军用装备的定点投放

学生姓名： 吴成进 班 学 号：111122 指导教师：张老师

中国地质大学信息工程学院

2013年12月2日

军用装备的定点投放

目录

一、 摘要 .............................................................................................3 二、 问题的重述.......................................................................................3

1. 军用装备参数表...............................................................................................4

三、 基本假设............................................................................................4 四、 问题的分析........................................................................................5 五、 模型的建立六、模型的求解............................................................5

1. 问题一模型的建立:.....................................................................5 2. 问题二模型的建立.......................................................................7

A. 降落伞的附加质量................................................................7 B. 降落伞阻力系数和阻力特征.................................................9

a) 空气阻力的确定..............................................................9 b) 降落伞阻力系数的确定..................................................9 c) 降落伞的面积..................................................................9 C. 伞绳的拉力.............................................................................9 3. 问题三模型的建立：....................................................................12

A. 安全系数.................................................................................12 B. 层次分析法一般理论步骤：.................................................12

C. 利用层次分析法求解

k1,k2

.....................................................13

4. 问题四模型的建立........................................................................12

六、 模型的评价.........................................................................................15

1. 问题一模型的求解........................................................................15

七、 参考文献.............................................................................................20 八、 附录.....................................................................................................21

数学建模课程实习报告

摘要

本文针对军用装备的定点投放问题，考虑到投放过程中温度，压强等的影响因素，运用物理学运动方程，目标函数的优化，计算机模拟等方法，成功解决了题中所有问题。

对于问题1,降落伞投放物资的安全与否，主要影响因素是其落地时的速度与降落伞的受空气阻力的面积。我们将整个降落伞的下降过程分为四个阶段：自由落体，开伞，减速下降，匀速下降。表1.1 军用装备参数表

实际中，5s~10s

才能够打开。为了保证装备的安全，要求装备落地时的速度不能超过5m/s。假设飞机的飞行速度为常数V0 (300≤V0≤600km/h) 。请你们建立数学模型研究下列问题：

对于每个阶段根据其运动性质的不同，分别运用不同的运动学方程来描述其过程，尤其是第二个阶段的开伞过程，我们通过对其开伞过程的研究，运用动量守恒定理求得其开伞后的速度，最终根据其降落速度应小于5m/s和总下降高度小于投放高度这两个约束条件，解得安全降落的条件为：

m 5g

ks。

对于问题2，在第一问所建运动模型的基础上，具体讨论了降落伞的充气过程以及降落伞充气

开伞过程中附加质量对运动状态的影响，分别求解出不同类型装备安全着陆所需降落伞的面积要求。

然后针对降落伞充气运动过程的分析，根据能量守恒定律和动量守恒定律，求出不同面积不同质量的伞绳拉力。 针对问题3,我们首先假设具有相同面积的多个小伞与一个大伞的承载力相同，在相同的面积条件下，伞的个数越多，每个伞的缆绳承受力越小，因此安全度越高；同时，伞的个数越多，伞的总体填充气体的质量越小，安全度越小。因此，伞的数量既不能太多也不能太少，为此，我们引入安全系数 ，通过层次分析法得两个因素影响安全度的权重系数分别为0.25和0.75，建立安全系数 与伞的个数N的函数关系式，通过最优化处理，求得不同型号的物资所需的伞的个数与大小的最优解。

针对问题4，我们引进风向、风力、气压、温度等因素，根据降落伞的运动学方程确定理论投放的地点，结合各项影响因素改变理论模型，通过对比实际与理论的差异求得降落的准确性，调整各类装备最佳的投放高度和时机。提高装备落地的准确性程度，并用计算机模拟出装备降落过程的运行轨迹。 关键词：能量守恒定理动量守恒定律层次分析法最优化 一、问题的重述

在信息条件下多兵种的联合作战，战时的快速反应，是致胜的重要环节，特别是对于机械化部队的武器装备是胜利作战的重要保证。实际中，必要时需将一些武器装备利用空投的方法及时投放到前沿阵地，使部队以最快的速度利用武器装备发挥战斗力。通常武器装备的大小、重量都有不同，如何选配合适的降落伞，使能保证将所需要的武器装备快速、安全、准确地投放到阵地上。

现有几种类型装备都可以视为长方体型，其几何尺寸(长×宽×高/m)和重量(t)如下表所示。

(1) 根据实际情况，试就一般问题分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型。

(2) 如果要求一台装备配一只降落伞，那么空投各类装备需要配备多大面积的降落伞，才能保证装备安全着陆？伞绳的承载力至少为多少？

(3) 如果需要可以在一台装备上配备多只降落伞，请为各类装备选配合适的降落伞（只数和大小），并分析其装备落地安全的可靠性。 (4) 如果要求定点投放这些装备，考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定因素变化的

影响，请根据你们为各类装备所选择配备的降落伞，分析确定各类装备最佳的投放高度和时机，以

及装备落地的准确性程度；并请模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置。

二、基本假设

i. 降落伞打开时间极短，假设其打开过程为瞬时完成； ii. 降落伞的质量远小于物资的质量，假设不考虑其质量的影响； iv. 假设相同面积的不同数量的降落伞的承载力相同； v. 假设降落伞运送物资的过程中不考虑特殊天气的影响；

vi. 假设N个小伞缆绳承受的力为原大伞缆绳承受力的1

N

；

vii. 假设某一特定区域内短时间内风向、风力、气温、压强恒定不变； viii. 假设降落伞完全撑开后的形状为半球形；

三、问题的分析

对于问题一，我们可以通过运动学的方程，分析其整个过程的运动状态，得到其每个阶段的不同的运动方程，从而计算总的降落伞降落过程的时间和高度，通过满足安全降落的条件，计算得出各个约束参量需满足的条件。

对于问题二，分析可知，缆绳最大承受力的过程应该为伞撑开的瞬间缆绳绷紧时刻，通过动量守恒分析其前后速度的大小，再通过动量定理计算缆绳承受的力，通过问题一中的安全降落满足的条件，可以求得伞的面积。

对于问题三，通过查阅文献可知，相同面积的不同数量的伞的承载力是相同的，因而可以用多个小伞代替一个大伞，伞的数量直接影响缆绳的承受力与伞撑开瞬间的速度，通过分析降落的安全度，运用优化分析求得其最优的数量与大小。

对于问题四，我们通过考虑各种因素与不考虑各种因素时落点的不同，即实际与理论的差异可以求得其降落的准确度，同时考虑各种因素的影响时，要想落点相同，需变动其投放的高度，通过计算机模拟其降落的过程，得到最终的结果。

四、模型的建立

1.1问题一模型的建立:

我们将降落伞的下降过程分为四个阶段求解:

第一阶段:降落伞从被投下至降落伞打开阶段。此阶段忽略降落伞所受到的空气阻力，降落伞在竖直方向上只受重力影响做自由落体运动，共经历时间t'，由自由落体运动的运动学方程可得：

H12

1

2gt0(1)

v(t) gt

00 (2)

第二阶段：降落伞从开始打开到完全打开阶段，此阶段经时间极短，在降落伞打开瞬间，受到的空气阻力大幅度增加，从而使伞绳绷紧，缆绳受力的最大时刻应出现在此过程中。假设此过程中受到的空气阻力不变，降落伞撑开后的体积为：

V 2

R3

3

(3) 此过程降落伞内填充的空气的质量为：

M pV对此过程，由动量守恒可知：

(4) mv(t0) (m M)v1 (5)

解上式方程得：

v m

1m Mgt0

第三阶段：降落伞从完全打开至匀速运动阶段。此阶段有可能存在两种情况：（一）降落伞在

(6) 竖直方向上做变加速运动到达最大速度后匀速；（二）降落伞在竖直方向上做变减速运动至最小速度后匀速。假设此阶段降落伞在重力与空气阻力的作用下加速至匀速：

f ksv (7)

由牛顿第二定律可知：ma mg f即：

m

dv

dt mg ksv

(8) t

由于第二个阶段的作用时间极短，可以认为是在瞬时完成的，则降落伞第三阶段时刻的速度为：

ks(t t0)

v(t) mg1

ln(mg ksv1)ks ksem t0 t

Hv

3

vv(t)dv (10)

1

第四个阶段：降落伞所受重力与空气阻力相等，降落伞做匀速运动。此时：mg ksv 由于题目中要求，为保证安全降落，降落伞的降落速度不能超过5m/s，由降落伞的降落过程

可知，降落伞的速度变化过程为先增加后减小，由于题目中提到，第一个过程的持续时间为5-10s，因此，速度小于指定速度的情况应出现在第三个阶段或第四个阶段，由此可知，当降落伞的速度为5m/s时，其总的运动位移应小于飞机投放时的高度H。而由其降落过程又可知，若此情况出现在第三个阶段时满足条件，则出现在第四个阶段时必也满足条件，因此，为使降落伞能安全降落，只需考虑此情况出现在第三个阶段时即可。

由公式(10)可知：

此时系统做匀速运动，由系统受力平衡可得：

f ksv mg

(11) vmgm ks (12)

与(9)联立解到达匀速所需要的时间得，只有当t 时才可满足条件，因此，第三个阶段的降

落过程假设错误，第三个阶段为变减速至匀速运动过程，下面重新来考虑第三个阶段的运动过程：

mdv

dt

ksv mg

(13) v(t) mgmgksm

(t t0)ks (gt0 ks)e为了满足安全降落的条件：

(14)

a)降落伞的整个降落过程所降落的高度总和应小于飞机投放时的高度，由于第二个阶段持续时间极短，因此认为其在瞬时完成,即H2＝0。把式(12)代入(9)(10)中可以求得

g

v(t) 5 (5 v1)e

5

(t t0) t0 t (15)

1

H5

g(t gtg (vt0)3 (1 5)e5 5 t0g v1) t0 t

假设t1时刻降落伞速度到达临界速度5m/s，此时仅考虑当临界速度出现在第三个阶段时的情况：

伞衣内所包含的空气质量mn等于空气密度乘伞衣内的容积。

H1 H2 H3 H，即：

11

2gt2 5g(t1 t0)0g

(t1g (v1 5)e5

5 t0g v1) H (17) b)降落伞着地时的速度应不大于5m/s，即：

g

v(t) 5 (5 v1)e

5

(t1 t0) 5m/s (18)通过解上述(17)和(18)联立方程可得：

vg5H 1g10t2

(tg1 t0)5)/(e5(t1 t0)1 (0 5e5 (t0 t1)g 1)

mgm Mgt (g5H 110t2

(tg

1 t0)(t1 t0)00 5e5 (t0 t1)g 5)/(e5

1)

mg

gtg1

(tg

0 (H t20 5e51 t0) (t0 t1)g 5)/(e5

(t1 t0) 1) m 2510

3

R3通过上述分析可得，要使降落伞能够安全的将军用物资运送到指定地点，与其相关的因素有：需要运送物资的质量，降落伞完全撑开后的半径，空投物资时的高度等。要使其能安全的将军用装备投放，则其因素应满足的函数关系为：

mggt (gH12

5(tg1 t0)5

(t1 t0) 0 t0 5e (t0 t)g 5)/(e 1)

m 2 r3

5101

3

m 5gks

2问题二模型的建立 2.1 降落伞的附加质量

降落伞是个钝头物体，它周围的真实流动时有粘有旋的分离流。降落伞的附加质量与降落伞的形状、尺寸、运动姿态、透气量和空气密度有关。同时伞衣内还包含着大量空气。降落伞的附加质量理论计算式一个较复杂的课题，目前还没有完全解决。在本文中我们采用经验估算的方法。

把降落伞的附加质量分成两个部分进行。降落伞本身是一个质量很小而尺寸很大的物体，在空气中运动时，它不但像实心球体一样，在变速运动中要克服

要克服周围流体惯性，而且在伞衣内部还包含着大量的空气。特别在降落伞开伞过程中，由于伞衣体积逐步扩大，无论是伞衣外表所带动的空气和伞衣内所包含的空气质量均在增加。我们把降落伞的附加质量分成两部分。

a.伞衣内含质量mn

mn V

式中V---伞衣内的容积，在充气过程中随时间而变化。

(23)

假定在充气期间，伞衣的形状呈半球形加一段截锥形的理想形状，则充气过程中的内含质量可按下式计算。

2 D3

2

mV 0(T 1.31)n 3 2[1.058 1.62](24)

式中T---无因次充气时间，T t/t,D

m，tm为充满时间0---伞衣名义直径

b．伞衣表观质量mb

伞衣表观质量即前面介绍的实心椭球体的附加质量概念。它只在作不稳定运动时才体现出来。假定降落伞在充气过程中随无因次充气时间T呈线性变化

mb 0.188T 4/3 R3t 0.25 R3t T(25)

式中，R

t是指伞衣充气过程中投影半径。这个Rt不易测量。为简化上式假设伞衣投影面积在充气过程中呈线性变化

D2Amax

t

4

k1t

最大投影面积

(26)

A D2tmax

tmax

4

k1tm

所以

(27)

kD2tmax

1

4t(28)

m并假设伞衣完全充满时呈半球形，则

D2D0

tmax

(29) 代入前式，得

kD2

01

t(30)

m代入式(26)，得

D20tD2

A0t k1t t T

m

(31)所以

R1/2

t

D0

T(32)

代入式(24)，得

mD30

T

3/2

b 0.25

T D305/2

3

4 2T

(33)

降落伞的附加质量mf就是内含质量和表观质量之和，即

mf mn mb

(34)

2.2 降落伞阻力系数和阻力特征 a.空气阻力的确定

物体在空气中运动时产生的阻力的大小和运动速度、空气密度、物体形状和尺寸等因素有关。可用下式表示：

f C1

D2 v2A

A (D

0)22

式中CD称阻力系数，表示物体运动时受空气阻碍的程度，A是特征面积。

b.降落伞阻力系数的确定

在降落伞投放过程中，测量出它的稳降速度以及当时的空气的密度，根据悬挂物体的重力，通过下式计算降落伞的有效阻力系数：

C Gs

Gw

D1(37) 2 v2dA0式中GN）

s----降落伞质量所产生的重量（Gw----悬挂物质质量所产生的重量（N） vd----稳降速度（m/s） A2

0----伞衣名义面积（m）

根据有关资料求得：CD=0.873 c.降落伞的面积

由以下的式子分析得：

mg m1

D0f f mf CD2 v2 (2)2

2.3 伞绳的拉力

(38)

根据能量守恒定律，伞系的动能应等于引导伞气动力、伞绳及各连接带张力所作的功，由公式(39)表示：

m22+m2-(m2

bvb/ysv2ys/b+mys)v/2=DSys(Qysi-FLyi)+DSbFLyj (39)

式中：mb、mys--分别为降落伞伞包（含伞系）和引导伞伞系的质量，Kg;

v---绳、带拉伸到最大伸长时的伞系速度，m/s;

vb、vys分别为绳、带在未拉伸前的伞包和引导伞的速度，m/s;

Sys、 Sb分别为引导伞和伞包在绳、带拉直到伸长最大时所经过的距离，m;

Qysj引导伞平均气动阻力，N；

FLyj引导伞对伞包平均的拉力，N。

为简化公式，各平均值参数将按下列各式计算：

FLyi=FLy/2=n3E3εmax3/2　　 　　(40)Q2

2

ysj=(CA)ysρH(vys

+v)/4　　　 　　(41)

式中：

FLy---引导伞对伞包最大拉力，N；

n3

----伞包拖带总根数；

E3----伞包拖带及纵向带材料理论弹性模数；N；

max3----伞包拖带及纵向带出现最大拉力时的伸长率，无量纲；

(CA)ys------引导伞阻力面积，;

H-----大气密度

ΔSys=(vys+v)Δt/2 (42)ΔSb=(vb+v)Δt/2　　　　 　(43)

相对行程按公式(44)计算：

Sb Sys L1 max1 L2 max2 L3 max3

(44)

式中：L1、L2、L3分别为引导伞伞绳和连接带最大拉力时的伸长率，无量纲；

max1、 max2------分别为引导伞伞绳和连接带最大拉力时的伸长率，无量纲； 由于各连接环节拉力相等，所以：

FLy n1E1 max1 n2E2 max2 n3E3 max3

(45)

式中：n1、n2-----分别为引导伞伞绳数和连接带总层数；

E1、E2-----分别为引导伞伞绳和连接带材料的理论弹性模数；

由公式(45)可得：

εmax1=n3E3εmax3/n1E1 　(46)εmax2=n3E3εmax3/n2E2

(47)

将公式(46)和(47)代入公式(44)，得：

Sb Sjs (n3E3L1/n1E1 n3E3L2/n2E2 L3) max3(48)

设：L'sb (n3E3L1/n1E1 n3E3L2/n2E2 L3) max3。则公式(44)变换为：

S'b Sys Lsh max3

(49)

将公式(42)和(43)代入公式(49)，得：

t 2L'sh max3/vR

(50)

式中：相对速度 R b ys

将公式(40)至(50)代入公式(39)，则可简化为：

m222'

b(ν-ν2b)/2+mys(ν-νjs)/2+(νb+ν)LshQysjεmax3/vR

-(vE'22ys+v)n33Lshεmax/2νR+(vb+v)n3E3L'shεmax3/2νR=0

(51)

忽略气动力和伞衣压缩等能量损失，则伞系拉直前后应遵循动量守恒定律：

mbvb+mysvys=(mb+mys)v(52)

设：

K=mb/(mb+mys)

(53)

将的关系式代入公式，通过变换，可得

v KvR vys

（16）

将公式（16）代入公式(52)，可变换成：

nE2 [2(Kv2

33 max3b 2vys)Qysj/vR] max3 mysKvR/L'sh 0

（17）

设：a n3E3； （18）

b 2(Kvb 2vys)Qysj/vR

（19）

c mKv2ysR/L'sh

(20)

将a、b、c的关系式代入公式（16），得

a 2max3 b max3 c 0

（21）

公式（20）为一元二次方程，其根：

max3 [ b (b 4ac)1/2]/2a（22）

将已知值代入（3）～（22）相关公式，可得：

vR,v,K,Q'ysj,Lsh,a,b,c和 max3等计算值。

将 max3值代入公式（7），可算出伞包的最大拉力FLy。如重物比伞系统质量大很多，则质量比为1，拉直后系统速度与重物拉直前的速度相等。这就

意味着重物与伞绳中张力在拉直过程中所作功近似为零，忽略伞的阻力所作的功，则上式简化为：

FLy

3问题三模型的建立：

3.1安全系数

进行土木、机械等工程设计时，为了防止因材料的缺点、工作的偏差、外力的突增等因素所引起的后果，工程的受力部分实际上能够担负的力必须大于其容许担负的力，二者之比叫做安全系数,即极限应力与许用应力之比。也指做某事的安全、可靠程度。

由上面的分析可知，当从某一确定的高度将军用装备通过降落伞投放时，所需的降落伞的受力面积是相同的，假设面积相等的N个小伞与一个大伞的受力效果是相同的。一方面，对降落伞受力分析可知，由于物体所受总的空气阻力是不变的，假设若N个相同大小的小伞与一个大伞的面积相同，则每个小伞缆绳所承受的力为原来大伞所承受的力的

1

N

，当N增加时，每个小伞所承受的力将减小，即每个伞的缆绳所承受的拉力减小，下降过程的安全度将提高。另一方面，当N增加时，N个小伞所填充的总的空气的体积将减小，在问题一的分析中可知，在降落伞下降的第二个阶段，N减小导致填充空气的质量减小，降落伞打开过程的减速效果将降低，因此下降过程的安全度将减小。假设用一个大降落伞在打开后瞬间的速度为v1，若用等面积的N个小伞

打开瞬间的速度为v2。因此，伞的大小和数量要适中，既不能太小，也不能太大，取

一个相对最优的值，使降落伞的降落过程最安全。困此，我们引入安全系数 的定义：。

kFmax FN1

kvmax v

NF2 maxvmax其中k1,k2

分别为缆绳承受力与速度影响安全度的权重系数，下面由层次分析法可

以求解出各自的权重。

3.2 层次分析法一般理论步骤：

层次分析[4]（AHP）模型的建立

立体层次结构；

①最高层：即预定目标或理想结果。

②中间层：为实现目标所涉及的中间环节。

③最底层：为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

⑵确定准则层对目标层的权重W1；

采取对n个因子X {x1

, ,xn

}进行两两比较建立成对比较矩阵的办法[4]，用

矩阵A (aij)n n表示，xi与xj对Z的影响之比为aij。

⑶一致矩阵和一致性检验；

A的最大特征值 max n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。其对应

的特征向量为W (wT

aij

wi1, ,wn)，则

wj

， i,j 1,2, ,n，即

ww 11

w1

w1www2n A w22

w 2 w1

w2w n

wnwn w wn 1

w2

w

n 由此可以由 max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

ax n

计算一致性指标

CI

mn 1，计算一致性比例CR

CI

RI，当CR 0.10时，认为

判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

3.3 利用层次分析法求解

k1,k2

○

1构造比较矩阵 由问题的给出条件可知，影响降落安全的因素缆绳承受力与降落伞速度是依次排列的，这两项因素对目标决策的影响也是依次排列的，且任意两项的影响程度之差可以认为基本相等。【见附录4.2】因此，确定比较矩阵为：

A 1 1

3

是一个2阶正互反矩阵。

②计算比较矩阵的特征值和特征向量可以求出最大的特征值：dmax=2，及其对应的最大特征向量（标准化）c， w11=（0.25，0.75）T。

③一致性检验

由于比较矩阵的阶数为2，其平均随机一致性指标为RI=0，CI=(dmax-2)/(2-1)=0,于是比较矩阵A是一致阵，即矩阵A的构造是合理的。即求得k1 0.25，k2 0.75。由此可得优化过程的目标函数为：

0.25

Fmax FNvF 0.75max v

Nv maxmax

若N个小伞的面积与一个大伞的面积相同，则其缆绳所受到的力为原缆绳受力的

1

N

，即 Fmax FNN 1

F

N

max假设一个大伞时，大伞的半径为R,填充空气的体积为V1质量为M1，N个小伞时，小伞的半径为r，填充空气的体积为V2质量为M2，下面求解N个小伞时所填充的空气的质量：

由大伞的面积与N个小伞的面积相等得：

N·2 r2

2

R2

r

大伞与N个小伞所填充的空气质量分别为：

M2

1

3 R3 2R23

M2 N ()23N

由动量守恒可得各自的速度为：

vmm

max m Mgt0vmax 1mgt0

vm

N m Mgt0vN 23

0 2m 23N (R

N)2

由以上计算可以得到安全系数关于小伞的数量N的函数表达式为：

11

2332Rm Rm N ()2

N 13 0.25 0.75

1N

m R3

由问题1可知，要使降落伞能够在限定的条件内安全落地，需满足的条件为：

D1

mg mf f mf CD v2 (0)2

22

DS (0)2

2

查阅相关数据可知，阻力系数取k 2.9；解之可得各种不同型号的军用物资所需要的伞的面积为：

问题3的求解 0.25N 1max

N

4问题四模型的建立

对于某一特定的区域，其间的风力，风向在短时间内一个恒定的值，且不考虑其随高度的变化，压强与温度，在某一特定区域内是随高度的变化而变化的，同样假设其在相同的高度，短时间内恒定不变。

五、模型的求解

1问题一模型的求解

通过上述分析可得，要使降落伞能够安全的将军用物资运送到指定地点，与其相关的因素有：

需要运送物资的质量，降落伞完全撑开后的半径，空投物资时的高度等。各因素之间要满足的条件

为：

（1） 下降总高度小于投放高度：H1 H2 H3 H

（2） 落地时速度小于5m/s

要使其能安全的将军用装备投放，则其因素应满足的函数关系为：

mggt (gH 1t2

(tg1 t0)(t1 t0) 00 5e5 (t0 t1)g 5)/(e5

1)

m 2 r

3

510 3 5

m gks

6.2问题2模型 的求解

将问题2 求得的数据代入安全系数的表达式，根据求解安全系数 的最优值（见附录1.1和1.2），可求得各不同型号的物资需要的伞的数量和大小，见下表：

假设投放高度为H，落点为M，落点与飞机空投点的水平距离L，阻力系数取k 2.9，空气密度取1.2kg/m3。下面以A类物资的投放过程为例，说明以上问题。

查阅资料可知，当飞机空投物资时，不能与目标点距离过远，一般飞机的空投点距离理想落点的水平距离为25-35km，我们取距离L=30km。当不考虑各种因素的影响时，水平方向上可以看做是匀速运动，假设飞机的速度为250m/s，即降落伞下降过程中水平方向上的速度为250m/s，

为使降落伞可以安全到达预定地点，则总的运动时间为t 120s，假设降落伞下降过程中的第一个阶段持续时间为9s，则第一阶段的下降距离为396.9m，此时的速度为88.2m/s，伞撑开的过程

中由动量守恒得伞撑开后的速度为vm

2R231 m Mv0，

下面计算空气质量M 3N (N)2，代入数据后高度为求得：M＝23792.0kg。查阅资料得伞撑开的过程经历时间为1s，则此过程下降的

H2 78.4m，

考虑第三个阶段，v=4.748 + 0.125110e-2.106 t,当减速为5m/S时的时间为11.7s，此阶段的降落距离为H3 47.7,到第四个阶段，降落伞匀速下降的高度为：

H4 (120 11.7)*5 541.5m

由以上可知，此时降落伞的投放高度为

H H1 H2 H3 H4

计算可得：H＝1064.6m

下面讨论各种因素的影响：讨论风向与风力的影响，风力是指垂直于气流方向的平面所受到的空气的压力，由于降落伞降落过程中空气密度随高度的变化对风力的影响较小，因此不考虑此过程空气密度对气压的影响，根据伯-努力方程推导得出的风-压的关系为：

F=v²/1600[kN/m²] 推导过程如下：

伯努利方程得出的风－压关系，风的动压 F=0.5·ro·v² (1) 其中F为风压[kN/m²]，ro为空气密度[kg/m³]，v为风速[m/s]。

由于空气密度(ro)和重度(r)的关系为 r=ro·g, 因此有 ro=r/g。在(1)中使用这一关系，得到

F=0.5·r·v²/g (2)

此式为标准风压公式。在标准状态下(气压为1013 hPa, 温度为15°C), 空气重度 r=0.01225 [kN/m³]。纬度为45°处的重力加速度g=9.8[m/s²], 我们得到 F=v²/1600 (3)

查阅相关数据可知，降落伞降落过程中的风速一般为3-5m/s，因此我们假设待研究地区的风速为3m/s，则降落伞整体受到风的力为F Sv2/1600，以A类为例研究，待入相关数据可得：

F 3800N，另假设风向与竖直方向的夹角为45度，则降落伞下降过程中竖直方向上受到的力为

Fh Fcos45 2686.6N

水平方向上受到的空气阻力为

Fh Fsin45 2686.6N。

水平方向上降落伞在风力的作用下做匀减速运动，其加速度为a 2.6866m/s2，则其水平速度为0时的水平位移为：

L 11660m，时间为93s。

竖直方向上考虑风力、温度和压强的作用，降落伞下降的第一个阶段，降落伞总体积很小，因

此可以忽略各种因素的影响，即第一个阶段的下降距离为H1

1 2

gt21 396.9m

RT查资料可得空气密度与压强温度的关系：

p

考虑第二个阶段，温度，压强随高度的变化，以及空气密度随高度的变化可知：

H=(RT/gM)*ln(p0/p)

R为常数8.5 T为热力学温度（常温下）（摄氏度要转化成热力学温度）g为重力加速度M为气体的分子量29

P0为标准大气压P为要求的高度的气压

因为由题中可知，可以近似的取此时的高度为1500m，可以求得此时的空气密度近似为1kg/m3

，则此时可求得其内部填充的空气的质量为：M＝19826.7m，则由动量守恒求得其开伞后的速度为：

29.6m/s，第二个阶段下降的距离为88.2m；则第三个阶段的速度表达式为：

v(t) 3.73 25.8e 1.96t 19.6，当其减速至5m/s

时的时间为21.5s，下降的距离为：H21.5

1.96t 19.63

10

3.73 25.8edt，计算可得

H3 358.1m；第四个阶段为匀速下降阶段，总的下降的高度为H4 (93 21.5)*5m/s 357.5m，则

总的高度为：H H1 H2 H3 H4计算可得：

H 1200.7m

即若不考虑各种因素影响的前提条件下，从距离目标点30km处投放物资，则飞机的高度应为：1064.6m，考虑到风力、风向、温度、气压等的因素影响时，若想投到相同的地点，点飞机应从距离目标点为11.66Km处，距离地面1200.7m高空投放，才能使物资降落到相同的地点。

六、模型的评价

本文综合考虑各种因素对装备安全着陆的影响，主要的优点：

（1） 在问题一中，本文把装备的运动过程分解成四个阶段，不但研究较全面，而且

模型简单易懂，方便研究各因素对装备安全着陆的影响；并讨论了通常容易被忽略的开伞过程模型，使得研究的结果更接近真实情况；

（2） 在问题二中，我们考虑降落伞在运动过程中的附加质量与装备质量的关系，根据对伞系统的受力分析，确定空投各类装备需要配备降落伞的最小面积与空气密度与阻力系数有关。在求解伞绳的承载力时，采用动量守恒和能量守恒的定律求解，伞绳的承载力只与系统的质量和相对速度有关。查阅相关数据，对比结果，所求解比较符合实际。

（3） 在问题三中，在数据不足的情况下，引入安全系数，在结合层次分析法对于目标函数的权重进行分析，优化求解出各种装备所配备的不同类型的降落伞。

（4） 问题四较全面地考虑了不确定因素对装备空投的影响，考虑各种约束条件下对模型进行优化，给出较好的最佳投放高度。

然而，由于空气阻力常数与实际情况有关等因素，使得模型也存在不足之处。问题一忽略了第一个过程中装备所受的空气阻力。此外，本文将伞的运动状态简化为迎风面朝竖直方向，而实际上，会与竖直方向成一定比较小的角度。

七、参考文献

[1]王利荣，降落伞理论与应用[M],宇航出版社，1997.

[2]潘星，曹义华，降落伞开伞过程的多结点模型仿真[J]，北京航空航天大学学报，第34卷第2期：189-192,2008.

[3]郭叔伟，董杨彪，王海彪，秦子增，降落伞充气环境对充气性能的影响[J]，中国空间科学技术，第六期：45-51,2008.

[4]赵定烽，蔡铁权，关于运动员如何安全着陆问题的几点讨论[J],大学物理，19卷第6期：第16-18,2000.

[5]龚文轩，降落伞开伞高度对开伞动载影响分析[M]，南京航空航天大学学报,南京，1996.

八、附录

附录1.1

安全系数极值计算代码：

********************************************************************** 1t重的装备：

********************************************************************** ----------------myfun1.m--------------------------- function f=myfun1(n)

r=14.67115187; m=1000;

f=-0.25*(n-1)/n-0.75*(1.5*m+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5)/(1.2*3.14*r^3+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5); ---------------calc1.m------------------------------ clear; clc;

[x,val]=fminbnd(@myfun1,0,10) f=myfun(n);

ezplot(f,[0,10])

title('安全系数变化曲线') legend('安全系数'); xlabel('伞的系数n')

ylabel('安全系数lambda')

---------------运行结果----------------------------- x =

3.3367

val =

-0.5015

----------------------------------------------------

由于n的取值是整数，通过观察曲线图，我们再输入下面两行代码确定极值 y1=feval(@myfun1,4) y2=feval(@myfun1,3)

---------------运行结果----------------------------- y1 =

-0.5005 y2 =

-0.5011

---------------结论---------------------------------

结合用ezplot画出的曲线，我们可以知道在n=3时，安全系数取到最大值0.5011

********************************************************************** 2t重的装备：

********************************************************************** ----------------myfun2.m--------------------------- function f=myfun2(n)

r=20.74814195; m=2000;

f=-0.25*(n-1)/n-0.75*(1.5*m+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5)/(1.2*3.14*r^3+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5); ---------------calc2.m------------------------------ clear; clc;

[x,val]=fminbnd(@myfun2,0,10) f=myfun2(n); ezplot(f,[0,10])

title('安全系数变化曲线') legend('安全系数'); xlabel('伞的系数n')

ylabel('安全系数lambda')

---------------运行结果----------------------------- x =

3.1794

val =

-0.4837

----------------------------------------------------

由于n的取值是整数，通过观察曲线图，我们再输入下面两行代码确定极值 y1=feval(@myfun2,4) y2=feval(@myfun2,3)

---------------运行结果----------------------------- y1 =

-0.4821 y2 =

-0.4836

---------------结论---------------------------------

结合用ezplot画出的曲线，我们可以知道在n=3时，安全系数取到最大值0.4836 ********************************************************************** 3t重的装备：

**********************************************************************

----------------myfun3.m--------------------------- function f=myfun3(n)

r=25.41118044; m=3000;

f=-0.25*(n-1)/n-0.75*(1.5*m+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5)/(1.2*3.14*r^3+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5); ---------------calc3.m------------------------------ clear; clc;

[x,val]=fminbnd(@myfun3,0,10) f=myfun3(n); ezplot(f,[0,10])

title('安全系数变化曲线') legend('安全系数'); xlabel('伞的系数n')

ylabel('安全系数lambda')

---------------运行结果----------------------------- x =

3.1142

val =

-0.4758

----------------------------------------------------

由于n的取值是整数，通过观察曲线图，我们再输入下面两行代码确定极值 y1=feval(@myfun,4) y2=feval(@myfun,3)

---------------运行结果----------------------------- y1 =

-0.4739 y2 =

-0.4758

---------------结论---------------------------------

结合用ezplot画出的曲线，我们可以知道在n=3时，安全系数取到最大值0.4758 ********************************************************************** 5t重的装备：

********************************************************************** ----------------myfun5.m--------------------------- function f=myfun5(n)

r=32.80569288; m=5000;

f=-0.25*(n-1)/n-0.75*(1.5*m+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5)/(1.2*3.14*r^3+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5); ---------------calc5.m------------------------------ clear; clc;

[x,val]=fminbnd(@myfun5,0,10) f=myfun5(n);

ezplot(f,[0,10])

title('安全系数变化曲线') legend('安全系数'); xlabel('伞的系数n')

ylabel('安全系数lambda')

---------------运行结果----------------------------- x =

3.0516

val =

-0.4680

----------------------------------------------------

由于n的取值是整数，通过观察曲线图，我们再输入下面两行代码确定极值 y1=feval(@myfun5,4) y2=feval(@myfun5,3)

---------------运行结果----------------------------- y1 =

-0.4657 y2 =

-0.4680

---------------结论---------------------------------

结合用ezplot画出的曲线，我们可以知道在n=3时，安全系数取到最大值0.4680 ********************************************************************** 10t重的装备：

********************************************************************** ----------------myfun10.m--------------------------- function f=myfun10(n)

r=46.3942558; m=10000;

f=-0.25*(n-1)/n-0.75*(1.5*m+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5)/(1.2*3.14*r^3+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5); ---------------calc10.m------------------------------ clear; clc;

[x,val]=fminbnd(@myfun10,0,10) f=myfun10(n); ezplot(f,[0,10])

title('安全系数变化曲线') legend('安全系数'); xlabel('伞的系数n')

ylabel('安全系数lambda')

---------------运行结果----------------------------- x =

2.9910

val =

-0.4601

----------------------------------------------------

由于n的取值是整数，通过观察曲线图，我们再输入下面两行代码确定极值 y1=feval(@myfun10,2) y2=feval(@myfun10,3)

---------------运行结果-----------------------------

y1 =

-0.4532 y2 =

-0.4601

---------------结论---------------------------------

结合用ezplot画出的曲线，我们可以知道在n=3时，安全系数取到最大值0.4601

********************************************************************** 15t重的装备：

********************************************************************** ----------------myfun15.m--------------------------- function f=myfun15(n)

r=46.3942558; m=15000;

f=-0.25*(n-1)/n-0.75*(1.5*m+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5)/(1.2*3.14*r^3+n*1.2*3.14*(r^2/n)^1.5); ---------------calc15.m------------------------------ clear; clc;

[x,val]=fminbnd(@myfun15,0,10) f=myfun15(n); ezplot(f,[0,10])

title('安全系数变化曲线') legend('安全系数'); xlabel('伞的系数n')

ylabel('安全系数lambda')

---------------运行结果----------------------------- x =

2.9649

val =

-0.4567

----------------------------------------------------

由于n的取值是整数，通过观察曲线图，我们再输入下面两行代码确定极值 y1=feval(@myfun15,2) y2=feval(@myfun15,3)

---------------运行结果----------------------------- y1 =

-0.4500 y2 =

-0.4567

---------------结论---------------------------------

结合用ezplot画出的曲线，我们可以知道在n=3时，安全系数取到最大值0.4567

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4i3i.html