机械工程控制基础3-时间响应

机械类专业必修课

机械工程控制基础

主讲人：高爱华 机械与动力工程学院2013.10

教学内容1、课程准备 2、绪 论 3、系统的数学模型 4、系统的时间响应分析 5、系统的频率特性分析 6、系统的稳定性分析 7、系统的性能指标与校正

教学内容

第一讲 时间响应及其组成 典型信号和一阶系统

建立系统数学模型后，就可以采用不同的方法， 通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分 析是重要的方法之一。 时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行 分析，时间响应不仅取决于系统本身特性，而且与外 加的输入信号有较大的关系。时域分析的目的 ：在时间域，研究在一定的 输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况， 以分析和研究系统的控制性能。分析系统的稳定 性、响应的快速性与响应的准确性等系统的动态 性能。

系统的时间响应—响应组成及一阶系统一、时间响应及其组成微分方程：系统函数关系不明确情况下，所列写的需要寻找的函数及其导数的关系式。

时间响应：特定输入下微分方程的解，即需要寻找的未知函数。系统在外界(输入或扰动)的作用下，从一定的初始状态 出发，所经历的由其固有特性所决定的动态历程。亦即系 统微分方程在一定初始条件下的解。

实例分析 1—无阻尼单自由度系统系统微分方程：d 2 y (t ) m ky(t ) F cos t 2 dtk

y (t )

m

Fcosωt

m-k单自由度系统

系统的时间响应—响应组成及一阶系统微分方程解的组成： 齐次微分方程通解 特解

其中，y1(t)为对应于齐次微分方程的通解，y2(t)为特解。由 理论力学与微分方程解的理论可知：

y t y1 t y2 t

(t ) ky(t ) 0时对应y(t )的值； 通解是m y (t ) ky(t ) f (t )对应y(t )的值。 特解是m y 微分方程的解则为通解 和特解的和。 (t ) py (t ) qy(t ) 0的通解： 求 y 化为r 2 pr q 0

通解与输入无关 特解与输入有关

若方程有2个不相等的实数根，则 通解为：y (t ) C1e r1x C2e r2 x 若方程有2个相等的实数根，则通 解为：y (t ) e rx (C1 C2 x) 若方程有2个共轭虚根a j,则通解为： y (t ) e ax (C1 cos x C2 sin x)

微分方程解的表现形式：

k (t ) ky (t ) 0有虚根 my j m 通解为y1(t) Asinωnt Bcosωnt

n

k , 为系统的无阻尼固有频率。 m

设微分方程的特解为 y 2 (t) Ycos t,代入微分方程得 , F 1 Y , 2 k 1

n

将 y2(t) 代入式(3.1.1)可得：2

F 1 m k Y cos t F cos t 即有 Y k 1 2

n

d 2 y (t )

ky (t ) F cos t 的完全解可写成如下形式： 于是，式 m 2 dt

F 1 y t A sin nt B cos nt cos t 2 k 1 通解，与输入无关 为求常数A和B,将上式对 t 求导可得：

特解， 与输入 有关

t y 0 设t 0时，y t y0, yA

F t A n cos nt B n sin nt y sin t 2 k 1 联立以上二式可解得：

n

y0

F 1 B y0 k 1 2

求得方程的解：y (0) F 1 F 1 y (t ) sin nt [ y(0) ] cos nt cos t 2 2 ωn k 1 λ k 1 y (0) F 1 F 1 sin nt y(0)cos nt cos t cos t n 2 2 ωn k 1 λ k 1

还不是 y (0) 由微分方程初 完全意 y (t ) sin nt 始条件引起的 ωn 义上的 响应 自由响 y(0)cos nt 应，其 F 1 由作用力引起 振幅还 cos t n 2 的自由振动 k 1 λ 是受F的 影响 F 1 由作用力引

k 1

2

cos t

起的响应

强迫响应的振 动频率与外加 强迫 作用力的振动 响应 频率相关

自 由 响 应

自由响应的振 动频率与自身 特性有关

系统的时间响应—响应组成及一阶系统自由响应(频率为ωn)强迫响应(频率为ω)

. y (0) F 1 F 1 y (t ) sin n t y (0) cos n t cos t cos t n 2 2 n k 1 k 1 零输入响应 零状态响应

牢记！

零输入响应：无输入时系统初态引起得自由响应。 零状态响应：在零初始条件下，由输入引起的响应。控制工程的研究内容主要是零状态响应！

系统的时间响应—响应组成及一阶系统2、系统时间响应的一般组成对系统微分方程x(t)各阶导数取 0,则：

an y

n

t an 1 y

n 1

. t … a1 y t a0 y t x t

方程解的一般形式：

y t y1 t y2 t 若方程中齐次方程特征根si ( i=1,2,…,n )互异，则： 输入x (t)引起 系统初态引起 n 的自由响应 的自由响应 y1 t Ai e s t y2 t B t i

i 1

y1(t)又可表示为： y1 t A1i ei 1

n

si t

A2i e si ti 1

n

系统的时间响应—响应组成及一阶系统系统响应的一般表达为：自由响应 强迫响应

y (t )

A1i ei 1

n

si t

A2i e si t B t i 1

n

零输入响应

零状态响应

n与si同系统的初态和输入无关，而取决于系 统的结构和参数的固有特性。

注意：在定义系统的传递函数时已规定零初始条件，故由初 态引起的零输入响应为零，从而对Y(s)=G(s)X(s)进行拉氏反 变换得到的y(t)就是零状态响应。看看利用传递函数求解响应的过程？ 在定义传递函数时，其前提条件之一便是：系统初始状态为0

X i (s)

L[ xi (t )]X o ( s) G( s) X i ( s) 1

X o (s) G(s) X i (s)拉氏反变换

此处所求

xo (t ) 是在系统零状态下的解，即前面讲的零状态解

xo (t ) L [ X o (s)] L [G(s) X i (s)]

1

注意：本书所讲时间响应内容没有特别标明之外，均为零状态响应

系统的时间响应—响应组成及一阶系统输入存在导数项的响应求取：. ... t a1 y t a0 y t a n y t a n 1 y . m m 1 ... t b1 x t b0 x t bm x t bm 1 x n n 1

n m

对系统动力学微分方程的一般形式求导：an y

n

t

a n 1 y

n 1

t

. ... a1 y t a0 y t x t

[x(t)] ´为输入则输出为[y(t)] ´,所以以x(t)的n阶 导数为输入则以y(t)的n阶导数为输出。

存在导数的输入的响应是各阶导数输出的叠加。

3. 系统特征根与自由响应的关系y( t )

Im [s] y t

i 1

n

A1 i e si t

i 1

n

A2 i e si t

e si t e Re[ si ]t e jI m [ si ]t s i *t si t Re[ si ]t e e 2 cos(I m [ si ]t )eIm [s] y ReIm

Re

Im [s]

y

t

ReIm

t

[s]

y

[s]

Re

t

Re

t

在此还要强调：特征根实部Re[si]的正负决定自由响应的 收敛性. Re s i是大于还是小于零，决定系统稳定还是不稳定； Re s i绝对值大小，决定系统的快速性； Re[si]<0,自由响应收敛， 绝对值越大收敛越快； Re[si]>0,自由响应发散，绝对值越大发 散越快。特征根实部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率,影响系统响 应的准确性。

Im

[s ]

Re

若所有特征根具有负实部 系统自由响应收敛 系统稳定 自由响应称为瞬态响应 强迫响应称为稳态响应Im [s]

Re

若存在特征根的实部大于零 系统自由响应发散 系统不稳定 若有一对特征根的实部为零 其余特征根均小于零 系统自由响应最终为等幅振荡 系统临界稳定

系统的时间响应—响应组成及一阶系统瞬态响应和稳态响应问题： 1)若方程特征根具有负实部，即Resi <0,则t→∞时， 自由响应趋于零。 2)si是方程的极点，即Resi <0表示所有极点在方程 左半平面，系统稳定其自由响应为瞬态响应。 3)稳态响应指强迫响应。

结论：1.若所有特征根实部均为负值(所有极点均位于[s]平面左半平 面),系统自由响应收敛。系统稳定。 2.若存在特征根实部负值( [s]平面右半平面存在极点),系统 自由响应发散。系统不稳定。 3.若存在一对特征根实部为零，而其余特征根实部均为负值 ( [s]平面虚轴上存在一对极点，其余极点位于左半平面),系 统自由最终为等幅振荡。系统临界稳定。 系统稳定性判据 4

.特征根实部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4i5i.html