上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

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2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．

=

2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，

，则A∩B= ．

3．若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a= ． 4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是 5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．

6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为． 7．已知

，则cos（30°+2α）=．

8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．

9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为 ．

10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是 ． 11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则

的最小值为 ．

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12．已知n∈N*，若

，则n= ．

13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若

，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则

=

14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数R上封闭，那么实数k的取值范围是．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

”的（ ）

（k≠0）在

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．下列四个命题：

①任意两条直线都可以确定一个平面；

②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合； ③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； ④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（ ） A．4

B．3

C．2

D．1

，则数列{an}（ ）

18．已知数列{an}的通项公式为

A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

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19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在

②均为容器的纵截面）桌面上（图①、．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由． 20．已知x∈R，设记函数

．

，

，

（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；

（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，的面积S的最大值．

21．设函数f（x）=k ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数． （1）求常数k的值； （2）若

求实数m的值．

22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．

（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于由．

23．设复数zn=xn+i yn，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，zn+1=（1+i） zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn．

，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理

，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，

，求△ABC

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（1）求复数z2，z3，z4的值； （2）是否存在正整数n使得说明理由；

（3）求数列{xn yn}的前102项之和．

∥

？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请

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2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．

=

【考点】极限及其运算．

【专题】

计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．

【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果． 【解答】解：

=

=．

故答案为：．

【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．

2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，xR}[10． 【考点】交集及其运算．

【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合． 【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．

【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，

={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，

∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．

，则A∩B= {x|﹣1≤x＜0，

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故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．

【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

3．若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a= 【考点】

反函数．

【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】利用互为反函数的性质即可得出．

【解答】解：∵函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1）， ∴3=a﹣1， 解得a=． 故答案为：．

【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2． 【考点】极差、方差与标准差．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．

【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8， ∴

，解得m=10，

．

∴这组数据的方差S2= [（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2． 故答案为：2．

【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．

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5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 arccos

（结果用反三角函数值表示）．

【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】

计算题；转化思想；向量法；空间角．

【分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，

则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0）， =（0，1，2），

=（﹣2，0，2），

设异面直线AM与B1C所成的角为θ， cosθ=

=

=

．

∴θ=．

．

∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos故答案为：

．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为

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【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】数形结合；综合法；立体几何．

【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．

【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2， ∴圆锥的高h=故答案为：

．

=

．∴圆锥的体积V=πr2h=

．

【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题． 7．已知

，则cos（30°+2α）=

．

【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值． 【专题】

计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．

=，=cos[180°【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）再由诱导公式得cos（30°+2α）﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果． 【解答】解：∵

，

∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=， cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）] =﹣cos[2（75°﹣α）] =﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1] =﹣[2×﹣1] =．

故答案为：．

【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．

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8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S

【考点】程序框图．

【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件

k

≤2015

，退出循环，输出S的值，从而得解． 【解答】解：模拟执行程序，可得 k=1，S=0

满足条件k≤2015，S=满足条件k≤2015，S=…

满足条件k≤2015，S=满足条件k≤2015，S=

++

+…++…+

，k=2015 +

，k=2016

，k=2 +

，k=3

不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值． 由于S==1﹣

=+

． ． +…+

+

=1﹣

﹣…+

故答案为：

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

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9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为﹣

．

【考点】

圆的切线方程．

【专题】

分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆．

【分析】先判断a≠0，可得要求的直线的方程为 y﹣2=（x﹣1），即 x﹣ay+2a﹣1=0，再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，求得a的值．

【解答】解：当a=0时，直线ax﹣y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），

故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0．

故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为 y﹣2=（x﹣1），即 x﹣ay+2a﹣1=0．

再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=﹣，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率． 【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有：

甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙； 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙； 则共有8种传球方法．

．

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第3次球恰好传回给甲的有两种情况， ∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p=故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则

的最小值为 3 ．

．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用．

【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，题得以解决．

【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0） 设P（0，b）（0≤b≤1） 则∴∴∴

=（1，1﹣b），+

=（2，﹣b），

=

≥3，问

=（3，1﹣2b），

=

的最小值为3，

≥3，当且仅当b=时取等号，

故答案为：3．

【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

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12．已知n∈N*，若

【考点】二项式定理的应用．

【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】由题意可得由此求得n的值． 【解答】解：∵n∈N*，若则

2+

22+

23+…+

2n﹣1+

2n=40 2，

，

2+

22+

23+…+

2n﹣1+

2n=40 2，即（1+2）n﹣1=80，

，则n= 4 ．

即（1+2）n﹣1=80，∴n=4， 故答案为：4．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若

，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则

【考点】数列的求和．

【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列． 【分析】

=

，n∈N*，当n=1，2，…，9时，an=0；当n=10，11，12，…，

=．

19时，an=1；…，即可得出S2009． 【解答】解：

=

，n∈N*，

当n=1，2，…，9时，an=0；

当n=10，11，12，…，19时，an=1；…， ∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10 =10×则

=100．

=201000，

故答案为：100．

【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数R上封闭，那么实数k的取值范围是 【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由题意便知方程组

至少有两个解，从而可得到

至少（k≠0）在

有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围． 【解答】解：根据题意知方程即∴

∴k=1+|x|＞1；

∴实数k的取值范围为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．

【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

”的（ ） 至少有两个不同实数根；

至少有两个实数根； ；

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．

【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：若φ=

时，y=sin（x+φ）=cosx 为偶函数；

+kπ，k∈Z；

若y=sin（x+φ）为偶函数，则φ=

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∴“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=故选B．

”的必要不充分条件，

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大．

16．下列四个命题：

①任意两条直线都可以确定一个平面；

②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合； ③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； ④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．

【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误； 在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合， 若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；

在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，

如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误； 在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确． 故选：C．

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【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（ ） A．4

B．3

C．2

D．1

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】画出图形，可根据条件设

，并可得出圆M的半径，从而得出圆

M的方程为

即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|． 【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；

，这样令x=0便可求出y，

∴设，r=；

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∴圆M的方程为：；

令x=0，；

∴

∴y=y0±2；

；

∴|AB|=y0+2﹣（y0﹣2）=4． 故选：A．

【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离．

18．已知数列{an}的通项公式为

A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 【考点】数列的函数特性． 【专题】探究型．

【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令

，换元后是二次函数解析式，，则数列{an}（ ）

内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况． 【解答】解：令

，则t是区间（0，1]内的值，而

=

，

所以当n=1，即t=1时，an取最大值，使项，

所以该数列既有最大项又有最小项． 故选C．

最接近的n的值为数列{an}中的最小

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题．

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三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在

②均为容器的纵截面）桌面上（图①、．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．

【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；

（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．

【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，

过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，

在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα， 且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα， 此时容器内能容纳的溶液量为： S梯形ABCF 20=

=（30﹣20tanα+30） 20 10 =2000（6﹣2tanα）（cm3）；

而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），

20

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令2000（6﹣2tanα）≥8000， 解得tanα≤1， 所以α≤45°，

即α的最大角为45°时，溶液不会溢出； （2）如图b所示，当α=60°时， 过C作CF∥BP，交AB所在直线于F， 在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF， ∵S△ABF=BC BF=150容器内溶液量为150

cm2，

cm3，

）cm3＜3000cm3，

cm，

×20=300

倒出的溶液量为（8000﹣3000∴不能实现要求．

【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．

20．已知x∈R，设记函数

．

，

，

（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；

（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，的面积S的最大值．

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理． 【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形．

【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=

，再根据正弦函数的性质即可求出答案；

，求△ABC

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（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：（1）=

．

，

．

， ，

．

，k∈Z，

当f（x）取最小值时，所以，所求x的取值集合是（2）由f（C）=2，得因为0＜C＜π，所以所以

，

在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC， 得3=a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3， 所以△ABC的面积

因此△ABC的面积S的最大值为

．

，

【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．

21．设函数f（x）=k ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数． （1）求常数k的值； （2）若

求实数m的值．

【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质． 【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．

【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；

，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，

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（2）求得a=3，即有g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得

，h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，

运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．

【解答】（1）解法一：函数f（x）=k ax﹣a﹣x的定义域为R， f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1． 当k=1时，f（x）=ax﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x）， 则f（x）是奇函数，故所求k的值为1； 解法二：函数f（x）=k ax﹣a﹣x的定义域为R， 由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）， 即k a﹣x﹣ax=a﹣x﹣k ax，（k﹣1）（ax+a﹣x）=0， 因为ax+a﹣x＞0，所以，k=1． （2）由

，得

，解得a=3或

（舍）．

所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）， 令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2， 当解得当综上，

时，则当； 时，则当t=m时，

．

，m=±2（舍去）．

时，

，

，

【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．

22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．

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（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于由．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．

（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m． （3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由B在椭圆C上，得

，得

，由点A、

，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理

，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条

．

，

件能求出四边形ABA1B1的面积为定值

y1）By2）B1法二：设A（x1，，（x2，，则A1（﹣x1，﹣y1），（﹣x2，﹣y2），由

，点A、B在椭圆C上，得

得．由此利用点到直线的距离公式、椭圆

．

，

的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值

y1）By2）B1法三：设A（x1，，（x2，，则A1（﹣x1，﹣y1），（﹣x2，﹣y2），由

B在椭圆C上，，点A、得

．

得．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，

能求出四边形ABA1B1的面积为定值【解答】解：（1）设P（x，y），

∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，

∴由题意，

化简得3x2+4y2=12，… ∴动点P的轨迹C的方程为（2）设N（x，y），

，…

． …

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