2010届“六校联考”统一考试(文科)数学试题----参考答案及评分标准

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2010届“六校联考”统一考试(文科)数学试题 参考答案及评分标准 2009.9.4

第Ⅰ卷选择题（满分50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．（A） 2．（B） 3．（C） 4．（D） 5．（A） 6．（B） 7．（D） 8．（C） 9．(C) 10．（B)

第Ⅱ卷非选择题（满分100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．(第14、15为选做题，如果两题都做，按第一题得分给分) 11．

x

2

25

y

2

16

1 12．1

5

13．14

14．3

15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）f

x

2x cos2x 2＝2sin(2x

2 2π6

π6

) 2．……4分

函数f(x)的最小正周期为T ．………… 6分 ) 2 3．

（Ⅱ）由f 3，得2sin(2 ∴sin(2

π6)

12

． ………………………………………… 8分

13π

, ………………………………………… 9分 6 66

0,π ，∴2

∴2 ∴

6

π3

5 6

………………………………………… 11分

． …………………………………………… 12分

17．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35 100 35人, ……………………… 1分

第3组的频率为

频率分布直方图如下:

30100

0.300, ……………………… 2分

……………… 5分

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（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:第4组:第5组:

30602060

1060

6 3人, ……………………… 6分 6 2人, ……………………… 7分 6 1人, ……………………… 8分

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1, 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),

(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),

……………………… 10分

其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的有: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),

(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1),9中可能, ……………………… 11分

所以其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的概率为18. (本小题满分14分)

915

35

………………… 12分

解：（Ⅰ）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下(如果俯视图形状正确，但未标明边长，适当扣1分)

………………… 4分

C1

D1

A1

B1

E

D

O

A

C

B

O为AC的中点，（Ⅱ）证明：如上图，连接AC,BD交于O点，因为E为AA1的中点，所以在 AA1C

中，OE为 AA1C的中位线，………………… 5分

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所以OE//A1C，………………6分

OE 平面A1C1C，………………………7分

A1C1 平面A1C1C，………………8分

所以OE//平面A1C1C………………9分

（Ⅲ）多面体表面共包括10个面，SABCD a2,………………10分

a

2

SA1B1C1D1

2

………………11分

SABC SB1BC SC1DC SADD1

a

2

2

12

，………………12分

SAA1D1 SB1A1B SC1B1C SDC1D1

2

4

2

3a8

2

………………13分

所以表面积S a

2

a

2

2

4

a

2

2

4

3a8

2

5a………………14分

19. (本小题满分14分)

解（Ⅰ）f(5) 41………………3分

f(2) f(1) 4 4 1

（Ⅱ）因为

f(3) f(2) 8 4 2f(4) f(3) 12 4 3f(5) f(4) 16 4 4

………………4分

由上式规律，所以得出f(n 1) f(n) 4n………………6分 因为f(n 1) f(n) 4n f(n 1) f(n) 4n

f(n) f(n 1) 4(n 1) f(n 2) 4(n 1) 4(n 2) f(n 3) 4(n 1) 4(n 2) 4(n 3)

f(1) 4(n 1) 4(n 2) 4(n 3) 4 2n 2n 1

2

………………9分

（Ⅲ）当n 2时，

1f(n) 1

12n(n 1)

1

2n 1

[

1

1n

]………………11分

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1f(1)

1212

1f(2) 1[1 [1

121n

32

1f(3) 113 12n13

14

1f(n) 11n 1

1n

]………………14分

所以 1

1

12

]

20. (本小题满分14分) 解：（1

）射线OA:y

(x 0). ……………………………1分

设M(x,y) , P(a,) , Q(0,b)（a 0 , b 0），

则a 2x , b 2y， ……………………………3分 又因为

POQ的面积为

ab ……………………………4分 消去a,b得点M的轨迹C

2 xy

0（x 0 , y 0）. …………7分

（2）设R1(x1,y1) , R2(x2,y2)，则x1 x2 1， ……………………………8分

所以u y1y2

x1

1x1

) x2

1x2 )

3(x1 x2

14

1x1 x2

x2x1

x1x2

) 3(x1 x2 2t

2x1 x2

2) ……………9分

令t x1 x2 则0< t

则有：当0< t 所以u 3(t 所以当t

14

2t14

，所以有u 3(t

/

2)， ……………………………11分

时，u 3(1

14

2t

2

) 0，

2)在(0,]上单调递减，

时，umin

75

所以存在最大的常数m 21. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）f x

∴

a2

ax 2bx

4

754

， …………………………………………………13分 使u m恒成立. ………………………………14分

，f 2

a2

4b

，f 2 aln2 4b．

分

4b 3，且aln2 4b 6 2ln2 2． …………………… 2

解得a 2,b 1． …………………… 3分

（Ⅱ）f x 2lnx x2，令h x f(x) m 2lnx x2 m，

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则h x

1e

2x

2x

2(1 x)

x1e

2

，令h x 0，得x 1（x 1舍去）．

在[,e]内，当x [,1)时，h (x) 0， ∴ h(x)是增函数；

当x [1,e]时，h (x) 0， ∴ h(x)是减函数 …………………… 5分

1

h() 0, e 1

则方程h(x) 0在[,e]内有两个不等实根的充要条件是 h(1) 0,…………………7分

e h(e) 0.

即1 m 2

1e

2

．

2x

………………………………………… 8分

（Ⅲ）g(x) 2lnx x2 nx，g (x) 2x n．

2lnx1 x12 nx1 0, ①

2

2lnx2 x2 nx2 0, ②

假设结论成立，则有 x1 x2 2x0, ③ ………………………………… 9分

2 2x n 0. ④0 x 0

①－②，得2ln

lnx1x2

2x0

x1x2

(x1 x2) n(x1 x2) 0

22

．

∴n 2

x1 x2

2x0． …………………………………………………………………… 10分

2x0，

由④得n

lnx1x2

∴

1x0

ln

x1x2

2x1 x2

x1 x2

．即

2

x1 x2

．

即ln

x1x2x1x2

2

x1x2x1x2

．⑤

1

2t 2t 1

………………………………………………………… 11分

令t ，u(t) lnt

(t 1)

22

（0 t 1)， ………………………………………… 12分

则u (t)

t(t 1)

＞0．∴u(t)在0 t 1上增函数， ∴u(t) u(1) 0， …………… 13分

∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴g x0 0． ………………………………………………… 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4ib4.html