第83题+回归定义解决圆锥曲线问题-2018精品之高中数学（理）黄金

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第83题 回归定义解决圆锥曲线问题

I．题源探究·黄金母题

2【例1】设Q是圆C:?x?1??y?16上的动点，另有A?1,0?，线段AQ2精彩解读

【试题来源】例1：人教A版选修2-1P42习题2．1T7改编． 例2：人教A版选修2-1P36练习

的垂直平分线交直线CQ于点P，当点Q在圆上运动时，求点P的轨迹方程．

T3．

【母题评析】这类题考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，考查考生简单的识记及基本计算能力． 【思路方法】利用圆锥曲线的定义解题．

x2y2??1 【答案】43【解析】设P?x,y?．

点P是线段AQ垂直平分线上的一点，?PA?PQ，

?PA?PC?PC?PQ?4>2，?点P的轨迹是以点A,C为焦点

x2y2??1． 的椭圆，且a?2,c?1，b?3，?点P的轨迹方程为432

x2y2??1的右焦点F2作垂直于x轴的直线【例2】已知经过椭圆

2516AB，交椭圆于A,B两点，F1是椭圆的左焦点．

（I）求?AF1B的周长；

（II）如果AB不垂直于x轴，?AF1B的周长有变化吗？为什么？ 【答案】（I）20；（II）没有变化．

【解析】（I）由已知，当AB?x轴时，xA?xB?3，代入椭圆的方程可得纵坐标分别为

161632,?，从而AB?． 5552216??△AF1B的周长为??3?3????0???5??16?32??3?3????0????20． 5?5?222

1

（II）如果AB不垂直于x轴，?AF1B的周长不变，证明如下： 由椭圆的定义可知：AF1?AF2?2a,BF1?BF2?2a， 两式相加即得?AF1B的周长为4a?20． II．考场精彩·真题回放

【例1】【2017高考全国I理10】已知F为抛物线C：y2?4x的焦点，

【命题意图】这类题主要考查圆

过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2锥曲线的定义及简单的几何性

与C交于D,E两点，则AB?DE的最小值为 （ ）

质．这类题能较好的考查考生逻A．16 【答案】A

【解析】解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直线l1方

B．14

C．12

D．10

辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题，也可以是解答题第（1）小题，难度中等偏易． 【难点中心】

1．抛物线的定义是解决抛物线问

?y2?4x程为y?k1(x?1)．联立方程?得

?y?k1(x?1)?2k12?42k12?4， ?kx?2kx?4x?k?0，∴x1?x2??22k1k122121212题的基础，它能将两种距离(抛物2k2?4同理直线l2与抛物线的交点满足x3?x4?．由抛物线定义可知 2k2线上的点到焦点的距离、抛物线

AB?DE?x1?x2?x3?x4?2p22k12?42k2?44416???4???8?2?8?16， 222k12k2k12k2k12k2上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起

当且仅当k1??k2?1（或k1??k2??1）时，AB?DE取最小值16． 来，那么用抛物线定义就能解决

2p解法二：如图，设直线l1的倾斜角为?，则AB?，则

sin2?问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．

2．双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐．做好这一类问题要

DE?2p2p，所以 ?2πcos???sin2?????2?2

1

抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐

AB?DE?2p2p1??1??4??2?2sin2?cos2??sin?cos??

近线的距离是

ab． c?sin2?cos2??1??122?4?2?2??sin??cos???4?2?2?2??4?2?2??16， ?sin?cos???cos?sin??sin2?cos2?????????当且仅当，即或时，AB?DE取最小值16． 2244cos?sin?【例2】【2017高考全国II理16】已知F是抛物线C:y2?8x的焦点，

M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，

则FN? ． 【答案】6

【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，做MB?l与点B，NA?l与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为x??2，则AN?2,FF'?4，在直角梯形ANFF'中，中位线BM?AN?FF'?3，由抛物线的定义有：MF?MB?3，由题2意有MN?MF?3，线段FN的长度：FN?FM?NM?3?3?6．

x2y2【例3】【2017高考全国I】已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的

ab右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．

2

1

【答案】23 3【解析】如图所示，作AP?MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线y?bx上的点，且A(a,0)，aAM?AN?b，而AP?MN，所以?PAN?30，

点A(a,0)到直线y?bx的距离AP?a|b|1?ba22，

在Rt?PAN中，cosPAN?PA，代入计算得a2?3b2，即a?3b， NA由c2?a2?b2得c?2b，所以e?c2b23．??a33b

11242【例4】【2017高考浙江21】如图，已知抛物线x?y，点A(?，)，

1339B(，)，抛物线上的点P(x,y)(??x?)．过点B作直线AP的垂

2224线，垂足为Q．

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值． 【答案】（Ⅰ）(?1,1)；（Ⅱ）

27 16【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为x?1，22

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由?13?x?，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方22程，得Q的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数

f(k)??(k?1)(k?1)3求解|PA|?|PQ|的最大值．

14?x?1， 试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则k?12x?213∵??x?，∴直线AP斜率的取值范围是(?1,1)．

22x2?11?kx?y?k??0,??24（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程?

?x?ky?9k?3?0,??42?k2?4k?3解得点Q的横坐标是xQ?，

2(k2?1)1??PA?1?k2?x???1?k2?k?1?，

2??PQ?1?k2?xQ?x??k?1??k?1???k2?132,?PAPQ???k?1??k?1?．

23令f(k)??(k?1)(k?1)，因为f'(k)??(4k?2)(k?1)，所以 f(k)在区间(?1,)上单调递增，(,1)上单调递减，因此当k?12121时，2|PA|?|PQ|取得最大值

27． 16【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达

3|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)??(k?1)(k?1)求解|PA|?|PQ|的最大值．

x2y2【例5】【2017高考天津理19】设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点

ab为F，右顶点为A，离心率为

12．已知A是抛物线y?2px(p?0)的22

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焦点，F到抛物线的准线l的距离为

1． 2（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为求直线AP的方程．

6，24y2?1，y2?4x．（2）3x?6y?3?0，或【答案】 （1）x?323x?6y?3?0．

【解析】试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为

111，则a?c?，又椭圆的离心率为，求出c,a,b，得出椭圆的标222准方程和抛物线方程；则A(1,0)，设直线AP方程为设

x?my?1(m?0)，解出P、Q两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方

程联立解出B点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D的坐标，最

后根据△APD的面积为6解方程求出m，得出直线AP的方程． 2试题解析：（Ⅰ）设F的坐标为(?c,0)．依题意，

c1p?，?a，a22113a?c?，解得a?1，c?，p?2，于是b2?a2?c2?．所以，

22424y2?1，抛物线的方程为y2?4x． 椭圆的方程为x?3（Ⅱ）设直线AP的方程为x?my?1(m?0)，与直线l的方程x??1联

4y2222?1联立，可得点P(?1,?)，故Q(?1,)．将x?my?1与x?mm3立，消去

x，整理得(3m2?4)y2?6my?0，解得y?0，或

?3m2?4?6m?6my?,)．由．由点B异于点A，可得点B(23m?43m2?43m2?4Q(?1,2)m，

可

得

直

线

BQ的方程为

2

1

?6m2?3m2?42(2?)(x?1)?(?1)(y?)?0，令y?0，解得3m?4m3m2?4m2?3m2x?3m2?2，故

2?3m2D(2,0)3m?2．所以

2?3m26m26△APD|AD|?1?2?．又因为的面积为，故23m?23m?2216m226，整理得3m2?26|m|?2?0，解得?2??23m?2|m|2|m|?66，所以m??． 33所以，直线AP的方程为3x?6y?3?0，或3x?6y?3?0． 【例6】【2017高考江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F，F，离心率为1，两x2y212E:2?2?1(a?b?0)2ab准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F作直

1线PF的垂线l，过点F作直线PF的垂线l．

11222（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

y F1 ?O F2 ?x (第17题)

x2y24737??1；（2）(【答案】（1）,)． 4377【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．∵椭圆E的离心率为

c11，∴?a222a2①．∵两准线之间的距离为8，∴?8②．联立①②得a?2,c?1，

c2

1

x2y2∴b?3，故椭圆E的标准方程为??1．

43（2）解法一：由（1）知F1??1,0?,F2?1,0?．

从而直线l1的方程：y??x0?1(x?1) ① y0直线l2的方程：y??x0?1(x?1) ② y0221?x01?x0)． 由①②，解得x??x0,y?，∴Q(?x0,y0y021?x022??y0，即x0?y0?1或∵点Q在椭圆上，由对称性，得

y022x0?y0?1．

因此点P的坐标为(4737,)． 77x0?1?y??(x?1)?y0?解法二：设P(x0,y0)，则x0?0,y0?0，由题意得?，

?y??x0?1(x?1)?y0?2

1

?x??x022?x0y02整理得?1?x0，∵点P(x0,y0)在椭圆E上，∴??1，

y?43?y0?222?4737?y0(1?x0)16292,?x?,y?∴，∴0，故点P的坐标是? ?02??．777733y0??解法三（参数方程）：设P2cos?,3sin?????0,??????????，则2???kPF1?3sin?3sin?,kPF2?,?直线l1,l2方程分别为

2cos??12cos??1y??2cos??12cos??1?x?1?,y???x?1?．联立解得

3sin?3sin???1?4cos2??Q??2cos?,?,又Q在椭圆上，

3sin????2cos??1?4cos2??1???????1，整理得

43?3sin??227cos4??10cos2??8?0,

??7cos2??4??cos2??2??0,?cos2??4???．又???0,?，7?2??4737?2221,． ??cos??,sin??,?点P的坐标是???7777??解法四（秒杀技）：由已知得?QF1P??QF2P?90?，故这四个点共圆．若P,F则圆以F1F2为直径，方程为x2?y2?1，1,Q,F2四点共圆，

x2y2但它与椭圆故应该是P,Q,F（即在??1无交点，1,F2四点共圆

43以PQ为直径的圆上），从而P,Q关于y轴对称．设

P?x0,y0??x0?0,y0?0?，则Q??x0,y0?，且P,Q是圆

x??y?y0?22x2y2?x与椭圆??1的交点，又F1,F2在此圆上，

43202

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