传感器计算题详解.

《传感器与传感器技术》计算题

解题指导（供参考）

第1章 传感器的一般特性

1-5 某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差?(以mV计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论? 解：满量程（F?S）为50~10=40(mV)

可能出现的最大误差为：

?m＝40?2%=0.8(mV)

当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：

0.8?1??100%?4%

140?20.8???100%?16%

240?181-6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数?和静态灵敏度K。 （1） 30dy?3y?1.5?10?5T dtdy?4.2y?9.6x dt式中，y为输出电压，V；T为输入温度，℃。 （2） 1.4式中，y——输出电压，?V；x——输入压力，Pa。

解：根据题给传感器微分方程，得 (1) τ=30/3=10(s)，

K=1.5?10?5/3=0.5?10?5(V/℃)；

(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，

K=9.6/4.2=2.29(?V/Pa)。

1-7 设用一个时间常数?=0.1s的一阶传感器检测系统测量输入为x(t)=sin4t+0.2sin40t的信号，试求其输出y(t)的表达式。设静态灵敏度K=1。

解 根据叠加性，输出y(t)为x1(t)=sin4t和x2(t)= 0.2sin40t单独作用时响应y1(t)和y2(t)的叠加，即y(t)= y1(t)+ y2(t)。

由频率响应特性：

1

y1(t)??K1?(?1?)12?sin[4t?arctan(??1?)]?sin[4t?arctan(4?0.1)

1?(4?0.1)2?0.93sin(4t?21.8?)1y2(t)??0.2sin[40t?arctan(40?0.1)]2 1?(40?0.1)?0.049sin(40t?75.96?)所以

y(t)= y1(t)+ y2(t)=0.93sin(4t?21.8?)?0.049sin(40t?75.96?)

1-8 试分析Ady(t)?By(t)?Cx(t)传感器系统的频率响应特性。

dt解 传感器系统的时间常数?=A/B，灵敏度K=C/B。所以，其频率响应为

A(?)?相频特性为

C/B1?(?A/B)2

?(?)??arctan(?A/B)

1-9 已知一热电偶的时间常数?=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度

在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。 解：依题意，炉内温度变化规律可表示为

x(t) =520+20sin(?t)℃

由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 ?=2?f=2?/80=?/40； 温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y(t)为

y(t)=520+Bsin(?t+?)℃

热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为

B11A???????0.7862022 1????????1???40?10????因此，热电偶输出信号波动幅值为

B=20?A(?)=20?0.786=15.7℃

由此可得输出温度的最大值和最小值分别为

y(t)|max=520+B=520+15.7=535.7℃ y(t)|min=520﹣B=520-15.7=504.3℃

输出信号的相位差?为

?(ω)= ?arctan(ω?)= ?arctan(2?/80?10)= ?38.2?

2

相应的时间滞后为

80?38.2?8.4?s? 3601-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即

d2y3dy1010?3.0?10?2.25?10y?11.0?10x

dtdt2式中，y为输出电荷量，pC；x为输入加速度，m/s2。

试求其固有振荡频率?n和阻尼比?。 解: 由题给微分方程可得

?t =

?n??2.25?10?/1?1.5?10?rad/s?

1052?2.25?10?11-11 某压力传感器的校准数据如表1-5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。（最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）

表1-5 校准数据表 输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 第一次循环 正行程 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 反行程 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 第二次循环 正行程 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 反行程 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 第三次循环 正行程 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 反行程 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 ??3.0?10310?0.01

解 校验数据处理（求校验平均值）：

压 力 (MPa) (设为x) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 输 出 值 (mV) 第一次循环 正行程 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 反行程 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 第二次循环 正行程 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 反行程 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 第三次循环 正行程 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 反行程 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 校验平均值 (设为y) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 （1）端点连线法 设直线方程为

y=a0+kx，

取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和(x6，y6)=（0.10，14.45）。则a0由x=0时的y0值确定，即

3

a0=y0?kx=y1=-2.70 (mV)

k由直线的斜率确定，即

y?y114.45?(?2.70)k?6??171.5（mV/MPa）

x6?x10.10?0拟合直线方程为

y=?2.70+171.5x

?求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.70 0.73 4.16 7.59 11.02 14.45 非线性误差 (mV) 0 -0.09 -0.12 -0.12 -0.09 0 -0.12 最大非线性误差 (mV) 所以，压力传感器的非线性误差为

0.12?L???100%??0.7%

14.45?(?2.70) ?求重复性误差：

输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 正行程 1 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 2 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 3 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 不重复误差 0.05 0.08 0.07 0.05 0.06 0.05 1 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 2 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 反行程 3 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 不重复误差 0.03 0.03 0.05 0.04 0.04 0.05 最大不重复误差为0.08 mV，则重复性误差为

0.08?R???100%??0.47%

14.45?(?2.70) ?求迟滞误差：

输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 正行程 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 第一次循环 反行程 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 迟滞 0.02 0.10 0.10 0.09 0.07 0 正行程 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 第二次循环 反行程 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 迟滞 0.03 0.07 0.10 0.10 0.04 0.0 正行程 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 第三次循环 反行程 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 迟滞 0.01 0.05 0.08 0.07 0.05 0.0 最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为

4

?H??（2）最小二乘法 设直线方程为

0.10?100%??0.58%

14.45?(?2.70)y=a0+kx

数据处理如下表所示。

序号 x y x xy 21 0 ?2.70 0 0 2 0.02 0.64 0.0004 0.0128 3 0.04 4.04 0.0016 0.1616 4 0.06 7.47 0.0036 0.4482 5 0.08 10.93 0.0064 0.8744 6 0.10 14.45 0.01 1.445 ∑ 0.3 34.83 0.022 2.942 根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：

a0x??y??x??xy0.022?34.83?0.3?2.942???6?0.022?0.3n?x???x?

2222?0.76626?0.8826??2.77(mV)0.0422k?n?xy??x??yn?x2???x??6?2.942?0.3?34.83?171.5(mV/MPa)

6?0.022?0.32y=?2.77+171.5x

所以，最小二乘法线性回归方程为 求非线性误差：

压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.77 0.66 4.09 7.52 10.95 14.38 非线性误差 (mV) 0.07 -0.02 -0.05 -0.05 -0.02 0.07 -0.07 最大非线性误差 (mV) 所以，压力传感器的非线性误差为

0.07?L???100%??0.41%

14.38?(?2.77)可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。

重复性误差?R和迟滞误差?H是一致的。

1-12 用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在

5

径d=47.5mm，弹性模量E=7.3?1011N/m2）上。为了获得较大的输出信号，应变片应如何粘贴？并计算当支柱承受1000kg负荷时应变片阻值的相应变化。

解 应变片应沿支柱的轴向粘贴。 应变片阻值的相应变化为

?R=K?R= KR?/E= KR(F/S) /E

由于

S=?(D2?d2)/4=?(502?47.52)/4=191(mm2)=1.91?10?4m2

F=1000kg=9800N

所以

?R=2.1?350?[9800/(1.91?10?4)]/7.3?1011=0.52(?)

2-13 一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图2-12所示。已知l=10mm，b0=llmm，h=3mm，E=2.1×104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。当称重0.5kg时，电桥的输出电压Uo为多大?

(a) (b) 习题图2-12 悬臂粱式力传感器

解：等强度梁受力F时的应变为

??6Fl

h2b0E当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：

Uo?则其电压灵敏度为

Ui6Fl K4??KUi24hb0EKu?Uo6lU6?100?6 ?K2i?2?2Fhb0E3?11?2.1?104 =3.463×10-3 (V/N)=3.463(mV/N)

当称重 F=0.5kg=0.5×9.8N=4.9N时，输出电压为

Uo =Ku F=3.463×4.9=16.97(mV)

2-14 现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5％，试问应选用哪一种?为什么?

解： ?=v/f=5000/（10?103）=0.5(m)

11

l0=10mm时

?1＝?l?500?10?sin0?1?sin??180???1??0.066% ?l0???10?500??2?l0=20mm时

500?20?sin??180???1??0.26% ??20?500? 由此可见，应选用基长l0=10mm的应变片.

2-15 有四个性能完全相同的应变片(K=2.0)，将其贴在习题图2-14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。已知膜片的半径R=20mm，厚度h=0.3mm，材料的泊松比μ=0.285，弹性模量E=2.0×1011N/m2。现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压Ui=6V。求：

(1)确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；

(2)画出相应的全桥测量电路图；

(3)当被测压力为0.1MPa时，求各应变片的应

变值及测量桥路输出电压U0；

(4)该压力传感器是否具有温度补偿作用?为什

么?

(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线

性关系? 习题图2-14 膜片式压力传感器

解：（1）四个应变片中，R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R1、R4粘

贴在圆形感压膜片R/3之外沿径向，并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。如下图(a)所示。

（2）测量电桥电路如上图(b)所示。

(a)应变片粘贴示意图 (b)测量电桥电路

题解2-14图

（3）根据（1）的粘贴方式，知 ?2??3??tmax31??2R2?p(??tmax)

8h2E?? 12

?31?0.2852?20?10?3?32?0.7656?10?3则测量桥路的输出电压为

???8??0.3?10??2?10?211?105

ε1 =ε4 = ?εtmax = ?0.7656×10?3

Uo?UiK??1??2??3??4?4U ?iK?4?tmax?UiK?tmax4?6?2?0.7656?10?3?9.19?10?3(V)?9.19mV（4）具有温度补偿作用；

（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知

31??2R2Uo?UiK?tmax?UiKp?p

8h2E2-18 线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ，电刷最大行程4mm，若允许最大消耗功率为40mW，传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。试求当输入位移量为1.2mm时，输出电压是多少?

解：最大激励电压

Ui?PR?40?10?3?10?103?20?V?

??当线位移x=1.2mm时，其输出电压

Uo?Ui20?x??1.2?6(V) l42-19 一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为0~10mm，分辨力为0.05mm，

灵敏度为2.7V/mm，电位器绕线骨架外径d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为ρ=3.25×10-4Ω·mm。当负载电阻RL=10kΩ时，求传感器的最大负载误差。

解：由题知，电位器的导线匝数为

N=10/0.05=200

则导线长度为

l=N?d=200?d， (d为骨架外径)

电阻丝直径与其分辨力相当，即d丝=0.05mm 故电阻丝的电阻值 R?ll ???S2d丝4200??5 ?3.25?10?4??520??? ?2?4?0.05 13

m?R520 ??0.0523RL10?10 δLm ≈15m%=15×0.052%=0.78%

第3章 电感式传感器

3-15 某差动螺管式电感传感器(参见习题图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝，l=10mm，lc=6mm，r=5mm，rc=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率μr=3000，试求：

(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?及其电感灵敏度足KL=?

(2)若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz，电压E=1.8V，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K。

(3)若要控制理论线性度在1％以内，最大量程为多少?

解：（1）根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得 习题图3-15 差动螺管式电感传感器

L0???0?W2l2?lr2??rlcrc2?

4??10?7???8002

差动工作灵敏度：

?10?10??32?10?522?10?9?3000?6?12?10?9?0.46(H)

? KL?2?

?0?W2?2l24??10?7???8002rc?r

?32?10?10??1?10?6?3000

?151.6?/m?151.6m?/mm (2) 当f=1000Hz时，单线圈的感抗为

XL =ωL0 =2πf L0 =2π×1000×0.46=2890(Ω) 显然XL >线圈电阻R0，则输出电压为

E?L Uo?2L0 测量电路的电压灵敏度为

UE1.8VKu?o???1.96V/??1.96mV/mΗ

?L2L02?0.46?

14

而线圈差动时的电感灵敏度为KL =151.6mH/mm，则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为

K?KL?Ku?151.6m?/mm?1.96mV/mΗ

=297.1mV/mm

3-16 有一只差动电感位移传感器，已知电源电Usr=4V，f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω，L= 30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图3-16所示，试求： (1)匹配电阻R3和R4的值；

(2)当△Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；

?之间的相位?与输入电压U(3)用相量图表明输出电压Usrsc差。 习题图3-16

解：（1） 线圈感抗

XL=?L=2?fL=2??400?30?10?3=75.4（?） 线圈的阻抗

Z?R2?XL?402?75.42?85.4???

2 故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)

R3 = R4 =Z=85.4（?）

（2）当ΔZ=10?时，电桥的输出电压分别为

单臂工作： Usc?Usr?Z410???0.117?V? 4Z485.4双臂差动工作：

Usr?Z410???0.234?V? 2Z285.4R40 （3） ??tan?1?tan?1?27.9?

?L75.4Usc?3-17 如习题图3-17所示气隙型电感传感器，衔铁截面积S=4×4mm2，气隙总长度

δ=0.8mm，衔铁最大位移△δ=±0.08mm，激励线圈匝数W=2500匝，导线直径d=0.06mm，电阻率ρ=1.75×10-6?.cm，当激励电源频率f=4000Hz时，忽略漏磁及铁损，求：

习题图3-17 气隙型电感式传感器（变隙式）

(1)线圈电感值；

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4gv3.html