2012届高三数学第一轮复习强化训练11.4《互斥事件有一个发生的概

11.4互斥事件有一个发生的概率与条件概率

【考纲要求】

1、了解两个互斥事件的概率加法公式. 2、了解条件概率及其公式。 【基础知识】

一、互斥事件有一个发生的概率

（1）并事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或称和事件），记作A?B（或A?B).

（2）交事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或称积事件），记作A?B（或AB).

（3）互斥事件

1、互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。即

A?B??.一般地，如果事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件

A1,A2,,An彼此互斥。

2、互斥事件的概率：如果事件A,B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)；如果事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,?An)＝P(A1)?P(A2)??P(An)

,An彼此互斥。则

P(A1?A2?3．对立事件: 如果事件A,B互斥，在一次试验中，必然有一个发生的互斥事件，叫对立事件．即A?B??,A?B为必然事件，事件A的对立事件记为

A.P(A?A)?1?P(A)?1?P(A)

4、互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。

二、条件概率

1、条件概率的定义

设A和B为两个事件，且P(A)?0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的概率叫A发生的条件下B发生的条件概率，记作:P(B|A),读作A发生的条件下B 发生的概率．

2、条件概率的公式

P(B|A)?P(AB)n(AB). P(B|A)= P(A)n(A)3、条件概率的性质

(1) 0≤P(A|B) ≤1 (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A)

4、温馨提示 条件概率一般有“在A已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率。

【例题精讲】

例1 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数参加人统计如图所示．

5（I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次

数恰好相等的概率．

（III）从合唱团中任选两名学生，用?表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量?的分布列及数学期望E?．

2

3活动次

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I）该合唱团学生参加活动的人均次数为

1?10?2?50?3?40230??2.3．

100100（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

222C10?C50?C4041． P0??2C10099（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2

次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知

1111C10C50C50C4050； ??P(??1)?P(A)?P(B)?24C100C1009911C10C408?； P(??2)?P(C)?2C10099?的分布列：

? 0 1 2 P 41 9950 998 99?的数学期望：E??0?415082?1??2??． 9999993

例2 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率；

(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；

(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.

(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为

3n（?）=A5=20.

11根据分步乘法计数原理，n (A）=A3=12 ．于是 ?A4 P(A)?n(A)123??. n(?)205(2）因为 n (AB)＝A32=6 ，所以

P(AB)?n(AB)63??. n(?)2010(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概

3P(AB)101P(B|A)???.

3P(A)25解法2 因为 n (AB）=6 , n (A）=12 ，所以

P(B|A)?P(AB)61??. P(A)122

11.4

互斥事件有一个发生的概率与条件概率强化训练

【基础精练】

1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )

A．60% B．30% C．10% D．50%

2．盒子中有一角、五角、一元硬币各2枚，有放回地摸出2枚硬币(每次摸出1枚)，则两枚硬币的面值相同的概率是( )

11A. B. 3911C. D. 612

3．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在车厢内相遇的概率为( )

297A. B. 20025297C. D. 14418

4．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

5．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为( )

1935A. B. 54543841C. D. 5460

6．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )

11A. B. 10534C. D. 55

7．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________． 8、某厂生产的灯泡能用3000小时的概率为0.8，能用4500小时的概率为0.2，则已用3000小时的灯泡能用到4500小时的概率为 。

9．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概31

率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

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10．一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球，从中任取4个不同的球，试求红球的个数不比白球少的概率．

11．袋子里装有30个小球，其中彩球中有n(n≥2)个红球、5个蓝球、10个黄球，

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其余为白球．若从袋子里取出3个都是相同颜色彩球的概率是，求红球的个数，并求

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从袋子中任取3个小球至少有1个是红球的概率．

【拓展提高】

1.将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为a、b.

?x≥0

(1)求点P(a，b)落在区域?y≥0

?x＋y－5≤0

内的概率；

(2)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率．

2.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率。

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。

【基础精练参考答案】

3. B【解析】 方法一：设A＝{至少有2人在车厢内相遇}，A1＝{恰有2人在车厢

内相遇}，A2＝{3人在同一车厢内相遇}，

则A＝A1＋A2且A1、A2彼此互斥，

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