四川省成都市大弯中学2012年自主招生考试数学试卷(解析版)

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2012 年四川省成都市大弯中学自主招生考试数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列计算正确的是（ A．2a ?a =2a2 3 6
）2 3 6
B． （3a ） =9a
C．a ÷ =a a
6
2
3
D． （a ） =a
－2
3
－6
2．设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）为反比例函数 x2＜x3，比较 y1、y2、y3 的大小（ A．y1＜y2＜y3 3．如果不等式 B．y1＞y2＞y3 ） C．y1＜y3＜y2
（k＞1）图象上的三点，且 x1＜0 ＜
D．y1＜y2＜y3 ）
的解集 x＞－1，那么 m 的值是（
A．3
B．1
C．－1
D．－3
4．抛物线 y=（1+x） （3－x） A．有最大值 3 B．有最小值－3 C．有最大值 4 D．有最小值 4
5．如图，A，B，C，D 是直线 L 上顺次四点，M，N 分别是 AB，CD 的中点，且 MN=6cm，BC=1cm，则 AD 的长等于（ A．10cm2
） B．11cm C．12cm D．13cm
6．已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2，与 y 轴的正半轴的 有交点，下列结论：①b＜0；②b －4ac=0；③c＜0；④a－b＜0．其中正确结论的序号是（ A．①② B．①③ C．③④ D．①④ ）2
）
7．已知三角形 ABC 其内切圆 O 与边 AB 交于 D，若 AD－BD=－5，则 AC－BC=（ A．10 B．5 C．－5 或 5 D．－5
8．如图（单位：m） ，直角梯形 ABCD 以 2m/s 的速度沿直线 l 向正方形 CEFG 方向移动，直到 AB 与 FE 重合，直角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动时间 t 的函数图象可能是（ ）
- 1 -
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A
B
C 的大小关系是（ D． ）
D
9．已知 mn＜0 且 1－m＞1－n＞0＞n+m+1，那么 n，m， ， A． B． C．
10．相邻两边不等的长方形 ABCD，中心为 O．在点 A，B，C，D，O 五个点构成的三角形中，任取两个 三角形，面积相等的概率为（ A． B． ） C． D．
二、填空题（前 4 小题每小题 4 分，第 15 小题 6 分共 22 分） 11．函数 中 x 的范围为 _________ ．2 2 2 2
12．设 a，b，c 满足 b +c =2a +16a+14 及 bc=a －4a－5，则 a 的取值范围为 _________ ． 13．若规定：①{m}表示大于 m 的最小整数，例如：{3}=4，{－2.4}=－2；②[m]表示不大于 m 的最大整数， 例如：[5]=5，[－3.6]=－4，则使等式 2{x}－[x]=4 成立的整数 x= _________ ． 14．如图，△ ABC 的外接圆的圆心坐标为 _________ ．
15．用你发现的规律解答下列问题． ┅┅ （1）计算 （2）探究 （3） = _________ ． = _________ ． （用含有 n 的式子表示） 的值为 ，n= _________ ．
- 2 -
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（4）求
=
_________ ． （用含有 n 的式子表示）
三、解答题（第 16 题每小题 8 分，第 17 题、第 18 题 8 分，19 题为 10 分，第 20 题 14 分） 16． （1）计算：
（2）解分式方程：
．
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17．如图，在△ ABC 中，∠A=90° ，AB=4，AC=3，点 M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形 AMPN，令 AM=x． （1）用含 x 的代数式表示△ MNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？
18．关于 x 的方程 （1）求 k 的取值范围；
有两个实数根． （包括两个相等实数根）
（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理 由． （3）若 y=k（3+k） 1+x2） 为自变量，用 k 表示 y 并求 y 的最大值． （x ，k
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19．青白江为了在樱花节期间做好气候工作服务，某天，据某气象中心观察和预测：发生于青白江正北方 的 M 地的一片雷雨云一直向正南方向移动，其移动速度 V（km/h）与时间 t（h）的函数图象如图所示， 过线段 OC 上一点 T（t，O）作横轴的垂线 L，梯形 OABC 在直线 L 左侧部分的面积即为 t（h）内雷雨 云所经过的路程 S（km） ．[ （1）当 t=4 时，求 S 的值； （2）将 S 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； （3）若青白江距 M 地 650km，试判断这场雷雨云是否会影响到青白江城，如果会，在雷雨云发生后多 长时间它将影响到青白江？如果不会，请说明理由．
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20．已知抛物线 y=3ax +2bx+c， （Ⅰ）若 a=b=1，c=－1，求该抛物线与 x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若 a=b=1，且当－1＜x＜1 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围； （Ⅲ）若此抛物线过点 A（0，3） ，B（1，0） ，C（3，0） ，在此抛物线上有一点 P，使它到 AC 的距离 为 ，求 P 点坐标； （Ⅳ）若 a+b+c=0，且 x1=0 时，对应的 y1＞0；x2=1 时，对应的 y2＞0，试判断当 0＜x＜1 时，抛物线 与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
2
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参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列计算正确的是（ A．2a ?a =2a2 3 6
）2 3 6
B． （3a ） =9a
C．a ÷ =a a
6
2
3
D． （a ） =a
－2
3
－6
考点： 负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。 分析： 根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法、负整数指数幂的知识点进行判断． 解答： 解：A、错误，应等于 2a5； B、错误，应等于 27a ； C、错误，应等于 a ； D、正确． 故选 D． 点评： 本题考查的知识点比较多，特别注意负整数指数幂的运算．4 6
2．设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）为反比例函数 x2＜x3，比较 y1、y2、y3 的大小（ A．y1＜y2＜y3 B．y1＞

y2＞y3 ） C．y1＜y3＜y2
（k＞1）图象上的三点，且 x1＜0＜
D．y1＜y2＜y3
考点： 专题： 分析：
反比例函数图象上点的坐标特征。 计算题。 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据 A、B、C 三点横坐标的特点判断出 三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
解答： 解：∵反比例函数
中，k＞1，则 k －1＞0，
2
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小， ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＜0，y2＞0、y3＞0， ∵x2＜x3， ∴y2＞y3， ∴y2＞y3＞y1．- 7 -
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故选 C． 点评： 本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增 减性．
3． （2004?黄石）如果不等式
的解集 x＞－1，那么 m 的值是（
）
A．3 考点： 分析： 解答：
B．1
C．－1
D．－3
解一元一次不等式组。 先根据不等式组的解集确定出 2m+1=－1，或 m+2=－1，求出符合条件的 m 值即可． 解：∵不等式 组 x＞2m+1，x＞m+2 的解集 x＞－1， ∴2m+1=－1，或 m+2=－1 当 2m+1=－1 时，m=－1，此时 m+2=1，则不等式组的解集为 x＞1，不满足要求； 当 m+2=－1 时，m=－3，此时 2m+1=－5，则不等式组的解集为 x＞－1，满足要求； 故满足条件的 m=－3 故选 D．
点评：
本题主要考查了不等式组的解集的确定方法：两大取大，两小取小，大小、小大两边取．
4．抛物线 y=（1+x） （3－x） A．有最大值 3 B．有最小值－3 C．有最大值 4 D．有最小值 4
考点： 专题： 分析： 解答：
二次函数的最值。 计算题。 将抛物线解析式转化为一般式，再配方，求出函数的最值． 解：∵y=（1+x） （3－x） =－x +2x+3 =－（x －2x）+3 =－（x －2x+1－1）+3 =－（x －2x+1）+4 =－（x－1） +4，2 2 2 2 2
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∴抛物线有最大值 4． 故选 C． 点评： 本题考查了二次函数的最值，根据二次项系数判断出函数有最大值还是最小值，再利用配方法是解 答此类问题的基本思路．
5．如图，A，B，C，D 是直线 L 上顺次四点，M，N 分别是 AB，CD 的中点，且 MN=6cm，BC=1cm，则 AD 的长等于（ A．10cm 考点： 专题： 分析： 解答： ） B．11cm C．12cm D．13cm
比较线段的长短。 计算题。 由已知条件知 MB+CN=MN－BC，MB+CN= （AB+CD） ，故 AD=AB+BC+CD 可求． 解：∵MN=6cm ∴MB+CN=6－1=5cm，AB+CD=10cm ∴AD=11cm． 故选 B．
点评：
本题的关键是根据图形分清线段的关系利用已知条件求出 AD 的长．
6．已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2，与 y 轴的正半轴的 有交点，下列结论：①b＜0；②b －

4ac=0；③c＜0；④a－b＜0．其中正确结论的序号是（ A．①② 考点： 分析： B．①③ C．③④ D．①④2
2
）
二次函数图象与系数的关系。 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称 轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：①∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2，与 y 轴的正 半轴的有交点， ∴该二次函数图象的开口向下，且对称轴 x=－ ∴a＜0， ＞0， ＜0，
2
∴a、b 同号，即 b＜0； 故本选项正确；
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②∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个不同的交点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2， ∴△=b －4ac＞0； 故本选项错误；2
2
③∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 y 轴的正半轴的有交点， ∴c＞0； 故本选项错误；
2
④∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2， ∴－1＜x1－2＜0，即－1＜ ＜0； 又由①知，a＜0，b＜0， ∴a＜b，即，a－b＜0； 故本选项正确； 综上所述，正确的说法是①④； 故选 D． 点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系， 会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系， 根的判别式的熟 练运用．
2
7．已知三角形 ABC 其内切圆 O 与边 AB 交于 D，若 AD－BD=－5，则 AC－BC=（
）
A．10
B．5
C．－5 或 5
D．－5
考点： 三角形的内切圆与内心。 分析： 先根据切线长定理，得出 AD=AE，CE=CF，BF=BD，然后得出 AC－BC=AD－BD，即可求出答案． 解答： 解：∵三角形 ABC 其内切圆 O 与边 AB 交于 D， ∴AD=AE，CE=CF，BF=BD，
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∴AC－BC=AE－BF=AD－BD=－5． 故选 D．
点评： 此题考查了三角形的内切圆与内心，用到的知识点是切线长定理，关键是根据 AD=AE，CE=CF， BF=BD 得出 AC－BC=AD－BD．
8． （2006?滨州）如图（单位：m） ，直角梯形 ABCD 以 2m/s 的速度沿直线 l 向正方形 CEFG 方向移动，直 到 AB 与 FE 重合，直角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动时间 t 的函数图象可能是 （ ）
A 考点： 动点问题的函数图象。
B
C
D
分析： 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到 正确的结论． 解答： 解：根据几何图形可知直角梯形的面积为 75，当直角梯形 ABCD 以 2m/s 的速度沿直线 l 向正方形 CEFG 方向移动， 直到 AB 与 FE 重合， 直角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动 时间 t 的变化规律是逐渐增大，直至 75 平方米，然后逐渐减小到 0，2 段都是平滑曲线．并且在

直 角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠时，重叠部分的面积是 t 的二次函数，因而是抛物线． 故选 C． 点评： 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．
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9．已知 mn＜0 且 1－m＞1－n＞0＞n+m+1，那么 n，m， ， A． 考点： 分析： 实数大小比较。 B． C．
的大小关系是（ D．
）
根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值 大的反而小即可解答．
解答：
解：∵mn＜0， ∴m，n 异号， 由 1－m＞1－n＞0＞n+m+1，可知 m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|． 假设符合条件的 m=－4，n=0.2 则 =5，n+ =0.2－ =－ 则－4＜－ ＜0.2＜5
故 m＜n+ ＜n＜ ． 故选 D． 点评： 此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键根据已知条件分析出 n，m 的符号，绝对值的 大小，再设出符合条件的数值比较大小，以简化计算．
10．相邻两边不等的长方形 ABCD，中心为 O．在点 A，B，C，D，O 五个点构成的三角形中，任取两个 三角形，面积相等的概率为（ A． 考点： 分析： B． C． ） D．
列表法与树状图法；正方形的性质。 首先根据题意可求得相邻两边不等的长方形 ABCD 中共有 8 个三角形，且 S△ AOB=S△ AOD=S△ COD=S△ BOC，S△ ABC=S△ BCD=S△ ACD=S△ BAD，又由任取两个三角形，共有 8× 7=56 种等可能的结果，面积相等的有 24 种情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：如图：共有 8 个三角形， 则任取两个三角形，共有 8× 7=56 种等可能的结果； ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD， ∴S△ AOB=S△ AOD=S△ COD=S△ BOC，S△ ABC=S△ BCD=S△ ACD=S△ BAD，- 12 -
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∴任取两个三角形，面积相等的有：3× 8=24（种） ， ∴任取两个三角形，面积相等的概率为： 故选 A． = ．
点评：
此题考查了矩形的性质与乘法公式求概率的知识．此题难度适中，解题的关键是掌握乘法公式的应 用．
二、填空题（前 4 小题每小题 4 分，第 15 小题 6 分共 22 分） 11．函数 考点： 专题： 分析： 解答： 中 x 的范围为 x≥0 且 x≠3 函数自变量的取值范围。 探究型。 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解． 解：根据题意得： 解得：x≥0 且 x≠3． 故答案是：x≥0 且 x≠3． 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． ， ．
12．设 a，b，c 满足 b +c =2a +16a+14 及 bc=a －4a－5，则 a 的取值范围为 a≥－1 ． 考点： 专题： 分析： 解答： 完全平方公式；非负数的性质：偶次方。 常规题型。 等式两边都减去 2bc，

整理后根据平方数非负数列出不等式求解即可． 解：∵b +c =2a +16a+14，bc=a －4a－5， ∴b －2bc+c =2a +16a+14－2（a －4a－5） ， 即（b－c） =24a+24， ∵（b－c） ≥0， ∴24a+24≥0， ∴a≥－1． 故答案为：a≥－1．- 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
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点评：
本题考查了完全平方公式，平方数非负数的性质，根据完全平方公式配方是解题的关键．
13．若规定：①{m}表示大于 m 的最小整数，例如：{3}=4，{－2.4}=－2；②[m]表示不大于 m 的最大整数， 例如：[5]=5，[－3.6]=－4，则使等式 2{x}－[x]=4 成立的整数 x= 2 ．
考点： 规律型：数字的变化类。 分析： 根据题意①{m}表示大于 m 的最小整数， 2{m}=2 即 （x+1） ②[m]表示不大于 m 的最大整数， ； 即[m]= （x－1） ． 解答： 解：根据题意，得使等式 2{x}－[x]=4 成立的整数 x 应满足：2（x+1）－x=4， ∴x=2． 故答案为 2． 点评： 解决此题的关键是理解题意，这里注意 x 是整数． 14．如图，△ ABC 的外接圆的圆心坐标为 （6，2） ．
考点： 分析：
三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质。 本题可先设圆心坐标为 （x， ， y） 再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式， 化简即可得出圆心的坐标．
解答：
解：设圆心坐标为（x，y） ； 依题意得， A（4，6） ，B（2，4） ，C（2，0） 则有 =2 2 2 2 2
=2
，
即（4－x） +（6－y） =（2－x） +（4－y） =（2－x） +y ， 化简后得 x=6，y=2， 因此圆心坐标为（6，2） ．
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点评：
本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆 圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
15．用你发现的规律解答下列问题． ┅┅ （1）计算 （2）探究 （3） = = ． ． （用含有 n 的式子表示） 的值为 ，n= 17 ．
（4）求 考点： 专题： 分析： 分式的混合运算。 规律型。 根据所给的等式可得 （3）依据 求 n； （4）依据 解答： = × － （ = － = × － （
=
． （用含有 n 的式子表示）
，据此可求出（1）（2）的值； 、 ，进而可
）先展开，再合并，可化简 3 式，求出的结果等于
）先展开 4 式，再加减，最后通分相加即可．
解： （1）原式=1－ + － +…+ － =1－ = ； （2）原式=1－ + － +…+ － （3）原式= × （1－ + － +…+ 根据题意可得： 解得 n=17； （4）原式= × （1－ + － +…+ － = × [（1+ + +…+ ）－（ + + …+ + = × （1+ － = × － [ － ） ] ） + ）] = ， =1－ － = ； = × （1－ ）= ，
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= －
=
．
故答案为： ； 点评：
；17；
此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关

键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘 除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式 再约分．同时注意最后结果应为最简分式．其中找出规律 = － 是解本题的关键．
三、解答题（第 16 题每小题 8 分，第 17 题、第 18 题 8 分，19 题为 10 分，第 20 题 14 分） 16． （1）计算： （2）解分式方程： 考点： 分析： ．
换元法解分式方程；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。 （1）利用二次根式的性质进行化简，以及负指数幂的性质和绝对值得性质进行运算即可； （2）利用换元法设 ，则原方程变形为 y －2y－8=0，求出 y 的值，进而得出 x 的值即可． ， ，2
解答：
解： （1）原式= = =1；
（2）设
，则原方程变形为 y －2y－8=0，
2
解这个方程得，y1=4，y2=－2． 当 y=4 时， 当 y=－2 时， 经检验 点评： ， ，解得 ，解得 ； ．
都是原方程的根．
此题主要考查了换元法解分式方程以及负指数、绝对值的化简、二次根式的化简等知识，根据已知 熟练利用换元法求出是解题关键．
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17．如图，在△ ABC 中，∠A=90° ，AB=4，AC=3，点 M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形 AMPN，令 AM=x． （1）用含 x 的代数式表示△ MNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？
考点： 相似三角形的判定与性质；三角形；勾股定理；切线的性质。 专题： 综合题。 分析： （1）由△ AMN∽△ABC 得出 AN，又 S△ AMN=S△ MNP，求得△ AMN 的面积即可． （2） 设直线 BC 与⊙O 相切于点 D， 连接 AO， 并过点 M 作 MQ⊥BC 于 Q，（1） AMN∽△ABC OD， 由 中△ 得 ，则求得 MN、OD，再证△ BMQ∽△BCA，得 ，代入求得 x 的值．
解答： 解： （1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C． ∴△AMN∽△ABC．∴ ∴AN= x． ∴S=S△ MNP=S△ AMN= ? x?x= x ． （0＜x＜4） （2）如图，设直线 BC 与⊙O 相切于点 D，连接 AO，OD． AO=OD= MN． 在 Rt△ ABC 中，BC= 由（1）知△ AMN∽△ABC． ∴ ∴OD= ，即 ． ． ．∴MN= ． =5．2
，即
．
过点 M 作 MQ⊥BC 于 Q，则 MQ=OD=
在 Rt△ BMQ 与 Rt△ BAC 中，∠B 是公共角，∴△BMQ∽△BCA．
∴
，即
=
．
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解得 BM=
x． x+x=4． 时，⊙O 与 BC 相切．
AB=BM+AM= 解得 x=
，即当 x=
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及切线的性质，综合性较强，难度较大．
18．关于 x 的方程 （1）求 k 的取值范围；
有两个实数根． （包括两个相等实数根）
（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数

和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由． （3）若 y=k（3+k） 1+x2） 为自变量，用 k 表示 y 并求 y 的最大值． （x ，k 考点： 根的判别式；根与系数的关系；二次函数的最值。 分析： （1）根据有两个实数根得到其根的判别式大于等于零，同时还应注意二次项系数； （2）假设存在，利用两实数根的倒数和为 0 求得 k 值即可； （3）利用求二次函数最值的方法即可求得 y 的最大值； 解答： 解： （1）由题意可知，k≠0 且△ =（k+1）2－4k? ≥0 ∴k≥－ 且 k≠0． （2）不存在． 设方程的两根是 x1，x2．x1x2= ≠0，
∴
+
=
=0．
∴x1+x2=0. ∴k+1=0 k=－1＜－ ．
，
∴满足条件的实数 k 不存在． （3）y=－（k+1） （k+3）=－k －4k－3=－（k+2） +1，- 18 2 2
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∴对称轴为 k=－2， ∵k≥－ 且 k≠0 ∴k=－ 时有最大值 y=－（－ +2） +1=－ ． 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及二次函数的最值的知识，知识点较多，难 度适中．2
19．青白江为了在樱花节期间做好气候工作服务，某天，据某气象中心观察和预测：发生于青白江正北方 的 M 地的一片雷雨云一直向正南方向移动，其移动速度 V（km/h）与时间 t（h）的函数图象如图所示，过 线段 OC 上一点 T（t，O）作横轴的垂线 L，梯形 OABC 在直线 L 左侧部分的面积即为 t（h）内雷雨云所 经过的路程 S（km） ． （1）当 t=4 时，求 S 的值； （2）将 S 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； （3）若青白江距 M 地 650km，试判断这场雷雨云是否会影响到青白江城，如果会，在雷雨云发生后多长
时间它将影响到青白江？如果不会，请说明理由． 考点： 二次函数的应用。 专题： 行程问题；图表型。 分析： （1）设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点．由图象知，点 A 的坐标为（10，30） ，故直线 OA 的解 析式为 v=3t， 当 t=4 时，D 点坐标为（4，12）进而得出即可； （2）分类讨论：当 0≤t≤10 时；当 10＜t≤20 时；当 20＜t≤35 时； （3）根据 t 的值对应求 S，然后根据青白江距 M 地 650km 分别解答． 解答： 解：设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点， （1）由图象知，点 A 的坐标为（10，30） ， 故直线 OA 的解析式为 v=3t， 当 t=4 时，D 点坐标为（4，12） ， ∴OT=4，TD=12，- 19 -
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∴S= × 12=24（km） 4× ； （2）当 0≤t≤10 时，此时 OT=t，TD=3t（如图 1） ， ∴S= ?t?3t= t ， 当 10＜t≤20 时，此时 OT=t，AD=ET=t－10，TD=30（如图 2） ， ∴S=S△ AOE+S 矩形 ADTE= × 30+30（t－10）=30t－150， 10× 当 20＜t≤35 时，∵B，C 的坐标分别为（20，30）（35，0） ， ， ∴直线 BC 的解析式为 v=

－2t+70， ∴D 点坐标为（t，－2t+70） ， ∴TC=35－t，TD=－2t+70（如图 3） ， ∴S=S 梯形 OABC－S△ DCT= （10+35）× 30－ （35－t） （－2t+70）=－（35－t） +675； （3）S1= ≤t≤10）最大值为 150≤650，2 2
S2=30t－150=650， t= ＞20 不可能，2
当 t=35 时，S=－（35－35） +675=675（km） ，而 450＜650＜675， 所以青白江城会受到影响，且影响时间 t 应在 20h 至 35h 之间， 由－（35－t） +675=650，解得 t=30 或 t=40（不合题意，舍去） ． 所以在雷雨云发生后 30h 它将侵袭到青白江城．2
点评： 本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反 映的数据进行分段计算，难度适中．
20．已知抛物线 y=3ax +2bx+c， （Ⅰ）若 a=b=1，c=－1，求该抛物线与 x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若 a=b=1，且当－1＜x＜1 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围；
2
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（Ⅲ）若此抛物线过点 A（0，3） ，B（1，0） ，C（3，0） ，在此抛物线上有一点 P，使它到 AC 的距离为 求 P 点坐标；
，
（Ⅳ）若 a+b+c=0，且 x1=0 时，对应的 y1＞0；x2=1 时，对应的 y2＞0，试判断当 0＜x＜1 时，抛物线与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由． 考点： 二次函数综合题。 分析： （Ⅰ）把 a，b，c 的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可； （Ⅱ）把 a，b 代入解析式可得△ =4－12c≥0，等于 0 时可直接求得 c 的值；求出 y 的相应的值后可 得 c 的取值范围； （Ⅲ）把点 A（0，3） ，B（1，0） ，C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线 y=3ax +2bx+c，求出 a，b， c 的值，进而得到抛物线的解析式，设与 BC：y=－x+3 平行的直线 l 为 y=－x+b，可求得 l 到 BC 距 离为 的直线为 y=－x+21 或者为 y=x－15，进而求出点 P 的坐标；2 2 2
（Ⅳ）抛物线 y=3ax +2bx+c 与 x 轴公共点的个数就是一元二次方程 3ax +2bx+c=0 的实数根的个数， 因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程 3ax +2bx+c=0 根的判别式的符号，依据判 别式的符号得出相应的结论．2 解答： 解： （Ⅰ）当 a=b=1，c=－1 时，抛物线为 y=3x +2x－1， 2
方程 3x +2x－1=0 的两个根为 x1=－1，x2= ， ∴该抛物线与 x 轴公共点的坐标是（－1，0）和（ ， 0） ； （Ⅱ）当 a=b=1 时，抛物线为 y=3x +2x+c，且与 x 轴有公共点． 对于方程 3x +2x+c=0，判别式△ =4－12c≥0，有 c≤ ， ①当 c= 时，由方程 3x +2x+ =0，解得2 2 2 2
2
．
此时抛物线为 y=3x +2x+ =0 与 x 轴只有一个公共点（－ ，0） ， ②当 c＜ 时，x1=－1 时，y1=3－2+c=1+c，x2=1 时，y2=3+2+c=5+c． 由已知－1＜x＜1 时，该抛物线与 x 轴有且只

有一个公共点，考虑其对称轴为 ，
应有
，即
解得－5＜c≤－1． 综上，c= 或－5＜c≤－1．
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（Ⅲ） 把点 A （0， ， 3） B （1， ，（3， 的坐标分别代入已知抛物线 y=3ax +2bx+c 得： 0） C 0）
2
，
解得：
，
∴二次函数的解析式为 y=x －4x+3， 设与 BC：y=－x+3 平行的直线 l 为 y=－x+b，可求得 l 到 BC 距离为 y=x－15， 所以可求得点 P 坐标为： （－3，24）及（6，15） ； （Ⅳ）对于二次函数 y=3ax +2bx+c， 由已知 x1=0 时，y1=c＞0；x2=1 时，y2=3a+2b+c＞0， 又 a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b． 于是 2a+b＞0．而 b=－a－c，∴2a－a－c＞0，即 a－c＞0． ∴a＞c＞0． ∵关于 x 的一元二次方程 3ax +2bx+c=0 的判别式△ =4b －12ac=4（a+c） －12ac=4[（a－c） +ac] ＞0， ∴抛物线 y=3ax +2bx+c 与 x 轴有两个公共点，顶点在 x 轴下方． 又该抛物线的对称轴 ，2 2 2 2 2 2
2
的直线为 y=－x+21 或者为
由 a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0， 得－2a＜b＜－a， ∴ ．
又由已知 x1=0 时，y1＞0；x2=1 时，y2＞0，观察图象， 可知在 0＜x＜1 范围内，该抛物线与 x 轴有两个公共点．
点评： 本题考查了二次函数与 x 轴的交点的纵坐标为 0；抛物线与 x 轴交点的个数就是一元二次方程根的 个数的问题，以及二次函数图象与一次函数函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函 数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位
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置关系判断出图象特征来解决问题．
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