中国石油大学2013-2014(1)线性代数(A)答案及评分标准

A卷

2013—2014学年第一学期 《线性代数》期末试卷

专业班级 姓 名 学 号 开课系室 理学院基础数学系 考试日期 2013年11月24日 页 号 本页满分 本页得分 阅卷人 注意事项： 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共4页。

一 15 二 15 三 32 四 24 五 14 总分

一．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）

1．已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a， 则D?（ ）

A. 0 B. a2 C. ?a2 D. na2 2．知三阶方阵A,B满足A?B?2，则2AB?（ ） A．22 B．23 C．24 D. 25

3．知A和B均为5阶方阵，且R(A)?4，R(B)?5 则R(AB)?（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 设A是n阶方阵，A?2，A*是A的伴随矩阵，则行列式A*?( )

A． 2, B． 2n, C．2n?1, D．前面选项都不对. 5. 若向量组?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，则 ( )

A．?必可由?,?,?线性表示 B. ?必不可由?,?,?线性表示 C. ?必可由?,?,?线性表示 D. ?必不可由?,?,?线性表示

二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）

?0?13??，则R(A)= . 2?411．矩阵A??????457??2．设3阶矩阵A的特征值为1， 2， 3，则A2?E的特征值为 . 3．若四阶方阵A的秩等于2，则R(A*)? ．

224. 二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?2x1x2?4x2x3的矩阵为 . ?1??1??1??0?5. 从R2的基?1???,?2???到基?1???,?2???的过渡矩阵为 .

?0??1???1??1?

1

三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）

1031002041. 计算行列式D = 199200395.

301300600

?121???2.设矩阵A??1?10?, 求矩阵A的逆矩阵.

??210???

?1??1??1??3?????????3.验证?1??1?,?2??0?,?3??0?是R3的基，并求???4?在这组基下的坐标.

?1??-1??1??3?????????

4.求解方程组

?x1?x2?3x3?x4?1,??3x1?x2?3x3?4x4?4, ?x?5x?9x?8x?0.234?1

2

四.证明下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分)

1.设矩阵A满足A2?3A?2E?0, 证明A可逆，并求A?1.

2.设?1,?2,?3线性无关，?1??1??2?2?3,?2??2??3,?3?2?1??2?3?3,讨论向量组?1,?2,?3的线性相关性.

3．试证明n阶行列式Dn?xaaxaaaax?[x?(n?1)a](x?a)n?1

3

五、（14分）

22求一个正交变换，将二次型f?x1,x2,x3??x12?2x2?2x3?2x2x3化为标准形.

4

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