泛函分析习题答案2003

泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

2-1

y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

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4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?(x,y)??(y,x)显然成立。

(2)?(x,y)??x(t)?y(t)dtab???x(t)?z(t)dt?z(t)?y(t)?dtba

??x(t)?z(t)dt??z(t)?y(t)dtaabb??(x,z)??(z,y)

5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明

n?n???xi??n?xii?1?i?1?222

2nnn?n?22证：??xi???xi??1?n?xii?1i?1i?1?i?1?

8.试证明下列各式都在度量空间?R1,?1?和?R1,R2?的Descartes积

R?R1?R2上定义了度量

~~?(?2??2)1/2;(3)?~?max??,?? (1)???1??2;(2)?1212证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设x?(x1,x2)，y?(y1,y2)?R1?R2，则

2-2

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?(x,y)?[?(x1,y1)??(x2,y2)]?2122121222222?????(x,z)??(z,y)??(x,z)??(z2,y2)?1111112222?????2?????(x1,z1)??(z1,y1)??????(x2,z2)??(z2,y2)???(x,z)???(z,y)??212112222212

111?n?nn222??????2??i??i?????i2?????i2???????i?1??i?1????i?1?????(x,y)?max{?1(x1,y1),?2(x2,y2)} （3）??max{?1(x1,z1)??1(z1,y1),?2(x2,z2)??2(x2,z2)}?max[?1(x1,z1)??1(z1,y1)]?max[?2(x2,z2)??2(x2,z2)]

???(x,z)???(z,y)??

9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么？

C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为

2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑C[0,2?]并确定使得y?B(x,r)的最小r，其中

x?sint,y?cost。

?(x,y)?supsint?cost?supt?[0,2?]t?[0,2?]2sin(t?)?2 4?2-3

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11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。 设A是离散度量空间X的任一子集。

1?a?A，开球B(a,)?{a}?A，故A事开集。

2同样道理，知AC是开的，故A?(AC)C又是闭集。

12．设x0是M?R的聚点，试证明x0的任何邻域都含有M的无限多个点。 证：略。

13．（1）若度量空间R中的序列{xn}是收敛的，并且有极限x，试证明{xn}的每个子序列{xn}都是收敛的，并且有同一极限。

k （2）若{xn}是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列{xn}，

kxnk?x，试证明{xn}也是收敛的，并且有同一极限。

（1） 略

（2） ??，?N，当m,nk?N时，有

?(xm,xn)?kl?2，?(xn,x)?kl?2（{xn}是Cauchy序列且xn)??(xnkl,x)?klk?x）

因此，当m?N时，?(xm,x)??(xm,xn

?2??2??

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18.试证明：Cauchy序列是有界的. 证明：若?xn?是Cauchy序列，则存在有??xn,xn0,使得对于一切n?n0,

??1,因此，对于一切n，有

0000 ??xn,xn??max?1,??x1,xn?,...,??xn?1,xn??

19.若?xn?和?yn?都是度量空间x中的Cauchy列，试证明： ?n???xn,yn?是收敛的。

证：根据三角不等式，有

?n???xn,yn????xn,xm????xm,ym????ym,yn????xn,xm???m???ym,yn?

故，?n??m???xn,xm????ym,yn? 同样有：?m??n???xn,xm????ym,yn? 即：?n??m???xn,xm????ym,yn??0

而R是完备的，则??n?是收敛的。

34.若X是紧度量空间，并且M?X是闭的，试证明M也是紧的。

证明：因为X是紧的，故M中任一序列?xn?有一个在Xn中收敛的子序列?xnk?。不妨设?xnk??x?X，则有x?M。又因M是闭的，所以x?M，因此M是紧的。

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第三章 线性空间和赋范线性空间

10.试证明下列都是Rn上的范数 （1）

x1??xii?112n； (2)

?n?x2???xi??i?1???212 ; (3)

x??maxxii;

?nx???xi?i?1?????2是范数吗？

（1）、（2）和（3）的证明略

?nx???xi?i?1?12????2不是范数，不满足三角不等式。

以为例，令x??1,0?,y??0,1?则x?y?1,x?y?4

13.试证明（1）C、C0和l0都是l?的线性空间，其中C是收敛数列集；C0是收敛数列0的数列集；l0是只有有限个元素的数列集。 （2）C0还是l?的闭子空间，从而是完备的。 （3）l0不是l?的闭子空间。 证明：

（2）设x??x1,x2,...??C0，xn??x1?n?,x2?n?,...?,使得

xn?x?n???.则有任意的??0，?N使得对于一切j，

当,时有,又因为，所以当时

从而有

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于是

14.试证在赋范线性空间中，级数级数

的收敛性。

的收敛性，并不蕴含

，故

令， 则，且

于是，但

15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。

证：设{Xn}是X中任一Cauchy列，则?k?N，?nk，s.t.当m，n?nk时，Sn-Sm?2?k。

而且对一切的k，可选取nk?1>nk，从而{Snk}是{Sn}的一个子列，并且令X1=Sn1，Xk=Sn-Snk，则{Snk}是级数?Xk的部分和序列，从而

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收敛

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?Xk??Sk?Sk?1?X1?X1??2?(k?1)?X1?1

k?2k?2??于是?Xk绝对收敛，故?Xk收敛。

不妨设Snk?S?X，由于{Xn}是Cauchy列，故

Sn?S?Sn?Snk?Snk?S?0

又由于{Sn}是任意的，故证明X是完备的。

17.设（X，?1）和（X，?2）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X1*X2在定义范数X=max{X11，X22}后也成为赋范线性空间。

证：（1）X=0?X11=X22=0?X=（0,0）=?

（2）?X=max{?X11，?X22}=?max{X11，X22}=?（3）设X=（X1，X2），y=（y1，y2），则

x2?y22} x?y?max{x1?y11，

X

?max{x11?y11,x22?y22}?max{x11,x22}?max{y11,y22}?x?y

20.（1）若?和?0是X上任意两个等价范数，试证明（X，?）和（X，?0）中的Cauthy序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价

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证：设{Xn}是（X，?）中的任一Cauthy序列，即 ???0，?N?N，当n，m>N时，xn-xm??

由于?和?0是X上任意两个等价范数，所以存在正数a，b 使a???0?b? （*）

于是当n?m>N时，有

xn?xm0?bxn?xm?b?

即xn是（X，?0）中的Cauthy序列。

反之，若{xn}是（X，?0）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证{xn}

是（X，?）中的Cauthy序列。

（2）Rn是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。

20 (2)的直接证明：

证明在中，范数?1、?2和??等价，其中

x1??xii?1n；x2?(?xi?12n122i)；x??maxxi

i证 1?xi??maxixi，

2 ?x??x2?nx?，

故?2和??等价。

2? 由Cauchy-Schwart不等式，得， ?xii?1n?(?xi)(?1)?n(?xi)i?1i?1i?1n212n12n212

故有 x1?

nx2

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再有 x2?(?xi?1n122i)?[(?xi)]?x1

i?1n122我们得 1x1?x2?x1 n故?1与?2等价

29. 若T：D?T??Y是可逆的线性算子，x1,...,xn是线性无关的，试正明Tx1,...,Txn也是线性无关的.

证：若存在λ1，...，λn∈Ф且不全为零，使得 ?1Tx1?...??nTxn?0,

则由于T?1存在且为线性的，故

T?1??1Tx1?...??nTxn???1x1?...??nTxn?0,

与x1,...,xn线性无关矛盾。

32.若T??是有界性算子，试证明对满足x有Tx?T?1的任意x?D?T?，都

.

?Tx思路：由Tx

33.设Τ：

即证结论。

∞

→

∞

使得Tx???x1,?x2?,...?，试证明T?B?l?,l??. 2?证：设x??x1,x2,...,xn,...?，y??y1,y2,...,yn,...?，则

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T??1x??2y??T??1x1??2y1,?1x2??2y2,...,?1xn??2yn,...?xyxy?????1x1??2y1,?12??22,...,?1n??2n,...?22nn??

y?x?????1?x1,2,...???2?y1,2,...?2?2???=?1??1??2??2 从而T是线性算子.

???supn?nn?sup?n??n,

所以????l?,l??,且??1. 进一步可以证明??1.

37.设T:C1?0,1??C1?0,1?,使得Tx?t???x???d?,t??0,1?.

0t （1）试求R?T?和T?1:R?T??C1?0,1?; （2）试问T?1?B?R?T?,C1?0,1??吗？

（1）R?T?是满足y?0??0且在?0,1?上连续可微分的函数构成的

C1?0,1?的子空间，且T?1y?y'?t?,t??0,1?。

（2）T?1是线性的，但是无界的。 事实上，?tn?'?ntn?1，蕴含着T?11?n

38.在C[0,1]上分别定义Sx(t)?t?0x(s)ds和Tx(t)?tx(t) (1)试问S和T是可交换的吗? (2)试求Sx，Tx，STx和TSx 修改S，T，ST，TS

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(1)ST(x)?S(tx(t))?t?0sx(s)ds, TS(x)?T(t?0x(s)ds)?t121?10x(s)ds,

故ST?TS，S和T不是可交换的。 (2)Sx??0xds?x, 所以S?1 令x?1，t?[0,1] 则1?sx?sx?s 于是S?1 类似可求：T 39.在

X?B?R??1，ST?1，TS?1。 21上定义范数x?supxt()，并设T：

t?RX?X使得

??0试证明T?B(X,X)。 Tx(t)?x(?t?，其中)证：

?x,y?X，则

T（?1x??2y）=?1x(t-?)+?2y(t-?)=?1Tx??2Ty, 即 T是线性算子 Tx=supt?Rx(t??)=supt?Rx(t)=x，

?T?1

40、证明下列在C?a,b?上定义的泛函是有界线性泛函： （1）

f1(x)??x(t)y(t)dt，y0?C?a,b?固定；

aob（2）f2(x)??x(a)??x(b),?,??R固定 证： （1）线性性略

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令B=maxy0(t)=

t??a,b?y，

0则有 故有

f1(x)??Bxdx=B（b-a）xab，

f1?B（b-a）

（2）略

41、设C1??1,1?上的线性泛函f定义为

f(x)??x(t)dt??x(t)dt，试求f?1001

解：?x?C1??1,1?, f?x??所以

x??1n0?1dt??dt?2x01?，

f?2，

?1，

1n取x?t??t，n为正奇数，t???1,1?则x f?x?由于sup?01n11n112ntdt?tdt?2tdt?2???f??1?0?01n?11?n

2n?2,故f?2. n?1f?2。

综上所述，44.

（1）在C1??1,1?上定义x?maxx?t??maxx'?t?， t?a,bt?a,b???? 试证明?是C1??1,1?中的范数。 （2）试证明f?x??x'?c???c??a?b?1 ?在C?a,b?上定义了有界线性泛函。2?（3）试证明视C1?a,b?为C1?a,b?的子空间时，上面定义的f不再是

有界的。

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证：（1）仅证三角不等式

''∣x+y∣=max∣x(t)+y(t)∣+max∣x(t)+y(t)∣'' ?max∣x(t)∣+max∣y(t)∣+max∣x(t)∣+max∣y(t)∣

?∣x∣+∣y∣（2）仅证有界性

'∣f(x)∣=x'(c)?max∣x(t)∣+max∣x(t)∣=∣x∣,∣f∣?1

(3)当c1[a,b]视为c?a,b?的子空间时，（2）中的f不再是有界的，此时?x?c1?a,b?,x?supx(t).对每个n?N，都存在xn?c1?a,b?，使得

'xn(c)?1且maxxn(t)?1 n于是，便有

sup

f(x)x'xn(c)f(xn)???n xmaxxn(t)t3-9

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