数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题

1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？

答：若n次多项式lj?x?(j?0,1,?,n)在n?1个节点x0?x1???xn上满足条件

?1,k?j,lj?xk????0,k?j,j,k?0,1,?,n,

则称这n?1个n次多项式l0?x?,l1?x?,?,ln?x?为节点x0,x1,?,xn上的n次拉格朗日插值基函数.

以lk?x?为例，由lk?x?所满足的条件以及lk?x?为n次多项式，可设

lk?x??A?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xn?，

其中A为常数，利用lk?xk??1得

1?A?xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xn?，

故

A?即

1?xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xn?，

nx?xj?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xn?lk(x)????xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xn?j?0xk?xjj?k.

对于li?x?(i?0,1,?,n)，有

nkk??xlx?xk?0,1,?,n，特别当k?0时，有 ?iii?0n?l?x??1.

ii?02.什么是牛顿基函数？它与单项式基1,x,?,x?n?有何不同？

答：称?1,x?x0,?x?x0??x?x1?,?,?x?x0???x?xn?1??为节点x0,x1,?,xn上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点x0,x1,?,xn上的n次牛顿插值多项式Pn?x?可以表示为

Pn?x??a0?a1?x?x0????an?x?x0???x?xn?1?

其中ak?f?x0,x1,?,xk?,k?0,1,?,n.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如

Pk?1?x??Pk?x??ak?1?x?x0???x?xk?,

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其中ak?1是节点x0,x1,?,xk?1上的k?1阶差商，这一点要比使用单项式基1,x,?,xn方便得多.

3.什么是函数的n阶均差？它有何重要性质？

答：称f?x0,xk????f?xk??f?x0?为函数f?x?关于点x0,xk的一阶均差，xk?x0f?x0,x1,xk??f?x0,xk??f?x0,x1?为f?x?的二阶均差. 一般地，称

xk?x1f?x0,?,xn?2,xn??f?x0,x1,?,xn?1?为f?x?的n阶均差.

xn?xn?1f?x0,x1,?xn??均差具有如下基本性质：

(1) n阶均差可以表示为函数值f?x0?,f?x1?,?,f?xn?的线性组合，即

f?x0,x1,?xn????xj?0nj?x0???xj?xj?1??xj?xj?1???xj?xn?f?xj?,

该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.

(2) f?x0,x1,?xn??f?x1,x2,?,xn??f?x0,x1,?,xn?1?.

xn?x0(3) 若f?x?在?a,b?上存在n阶导数，且节点x0,x1,?,xn??a,b?，则n阶均差与n阶导数的关系为

f?n????f?x0,x1,?xn??，???a,b?. n!4.写出n?1 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？ 答：给定区间?a,b?上n?1个点

a?x0?x1???xn?b

上的函数值yi?f?xi?(i?0,1,?,n)，则这n?1 个节点上的拉格朗日插值多项式为

Ln?x???yklk?x?,

k?0n?x?xj其中lk?x?????j?0?xk?xjnj?k??,k?0,1,?,n. ??这n?1个节点上的牛顿插值多项式为

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Pn?x??a0?a1?x?x0????an?x?x0???x?xn?1?,

其中ak?f?x0,x1,?,xk?,k?0,1,?,n为f?x?在点x0,x1,?,xk上的k阶均差.

由插值多项式的唯一性，Ln?x?与Pn?x?是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.

5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ax?y，其中系数矩阵A与使用的基函数有关.y包含的是要满足的函数值?y0,y1,?,yn?. 用下列基底作多项式插值时，试描述矩

T阵A中非零元素的分布.

(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.

n答：(1) 若使用单项式基底，则设Pn?x??a0?a1x???anx，其中a0,a1,?,an为待

定系数，利用插值条件，有

n?a0?a1x0???anx0?y0?n?a0?a1x1???anx1?y1， ??????n??a0?a1xn???anxn?yn因此，求解Ax?y的系数矩阵A为

?1?1A???????1为范德蒙德矩阵.

n?x0?x0?x1?x1n?

????n?xn?xn??(2) 若使用拉格朗日基底，则设Ln?x??a0l0?x??a1l1?x????anln?x?，其中lk?x?为拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有

?a0l0?x0??a1l1?x0????anln?x0??y0?al?x??al?x????al?x??y?001111nn11， ????????a0l0?xn??a1l1?xn????anln?xn??yn由拉格朗日插值基函数性质，求解Ax?y的系数矩阵A为

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?10?0??01?0?? A??????????00?1??为单位矩阵.

(3) 若使用牛顿基底，则设Pn?x??a0?a1?x?x0????an?x?x0???x?xn?1?，由插值条件，有

?a0?a1?x0?x0????an?x0?x0???x0?xn?1??y0?a?a?x?x????a?x?x???x?x??y?0110n101n?11 ????????a0?a1?xn?x0????an?xn?x0???xn?xn?1??yn即

?a0?y0?a?a?x?x??y?01101 ??????a0?a1?xn?x0????an?xn?x0???xn?xn?1??yn故求解Ax?y的系数矩阵A为

?1?1x?x10? A??1x2?x0??????1xn?x0???? ?x2?x0??x2?x1?????xn?x0??xn?x1???xn?x0??xn?x1???xn?xn?1???为下三角矩阵.

6.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.

答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.

7.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？

答：设f?n??x?在?a,b?上连续，f?n?1??x?在

?a,b?内存在，节点

a?x0?x1???xn?b，Ln?x?是满足条件Ln?xj??yj,j?0,1,?,n的插值多项式，则

对任何x??a,b?，插值余项

fn?1???Rn?x??f?x??Ln?x???(x)， ?n?1?!n?1这里???a,b?且与x有关，?n?1?x???x?x0??x?x1???x?xn?.

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若有maxfa?x?b?n?1??x??Mn?1，则Ln?x?逼近f?x?的截断误差

Mn?1??x?.

?n?1?!n?1Rn?x??8.埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？

答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.

称

f?n??x0??x?x0?n Pn?x??f?x0??f??x0??x?x0????n!为f?x?在点x0的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为

Pn?k??x0??f?k??x0?,k?0,1,?,n，

泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点x0处给出n?1个插值条件得到的n次埃尔米特插值多项式.

9.为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？

答：对于任意的插值结点，当n??时，Ln?x?不一定收敛于f?x?，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.

分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.

10.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.

答：三次样条插值要求插值函数S?x??C2?a,b?，且在每个小区间xj,xj?1上是三次多项式，插值条件为

??S?xj??yj,j?0,1,?,n.

三次分段埃尔米特插值多项式Ih?x?是插值区间?a,b?上的分段三次多项式，且满足

Ih?x??C1?a,b?，插值条件为

??xk??f??xk?,(k?0,1,?,n). Ih?xk??f?xk?，Ih分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.

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