2015年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）

2015年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题，共12小题吗，每小题5分，共60分 1．（5分）（2015?郑州三模）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={2，3}，则A∩（?uB）等于（ ） A．{1，4，5} B．{1，4}

C．{4} D．{1，2，3，4}

（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）

D．（2，4）

2．（5分）（2015?郑州三模）复数Z=A．（1，3） B．（﹣1，3）

C．（3，﹣1）

3．（5分）（2015?郑州三模）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A．

B．

C．

或

D．或7

4．（5分）（2015?郑州三模）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，210），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（5分）（2015?重庆模拟）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）

A．7

B．9 C．11

D．13

6．（5分）（2008?四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）

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7．（5分）（2015?郑州三模）某几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的侧视图可以是（ ）

A． B． C． D．

8．（5分）（2005?湖北）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样

9．（5分）（2015?黄冈模拟）若函数f（x）=2sin（

）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴

+

）?

=（ ）

交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（A．﹣32 B．﹣16 C．16

D．32

2

10．（5分）（2015?郑州三模）已知f（x）=x+sin则f′（x）的图象是（ ）

，f′（x）为f（x）的导函数，

A．

B． C． D．

11．（5分）（2015?郑州三模）定义在（0，恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（ ） A．

f（D．

）＞f（

f（

）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且

） B．f（1）＜2f（）

）sin1 C．f（）＞f（）

）＜f（

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12．（5分）（2015?郑州三模）已知双曲线﹣

=1，a，b∈R，F1，F2分别为双曲线的左

右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点满足|OP|=3a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题，共4个小题，每小题5分，共20分

13．（5分）（2015?郑州三模）已知（1+ax）（1+x）的展开式中x的系数为5，则a= ． 14．（5分）（2015?郑州三模）A，B，C，D四人猜想自己所买彩票的中奖情况． A说：“如果我中奖了，那么B也中奖了” B说：“如果我中奖了，那么C也中奖了” C说：“如果我中奖了，那么D也中奖了”

结果三人都没有说错，但是只有两人中奖了，这两人是 ．

15．（5分）（2015?郑州三模）若实数x、y，满足是 ．

16．（5分）（2015?郑州三模）已知函数f（x）=2015﹣log2015（

x

2

2

，则z=的取值范围

﹣x）﹣2015+2，

﹣x

则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为 ．

三、简单题共题，共70分[必考题] 17．（12分）（2015?郑州三模）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA．

（Ⅰ）确定角C的大小； （Ⅱ）若c=

，且△ABC的面积为

，求a+b的值．

18．（12分）（2015?郑州三模）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路间畅通或拥堵的概念．记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通； T∈[4，6）轻度拥堵； T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从郑州市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图 所示：

（Ⅰ）据此频率分布直方图估算交通指数T∈[3，9]时的中位数和平均数； （Ⅱ）据此频率分布直方图求出该市早高峰三环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？

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（Ⅲ）某人上班路上所用时间若畅通时为25分钟，基本畅通为35分钟，轻度拥堵为40分钟；中度拥堵为50分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

19．（12分）（2015?宝鸡三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点． （Ⅰ）求证：AC⊥DE；

（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为成角的正弦值．

，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所

20．（12分）（2015?郑州三模）已知椭圆

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的

一个端点，且|OA|=|OF|=（其中O为坐标原点）连结CM交椭圆于点P． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，交椭圆于点P，试问：x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线OP、MQ的交点；若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

21．（12分）（2015?郑州三模）（Ⅰ）求证：不等式lnx≤k（Ⅱ）设数列{an}的通项公式为an=

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对k≥1恒成立．

，前n项和为Sn，求证：Sn≥ln（2a+1）

[选考题][选修4-1]几何证明选讲 22．（2014?河北）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

[选修4-4]坐标系与参数方程 23．（2015?郑州三模）已知曲线C1=

，曲线C2：ρ=sinθ．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线l：x+y﹣8=0，求曲线C1上的点到直线l的最短距离．

[选修4-5]不等式选讲 24．（10分）（2012?河北）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| （1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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2015年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题，共12小题吗，每小题5分，共60分 1．（5分）（2015?郑州三模）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={2，3}，则A∩（?uB）等于（ ） A．{1，4，5} B．{1，4} C．{4} D．{1，2，3，4} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．

【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={2，3}， ∴?UB={1，4，5}，

则A∩（?UB）={1，4}， 故选：B．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015?郑州三模）复数Z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（2，4） 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点

的坐标是（3，1）．

故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．

3．（5分）（2015?郑州三模）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A．

B．

C．

或

D．或7

【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±

的离心率．

【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列， ∴m=±=±6，

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=±6，由此能求出圆锥曲线

当m=6时，圆锥曲线a=

，c=

，其离心率e=

为

； 为﹣=

．

，

当m=﹣6时，圆锥曲线a=1，c=

，其离心率e=

，

故选C．

【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用． 4．（5分）（2015?郑州三模）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，210），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】计算题；概率与统计．

2

【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（105，10）．得到考试的成绩ξ关于ξ=105对称，

根据P（95≤ξ≤105）=0.32，得到P（ξ≥115）=（1﹣0.64）=0.18，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．

2

【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，10）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P（95≤ξ≤105）=0.32，

∴P（ξ≥115）=（1﹣0.64）=0.18，

∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B．

【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 5．（5分）（2015?重庆模拟）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）

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A．7 B．9 C．11 【考点】程序框图．

【专题】图表型；算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=﹣lg11时，满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=0，k=1

不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg3，k=3 不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg5，k=5 不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg7，k=7 不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg9，k=9 不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg11，k=11

满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11． 故选：C．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

D．13

6．（5分）（2008?四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 【考点】等比数列的前n项和．

【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=1

∴

∴当公比q＞0时，当公比q＜0时，

∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

；

．

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故选D．

【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用． 7．（5分）（2015?郑州三模）某几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的侧视图可以是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】简单空间图形的三视图．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】不妨令该几何体是一个柱体，由主视图与左视图都是边长为1的正方形，可得底面积为，进而得到答案．

【解答】解：∵某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形， 故几何体的高为1，

若该几何为柱体，由体积为，可得底面积为，

此时该几何体的侧视图可以是腰为1的等腰直角三角形， 故选：C．

【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，难度不大，属于基础题． 8．（5分）（2005?湖北）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 【考点】分层抽样方法；系统抽样方法． 【专题】压轴题．

【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样． 【解答】解：观察所给的四组数据， ①，③可能是系统抽样或分层抽样， ②是简单随机抽样，

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④一定不是系统抽样和分层抽样， 故选D．

【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．

9．（5分）（2015?黄冈模拟）若函数f（x）=2sin（

）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴

+

）?

=（ ）

交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32

【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．

【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

【分析】由f（x）=2sin（

）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，

y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数

量积的坐标表示即可求解 【解答】解：由f（x）=2sin（

）=0可得

∴x=6k﹣2，k∈Z ∵﹣2＜x＜10

∴x=4即A（4，0） 设B（x1，y1），C（x2，y2）

∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点 ∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0 则（

+

）?

=（x1+x2，y1+y2）?（4，0）=4（x1+x2）=32

故选D

【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．

10．（5分）（2015?郑州三模）已知f（x）=x+sin则f′（x）的图象是（ ）

2

，f′（x）为f（x）的导函数，

A． B． C．

D．

【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】先化简f（x）=x+sin

2

=x+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，

，

）上单

2

排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣调递减，从而排除C，即可得出正确答案．

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（Ⅱ）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，利用独立重复试验的概率求解3条路段中DP至少有两条路段严重拥堵的概率．

（Ⅲ）列出所用时间x的分布列，然后求解期望即可．

【解答】解：（Ⅰ）由直方图知：T∈[3，9]时交通指数的中位数为5+1×

=

…（2分）

T∈[3，9]时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92…（4分）

（Ⅱ）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1…（5分） 则3条路段中DP至少有两条路段严重拥堵的概率为：

…（7分）

∴3条路段中至少有两条路段严重拥堵的MQ概率为

…（8分）

（Ⅲ）由题意，所用时间x的分布列如下表： x 35 40 50 60 P 0.1 0.44 0.36 0.1 则Ex=35×0.1+40×0.44+50×0.36+60×0.1=45.1…（11分）

∴此人经过该路段所用时间的数学期望是45.1分钟…（12分） 【点评】本题考查离散型独立重复试验的概率的求法，频率分布直方图的应用，期望的求法，考查计算能力． 19．（12分）（2015?宝鸡三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点． （Ⅰ）求证：AC⊥DE；

（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为成角的正弦值．

，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所

【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】综合题． 【分析】（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；

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（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为

，平面PAB的法向量为

，根据二面角A﹣PB﹣D的余弦值为

，可求t的值，从而可得

P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角． 【解答】（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD ∴PD⊥AC

又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D ∴AC⊥平面PBD，∵DE?平面PBD ∴AC⊥DE…（6分）

（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则

由（I）知：平面PBD的法向量为

，

令平面PAB的法向量为，则根据得

∴

因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，则，即，

∴…（9分）

∴

设EC与平面PAB所成的角为θ， ∵，

∴

…（12分）

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【点评】本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．

20．（12分）（2015?郑州三模）已知椭圆

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的

一个端点，且|OA|=|OF|=（其中O为坐标原点）连结CM交椭圆于点P． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，交椭圆于点P，试问：x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线OP、MQ的交点；若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过|OA|=|OF|=可得b、c的值，进而可得结论； （Ⅱ）通过（1）知C（﹣2，0），D（2，0），设直线CM方程并与椭圆联立，利用韦达定

理可得点P坐标，利用=0，计算即得结论．

，∴

，

【解答】解：（Ⅰ）∵|OA|=|OF|=222

∴a=b+c=4， ∴椭圆方程为：

；

（Ⅱ）结论：存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点． 理由如下：

由（1）知：C（﹣2，0），D（2，0）． 由题意可设CM：y=k（x+2），P（x1，y1）． ∵MD⊥CD，∴M（2，4k），

2

2

2

2

联立

2

2

，消去y，整理得：（1+2k）x+8kx+8k﹣4=0，

2

2

∴△=（8k）﹣4（1+2k）（8k﹣4）＞0，

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∴∴

，

，

∴，

设Q（x0，0），且x0≠﹣2，

若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点， 则MQ⊥DP，∴

=0恒成立，

∵，，

∴，

即

恒成立，∴x0=0．

∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点．

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．

21．（12分）（2015?郑州三模）（Ⅰ）求证：不等式lnx≤k（Ⅱ）设数列{an}的通项公式为an=

对k≥1恒成立．

，前n项和为Sn，求证：Sn≥ln（2a+1）

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；数列的求和． 【专题】综合题；导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）构造函数，换元，确定（fx）在[1，+∞）上单调递减，即可证明：不等式lnx≤k对k≥1恒成立． （Ⅱ）k=1由（Ⅰ）知，

对x≥1恒成立，放缩，裂项即可证明结论．

【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）=lnx﹣k，则f′（x）=…（1分）

令则

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当k≥1时，2t﹣k（t+1）≤2t﹣2kt=2t（1﹣k）≤0

即f'（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上单调递减，?f（x）≤f（1）=0，即原不等式恒成立…（6分）

（Ⅱ）k=1由（Ⅰ）知，于是

对x≥1恒成立．

…（10分）

2

所以Sn=a1+a2+…+an≥ln3﹣ln1+ln5﹣ln3+…+ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1）=ln（2n+1）…（12分） 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．

[选考题][选修4-1]几何证明选讲 22．（2014?河北）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】选作题；立体几何． 【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E，

由（Ⅰ）知，∠D=∠E，

第20页（共57页）

∴△ADE为等边三角形．

【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

[选修4-4]坐标系与参数方程 23．（2015?郑州三模）已知曲线C1=

，曲线C2：ρ=sinθ．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线l：x+y﹣8=0，求曲线C1上的点到直线l的最短距离． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【专题】坐标系和参数方程．

【分析】（I）利用cosθ+sinθ=1可把曲线C1=

2

22

化为普通方程；曲线C2：ρ=sinθ

化为ρ=ρsinθ，利用即可化为直角坐标方程．

，利用点到直线的距离公

（Ⅱ）设曲线C1上任意一点P的坐标为式与三角函数的单调性有界性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ） 曲线

，

曲线

（Ⅱ）设曲线C1上任意一点P的坐标为则点P到直线l的距离为

．

，

其中，当sin（θ+φ）=1时等号成立．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式与三角函数的单调性有界性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

第21页（共57页）

[选修4-5]不等式选讲 24．（10分）（2012?河北）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| （1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】（1）不等式等价于，或，或，

求出每个不等式组的解集， 再取并集即得所求．

（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①

，或

②，

或③．

解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．

（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立， 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立． 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0， 故a的取值范围为[﹣3，0]．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想， 属于中档题．

第22页（共57页）

参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；孙佑中；zlzhan；刘长柏；w3239003；wzj123；涨停；吕静；minqi5；sxs123；maths；wkl197822；qiss；cst；caoqz（排名不分先后） 菁优网

2015年11月20日

第23页（共57页）

考点卡片

1．带绝对值的函数 1．

2．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】

集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A． 集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）． 集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律 Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB． 集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A． 集合求补律 A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．

3．函数单调性的性质 【知识点的认识】

所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性．它是求函数值域或者比较大小的常用工具． 【解题方法点拨】

定义法、导数法、性质法

①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）．那么就说f（x）在 这个区间上是增函数． ②导数法：（当函数在所考察区间内可微（可导）时，才能利用导数研究它的单调性）若f'（x）＞0则f（x）单调上升，则函数严格单调递增（如果存在有限个孤立的点的导函数为0仍为递增函数）．

③性质法：n个单调递增（递减）的函数的和仍为递增（递减）函数 【命题方向】函数单调性的应用．

作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数列问题也可以转化为函数来求解．

4．函数的图象 【知识点的认识】

1．利用描点法作函数图象

第24页（共57页）

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换：

y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）?y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）?y=f（x）+b． （2）伸缩变换：

y=f（x） y=f（ωx）；

y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）?y=Af（x）．

（3）对称变换：

y=f（x）关于x轴对称?y=﹣f（x）； y=f（x）关于y轴对称?y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称?y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换：

y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边?y=f（|x|）； y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性．

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复．

第25页（共57页）

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．

4、方法归纳：

（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．

（3）3种方法﹣﹣识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

5．函数恒成立问题 【知识点的认识】

恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）=ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单

【解题方法点拨】

一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．

2

例：f（x）=x+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围． 解：又题意可知：a≤ 即a≤x++2 ?a≤2

恒成立

+2

第26页（共57页）

【命题方向】

恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．

6．导数的运算 【知识点的知识】 1、基本函数的导函数 ①C′=0（C为常数） ②（x）′=nx （n∈R） ③（sinx）′=cosx ④（cosx）′=﹣sinx ⑤（e）′=e

⑥（a）′=（a）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′=． 2、和差积商的导数

①[f（x）+g（x）]′=f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′=f′（x）﹣g′（x）

③[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x） ④[

]′=

．

x

x

x

x

n

n﹣1

3、复合函数的导数 设 y=u（t），t=v（x），则 y′（x）=u′（t）v′（x）=u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】

题型一：和差积商的导数

3

典例1：已知函数f（x）=asinx+bx+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=（ ） A．0 B．2014 C．2015 D．8 解：f′（x）=acosx+3bx，

2

∴f′（﹣x）=acos（﹣x）+3b（﹣x） ∴f′（x）为偶函数；

f′（2015）﹣f′（﹣2015）=0 ∴f（2014）+f（﹣2014）

=asin（2014）+b?2014+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）+4=8； ∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）=8 故选D．

题型二：复合函数的导数

典例2：下列式子不正确的是（ ） A．（3x+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2）′=

2

x

3

3

2

ln2

第27页（共57页）

C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=

解：由复合函数的求导法则

2

对于选项A，（3x+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确； 对于选项B，

成立，故B正确；

对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确； 对于选项D，

成立，故D正确．

故选C．

【解题方法点拨】

1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．

2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．

7．函数的单调性与导数的关系 【关系描述】

若函数f（x）在区间（a，b）内可导（前提条件），则有：

①如果恒有f′（x）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内为增函数．这个从导数的定义可以知道，可以理解为函数任意两个点的连线的斜率大于0，是处于增长趋势的，故函数单调递增，且严格单调递增．（f′（x）＜0则反之）

②如果恒有f′（x）=0，则函数f（x）在区间（a，b）内为常数．

③若f′（x）≥0，其中只有有限个点f′（x）=0，则函数f（x）在（a，b）内仍是增函数，如

3y=x；（叫做不严格单调递增） 【实例解析】

函数的求导是高考的必考题，还常常出压轴题，这里面我们通过简单的实例来了解一下函数单调与导数的关系．

例：设函数f（x）=xe+ax+bx，已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点． （1）求a和b的值；

（2）讨论f（x）的单调性．

解：显然f（x）的定义域为R． （1）f'（x）=2xe

x﹣1

2x﹣1

3

2

+xe

2x﹣1

+3ax+2bx=xe

2x﹣1

（x+2）+x（3ax+2b），（2分）

（4分）

由x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，得

即（5分）

第28页（共57页）

解得（7分）

x﹣1

（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（e﹣1）．（8分） 令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：（13分） x 0 1 （﹣∞，﹣2 （﹣2，0） （0，1） （1，+∞） ﹣2） 0 + 0 0 + f'（x） ﹣ ﹣ ↘ f（x） 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从上表可知：函数f（x）在（﹣2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（﹣∞，﹣2）和（0，1）上是单调递减的．

这个题就是对概念的应用，根据极值点对于的导函数的值为0，求出a，b；第二位完全就是对导函数的讨论，讨论在什么区间导函数大于0，那么这个时候就是单调递增，在什么区间小于0，那么在这个区间函数单调递减． 【必考点】

这个知识点的重要性大家都清楚，不管考题如何，先要确保拿下基本的分数，比方说求极值点（横坐标）、极值（纵坐标），求函数的单调性、函数的最值．它的原则就是通过导函数和0的比较确定单调区间，这里强调的一点是导函数往往也是函数，必要的时候还需要对导函数进行求导．

8．导数在最大值、最小值问题中的应用 【知识点的知识】

一、利用导数求函数的极值 1、极大值

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值=f（x0），是极大值点． 2、极小值

一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），是极小值点． 3、极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．

（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f（x4）＞f（x1）．

第29页（共57页）

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别f（x0）式极大值、极小值的方法：

若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

5、求可导函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值．

二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；

（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

2、用导数求函数的最值步骤：

第30页（共57页）

由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．

9．简单线性规划 【概念】

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值． 【例题解析】

例：若目标函数z=x+y中变量x，y满足约束条件

．

（1）试确定可行域的面积；

（2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC， 其中B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积S=

=

．

第31页（共57页）

（2）由z=x+y，得y=﹣x+z，则平移直线y=﹣x+z，

则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y=﹣x+z得截距最小， 此时z最小为z=2+3=5，

当直线经过点B（4，3）时，直线y=﹣x+z得截距最大， 此时z最大为z=4+3=7，

故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】

线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线．

10．等比数列的前n项和 【知识点的知识】

1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn， 当q=1时，Sn=na1； 当q≠1时，Sn=

=

．

2．等比数列前n项和的性质

公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数

n

列，其公比为q．

11．数列的求和 【知识点的知识】

就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法：

第32页（共57页）

①等差数列前n项和公式：Sn=na1+n（n﹣1）d或Sn=②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：

适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{（

）．

}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即

=

（4）倒序相加法：

推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）． （5）分组求和法：

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】

典例1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn；

第33页（共57页）

（Ⅱ）令bn=（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．

*

分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

．

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴

，解得a1=3，d=2，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn=

=n+2n．

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， ∴bn=

=

=

=

，

∴Tn=

即数列{bn}的前n项和Tn=

．

==，

点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】

数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．

12．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】

平面向量数量积运算的一般定理为①（±）==

2

2

2

±2?+

2

．②（﹣）（+）

﹣

2

．③?（?）≠（?）?，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些

是相同的，有些不一样．

【例题解析】

例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“

”

第34页（共57页）

②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（③“t≠0，mt=nt?m=n”类比得到“④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“|

）?=

?

”； ”；

|=||?||”；

）?=

”；

⑤“（m?n）t=m（n?t）”类比得到“（

⑥“”类比得到． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．

解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“即①正确；

∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（即②正确；

∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt?m=n”不能类比得到“即③错误； ∵|

|≠||?||，

|=||?||”；

?

”，

）?=

”，

”，

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“|即④错误；

∵向量的数量积不满足结合律，

∴“（m?n）t=m（n?t）”不能类比得到“（即⑤错误；

∵向量的数量积不满足消元律， ∴

”不能类比得到

，

）?=”，

即⑥错误．

故答案为：①②．

向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（

）?=

”；向量的数量积满足分”；向量的数量积不满足消

第35页（共57页）

元律，故“t≠0，mt=nt?m=n”不能类比得到““|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“|（n?t）”不能类比得到“（

?”；||≠||?||，故

|=||?||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m?n）t=m）?=

”；向量的数量积不满足消元律，故

”

不能类比得到．

【考点分析】

本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．

13．复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量

．

2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z﹣0|=a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；

（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 3、复数中的解题策略：

（1）证明复数是实数的策略： ①z=a+bi∈R?b=0（a，b∈R）；②z∈R?z=z． （2）证明复数是纯虚数的策略：

①z=a+bi为纯虚数?a=0，b≠0（a，b∈R）；

②b≠0时，z﹣z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数?z+z=0且z≠0．

14．分层抽样方法 【知识点的认识】

1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”． 2．三种抽样方法比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随抽样过程中每个个从总体中逐个抽取 总体中的个体机抽样 体被抽取的概率是数较少 系统抽相同的 将总体均匀分成几个部分，按在起始部分抽样时总体中的个体样 事先确定的规则在各部分抽采用简单随机抽样 数较多 取 分层抽将总体分成几层，分层进行抽各层抽样时采用简总体由差异明第36页（共57页）

样 取 单随机抽样或系统显的几部分组抽样 成 【解题方法点拨】

分层抽样方法操作步骤：

（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；

（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比； （3）确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本． 【命题方向】

（1）区分分层抽样方法

例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ） A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法

分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样

解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400=5：4，所抽取的比例也是5：4． 故选D

点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题． （2）求抽取样本数

例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ） A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4

分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数． 解答：每个个体被抽到的概率等于

=，54×=9，42×=7．

故从一班抽出9人，从二班抽出7人， 故选C． 点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．

例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ） A.35 B.25 C.15 D.7

分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可． 解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3， 所以样本容量为

=15．

故选C．

点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．

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15．系统抽样方法 【知识点的认识】

1．定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样． 2．系统抽样的特征：

（1）当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样；

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为k=

（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样； （4）每个个体被抽到的可能性相等 3．系统抽样与简单随机抽样的关系：

（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的． 4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：

（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本； （2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；

（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．

【解题方法点拨】 系统抽样的一般步骤：

（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；

（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N为总体个数，n为样本容量）： ①当②当k=

时，k=，

时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n整除，这时

（注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段）

（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（l∈N，l≤k）； （4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k． 【命题方向】

1．考查系统抽样的定义

例：某小礼堂有25排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留下了座位号是15的25名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

分析：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．

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解答：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样， 故选C．

点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题． 2．考查系统抽样的应用

例：将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是 分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论． 解答：∵样本容量为20，首个号码为003， ∴样本组距为100÷20=5

∴对应的号码数为3+5（x﹣1）=5x﹣2， 由48≤5x﹣2≤81， 得10≤x≤16.6，

即x=10，11，12，13，14，15，16，共7个， 故答案为：7． 点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础．

16．频率分布直方图 【知识点的认识】

1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．

2．频率分布直方图的特征

①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1． ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．

③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．

3．频率分布直方图求数据

①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．

②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．

③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标． 【解题方法点拨】

绘制频率分布直方图的步骤：

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17．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】

1、离散型随机变量的期望

数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

… … xn x1 x2 … … P pn p1 p2 则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．

数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有p1=p2=…=pn=，Eξ=（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则E（aξ+b）=aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；

方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，

称

为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ

是随机变量ξ的期望．

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