 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素. 124. 设 为素数. 证明:

中每一个非零元都是生成元.

125. 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶.

126. 证明:

127. 设 是群, 证明: 的中心

8

是 的正规子群. 128. 设 是群,

,

, 证明:

.

129. 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明: (1) 是 的正规子群; (2) 是 的子群. 130. 设 为 的中心. 证明: 如果

是循环群, 则 是交换群.

131. 设 为群, 对任意的 , 称

为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作

是 的正规子群;

是交换群; , 且

为交换群, 则

是 的子群.

. 证明:

(1)

(2) 商群 (3) 若 注:

是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.

132. 设 与 仅当对任意的

为群, 为 到 的同态映射.

, 有

.

. 证明: 当且

133. 设 与 为群, 为 到 的同态映射. ,

. 证明:

134. 设 为 到

.

的同态映射, . 为 的子群. 证明:

9

135. 设 与 分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当 .

136. 设 都是群 的正规子群. 证明:

137. 设群 在集合 上的作用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素. 138. 设群 作用在集合 上，

.

139. 证明集合

. 证明： 如果存在

, 使得

, 则

关于通常的加法与乘法构成一个整环. 并求出 140. 证明集合

的所有单位.

关于通常数的加法与乘法构成域. 141. 证明: 由所有形如

的矩阵组成的集合 关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环, 试确定这个环的所有零因子.

145. 证明: 一个具有素数个元素的环是交换环. 146. 设 是环.

是 的单位元. 证明: 对任意的

,

.

10

193. 证明：循环群的子群也是循环群．

194. 若群G与群G同态，且G是循环群，证明：G也是循环群．

195. 证明：阶为pm的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群． 196. 设H，K是群G的不变子群，证明：HK也是G的不变子群

197. 设H，K是群G的不变子群，且H?K?{e}．证明：?h?H,?k?K，都有hk?kh．

198. 设H，K是群G的不变子群，证明：H?K也是G的不变子群。 199. 设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群． 200. 设G是一个n阶有限群．证明：G的每一个元素都满足方程xn?e．

201. 设G是一个群，C?{a?G|ax?xa,不变子群．

202. 设C是群G的中心，即

?x?G}是G的中心，证明：C是G的一个

C?{a?G|ax?xa,?x?G}．

且商群GC是循环群．证明：G交换群．

203. 若G 是循环群，H是G的一个子群．证明：GH也是循环群．

204.设G是一个群，令?:x?x?1,x?G．证明：?是G到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群． 205. 设R是一个环，令

C(R)?{R?G|ax?xa,?x?R}．

证明：C（R）是R的一个子环．

16

206. 设R是一个环．证明：如果R有左零因子，则R中有非零元x，使x既是左零因子，又是右零因子．

207. 设R是一个环．证明：如果R有右零因子，则R中有非零元x，使x既是左零因子，又是右零因子．

208. 设R是一个有单位元1的环，a,b?R．证明：1+ab是可逆元的充分必要条件是1+ba是可逆元．

209. 如果环R的每个元素x都满足方程x2?x，证明：对任意x,y?R，有x+x=0，xy=yx．

210. 设I1,I2是环R的理想．证明：I1?I2也是R的理想． 211.在M2(Z)中，令

??ab????02d??，???T???I????． ?0c?a,b,c?Z????????00?d?Z?证明：（1）T是M2(Z)的子环；（2）I是T的理想．

212. 在M2(Z)中，令

??0??a0??T????2d?bc??a,b,c?Z?，I??????????0???． 0?d?Z??证明：（1）T是M2(Z)的子环；（2）I是T的理想．

213. 设I?{5n|n?Z}．证明：I是整数环Z的一个理想． 214. 设I是环R的一个理想，令

?:a?a?I,a?R．

证明：?是R到RI的同态满射．

17

215.设?是环R到环R的一个同态满射．证明：?是R到 R的一个同构映射的充分必要条件是：?的核ker(?)={0}．

216. 设R是一个交换环，N为R中所有幂零元的集合，即

N?{a?R|存在n?Z?，使an?0}．

证明：（1）N是R的理想；（2）RN中不含有非零的幂零元．

217. 在高斯整环Z[i]?{a?bi|a,b?Z}中，证明：1-2i是素 元（既约元）．

218．证明：高斯整环Z[i]?{a?bi|a,b?Z}的单位只有?1,?i。

219. 在高斯整环Z[i]?{a?bi|a,b?Z}中，证明：a+bi是单位的充分必要条件是a+bi的模|a+bi|=1．

220. 设Z[i]?{a?bi|a,b?Z}是高斯整环．对于??Z[i]，若|?|2?p是一个素数，证明：

?是一个素元（既约元）．

221. 设R是一个整环，a,b?R．证明：主理想（a）=（b）当且仅当b是a的相伴元． 222. 证明：整数环Z是主理想环。

223. 证明：数域F上的多项式环F[x]主理想环．

?1224. 设G是一个群，u是在G中取定的元，在G中规定结合法\?\： a?b?aub , 证

明：（G，?）是一个群。

?1f:x?x225.证明是G的一个自同构的充要条件是：G是可换群。

m226. 设G是有限群，H是G的子群，a?G,证明，存在最小正整数m，a?H，并且，

m是a的周期n的因数。

18

227. 设S是域F的一个非零子环，证明，S是子域的充要条件是：对任意的x?S,x?0,

?1均有x?S。

228. 设R是一个有单位元1的整环，证明，R[x]中首项系数为1的多项式能分解成R[x]中既约多项式的乘积。

229. 设F?Z/(2)，证明f(x)?x3?x?1是F[x]中的既约多项式，写出F[x]/(f(x))的乘法表，并证明F[x]/(f(x))是f(x)的分裂域。

230. 设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6. 231. 证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e.

??ab?232. 设A=???0c???????00?A1=???0x?????? a、b、c∈?关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明

??x∈?是A的子环，找出A到A1的一个同态满射f,求f的核N.

?(

)关于矩阵的乘法构成一个非交换

233. 全体可逆的 阶方阵的集合 群. 这个群的单位元是单位矩阵

.

每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵

.

234. G?S3，H?{(1),(12)}。那么H是S3的一个子群。

235. 一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是: 一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：

a,b?H?ab?H;

236. 设

是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.

是

的子群.

是所有行列

式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则

237. 群 的任何两个子群的交集也是 的子群.

238. 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 239. 有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.

19

240. 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则 为

的单位元;

(1) 如果 为 的单位元, 则 (2) 任给

,

为

的逆元, 即

241. 如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 242. 设

,

, 则

.

243. 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 244. 设 与

是群, 是 到

的同态映射. 是 是

的单位元; 在

中的逆元. 即

(1) 如果 是 的单位元, 则 (2) 对于任意的

245. 设 与 的正规子群.

是群, 是 到

,

的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是

246. 设247. 设

，的阶为，证明是循环群，G与

的阶是，其中。

同态，证明是循环群。

，又假定的阶是

，的阶是，

248. 假定和是一个群G的两个元，并且

，证明：

的阶是

。

249. 设 是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作 .

250. 设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b,x?ax?b,?x?R，将R的所有这):R?R样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 251. 全体偶数 交换环.

252. 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 或

, 则

.

为域.

,

, 如果

,

关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的

253. 证明

20

254. 设R是阶大于1的交换环。证明：当R不含零因子时，R[x]亦然。

255. 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

256. 设f：R?R是环R到环R的同态满射，求证：f是R到R的同构当且仅当f的核是R的零理想。

257. 如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。

k

258. 求证：若a生成一个n阶循环群G，k与n互素，则a也生成G。 259. 设 为 , 使得

260. 求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。 261. 设 为环. 证明 的中心

是 的子环.

262. 设R是主理想环，a∈R，a≠0且(a)是R的最大理想，求证：a是R的素元。 263. 环 的两个理想 与 的和

?264. 证明：Z??2i?是主理想环。

的非空子集. 证明: 为 的子环的充分必要条件时, 存在非负整数

与交 都是 的理想.

265. 证明：整数环上的多项式环Z?x?是一个唯一分解环。

266. 试证在整环D?Z[3i]?{a?b3i|a,b?Z}中4不能唯一分解。 267. 数域P上的一元多项式环P?x?是一个欧氏环。

268. 证明 若K为欧氏环，则对任意a,b?K，a,b存在最大公因子d且有s,t?K，使得d?sa?tb。

269. 若R环的特征为素数p,且R可交换,则有

?a?b??ap?bb, ?a,b?R.

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270. 证明Q?x?是主理想环。 271.

设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明： （1） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。

272. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G的子群。 273. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。

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