新课标小学数学培优竞赛教程 - - 五年级精练分册

新课程小学

《数学培优、竞赛全程跟踪讲·学·练·考》

五 年 级

精 练 分 册

主编：杨 跃

目录

上学期

第一讲 小数的巧算 第二讲 牛吃草问题 第三讲 多边形的面积

3.1 面积计算 3.2 等积变形 3.3 列方程求面积 第四讲 图形的切拼

第五讲 列方程解应用题〈一〉 第六讲 逻辑推理

1

第七讲 抽屉原理

下学期

第八讲 数的整除

第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9.1 约数和倍数

9.2 最大公约数和最小公倍数 第十讲 质数、合数和分解质因数

10.1 质数和合数 10.2 分解质因数 第十一讲 奇数与偶数 第十二讲 带余除法

12.1 一般余数问题 12.2 同余数问题 第十三讲 完全平方数 第十四讲 分数

14.1 分数的意义和性质 14.2分数与小数的互化 14.3 分数大小的比较 第十五讲 发现规律解数

上学期

第一讲 小数的巧算

[同步巩固演练]

1、计算：7.93+(2.8-1.93)。 2、计算：7736－473+73。

3、计算：3.71-2.74＋4.7＋5.29－0.26＋6.3。 4、计算：34×25×6。 5、计算：8.25×18。 6、计算：8.4÷5÷8。 7、计算：49000÷125。

8、计算：（5.25＋0.125＋5.75）×8。 9、计算下面各题

⑴2.56－（1.65－0.97） ⑵4.74＋（1.26－0.77） ⑶5.47－（1.47＋0.84） ⑷9.9×9.9＋0.99 ⑸1.25×2.5×3200

2

10、计算：75×4.7＋159×2.5 11、计算：4.25×5.24＋1.52×2.51 12、计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7 13、计算：1.25×17.6＋36÷0.8＋2.64×12.5

14、计算：176.2＋348.3＋42.47＋252.5＋382.23 15、计算：(6.4×7.5×8.1)÷(3.2×2.5×2.7) 16、计算：15.37×7.88－9.37×7.38＋1.537×21.2－93.7×0.262 [能力拓展平台]

1、C.DE×A.B=A.CDE是用字母表示的一个小数乘法算式，题中每一个字母表示一个数字，如果A.CDE＜C.DE，求A.B所表示的数。

2、计算：10－9－0.9－0.09－0.009－0.0009－0.00009 3、计算：15.37×7.88－9.37×7.88－15.37×2.12＋9.37×2.12 4、计算：4.65×32+2.5×46.5+0.465×430 5、计算：4.05＋4.08＋4.11＋…＋7.02 6、不计算，在□中填入“＞”“＜”或“=”：

⑴0.3÷0.03×0.003÷0.0003□10÷100×1000÷1000 ⑵32.7÷0.25＋2.51×10□32.7×4＋2.51÷0.1 ⑶282.4÷0.999□282.4×0.999

7、计算：(0.12+0.22+0.32+0.42)2÷(0.13＋0.23＋0.33＋0.43)3 8、计算： ⑴2.89×6.37＋4.63×2.89 ⑵327×2.8＋17.3×28 9、计算：0.625??0.?625??0.?625??8????8?2?2????2 ??????????????8???10个0.6259个88个2[全讲综合训练]

1、计算： ⑴14.529＋(2.471－3); ⑵38.68－(4.7－2.32) 2、计算：44.8－21.7－24.7＋16.4 3、计算：131－68－85＋53 4、计算：34.5×8.23－34.5＋2.77×34.5 5、计算：7.9×25＋33×2.5 6、计算：23×(63÷23÷4)÷21 7、计算：18.3÷4＋5.3×2.5＋7.13×7.5 8、计算：243587×1111

9、计算：1.1＋3.3＋5.5＋7.7＋9.9＋11.11＋13.13＋15.15＋17.17＋19.19 10、计算：(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28) 11、计算：1.25×67.875＋125×6.7875＋1250×0.053375 12、计算：172.4×6.2＋2724×0.38 13、计算：0.739×(48.8＋20.3＋51.2＋4.7)×8.88÷739 14、计算：6.03＋6.06＋6.09＋6.12＋…＋7.95 15、计算：41.2×8.1＋11×9.25＋537×0.19 16、（全奥赛题，2003）计算 ⑴3.51×49＋35.1×5.1＋49×51

⑵784070＋78407.1＋7840.72＋784.073＋78.407 17、（全国我爱少年夏令营计算题竞赛，2002） ⑴7－4.36＋5.378 ⑵3.5×[6.8－(1.6＋3.6÷0.9)]÷84 18、（全国奥赛题，2002）计算 3.6×42.3×3.75－12.5×0.423×28

19（我爱数学少年夏令营计算竞赛，2001） ⑴0.76＋29.44×1.6

⑵0.1＋0.3＋…＋0.9＋0.11＋0.13＋…＋0.97＋0.99

3

第二讲 牛吃草草问题

[同步巩固演练]

1、牧场上长满牧草，可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，如果牧草每天匀速生长，那么可供多少头牛吃2天？

2、有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需要抽8小时，8台抽水机需要抽12小时，如果用6台抽水机，需要多少小时？

3、24头牛6天可将一片牧草吃完；21头牛8天可将这片牧草吃完；如果每天草的增长量相等，要使这片牧草永远吃不完，至多放多少头吃这片牧草？

4、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已进入一些水，如果用12个人舀水，3小时可以舀完；如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在要2小时舀完，需要多少人？

5、一水库原有水量一定，河水每天均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要求6天抽干需要多少台同样的抽水机？

6、有一酒槽，每日泄漏等量的酒，如让6人饮，则4天喝完，如让4人饮，则5天喝完，若每人的饮酒量相同，问每天的漏酒量为多少？

7、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根进水管不断地往池里放水，平均每分钟进水量相等，如果开放三根排水管，45分钟可把池中水放完，如果开放五根排水管，25分钟可把池中水排完，如果开放八根排水管，几分钟排完水池中的水？

8、现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘，若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天抽干，问：若要5天抽干水，需多少台同样抽水机来抽水？ [能力拓展平台]

1、一个大水坑，每分钟从四周流掉（四壁渗透）一定数量的水，如果用5台水泵，5小时就能抽干水坑的水；如果用10台水泵，3小时就能抽干水坑的水，现在要1小时抽干水坑的水，问要用多少台水泵？

2、画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开了3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没人排队，问第一个观众到达的时间是8点几分？

3、甲从A地出发行了一段时间后，乙、丙、丁三人才同时从A点出发沿同一条路追；甲、乙、丙、丁三人分别用3小时、5小时、6小时追上甲，已知乙每小时行18千米，丙每小时行16千米，那么丁每小时行多少千米？

4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增加，反而以固定的速度在减少，已知某地草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天，照此计算可供多少头牛吃10天？

5、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底，白天往下爬，两只蜗牛白天爬

4

行的速度是不同的，一只每天爬20分米，另一只爬15分米，黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度都是相同的，结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，求井深。

6、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年或可供80亿人生活300年，假设地球每年新生成的资 源是一定的，为了使资源不致减少，地球上最多生活多少人？

7、自动扶梯以均匀速度往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上梯，已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达梯顶。女孩用了6分钟到达梯顶，问扶梯共有多少级？

8、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级，若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？ [全讲综合训练]

1、某游乐场在开门前400人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进10个游客，如果开放4个入口，20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？

2、早晨6点，某火车站进口处已有945名旅客开始检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站，这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客，现在要求5分钟放完所有旅客，需设立几个检票口？

3、某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处每分钟放入10名游客，如果开放2个入口处，20分钟后就没有人排队，现在开放4个入口处，那么开门后多少分钟就没人排队了？

4、12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草，多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧扬上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

5、有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天（每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长）？

6、仓库里原有一批存货，以后继续有车运货进仓，且每天运进的货一样多，用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完，仓库里原有的货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

7、一个水池，底部有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，打开2个进水管15小时可以注满，若打开4个进水管5小时可以注满。现需要2小时将水池注满，那么至少要打开几个进水管？

8、某棉纺厂仓库，可储存全厂45天的用棉量，若用1辆大卡车往空仓内运棉，则除了供应车间生产外，5天可将仓库装满；如果用小卡车往空仓内运棉，除了供应车间生产外，9天可将仓库装满。如果用1辆大卡车与1辆小卡车同时运棉，需几天可将仓库装满？

9、甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发。沿同一公路追赶前面的一个行人，为三辆车分别用6分钟，10分钟，12分钟追上这个行人，已知甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，则两车每小时行多少千米？

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第三讲 多边形的面积

3.1 面积的计算 [同步巩固演练]

1、求下图中每个小图形的阴影部分的面积（单位：厘米）

第1题 [能力拓展平台]

1、已知三角形ABC的周长是20厘米，三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米，求三角形的面积。

第1题 2、如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少？（单位：厘米）

6

第2题

3、求阴影部分的面积（单位：厘米）

第3题

4、长方形ABCD的边上有二点E、F、AF、BE、BE把长方形分成若干块，其中三个小块的面积标注在图上，求阴影部分面积。

第4题

5、（第五届华杯赛试题）涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问大正六角星的面积是多少平方厘米

第5题 3.2 等积变形 [同步巩固演练]

1、如图所示，已知矩形ABCD中，BE=少？

1EC，则△ABE和△ABC的面积之比是多2 7

第1题

2、如图所示，梯形ABCD中共有8个三角形，其中，面积相等的三角形有多少对？

第2题

3、如图，三角形ABC的面积是18平方厘米，BD=2DC，AE=EC，则三角形BDE的面积是多少平方厘米？

第3题

4、如图 已知BC=6BD，AB=5BE，三角形BDE的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？

第4题 5、如图 ABCD是平行四边形，AE=积是多少倍？

2AB，则梯形EBCD的面积是三角形AED的面3 8

第5题

6、如图所示，三角形ABC中，BD=DC，ED=2AE，BF=FD，三角形ABC的面积是1，三角形DFE的面积是多少？

第6题 [能力拓展平台]

1、将任意一个三角形四等分，请你画出三种分法。

2、如图 E、F分别为平行四边形ABCD两条邻边的中点，若平行四边行的面积是1，则图中面积为

1的三角形有多少个。 4 第2题

3、在三角形ABC（如图）中，AD=DB，BE=EC，三角形FEC的面积是5平方厘米。则三角形ABC的面积是多少平方厘米？

第3题

4、在图中，BE=EF=FC，GA=AH=HC，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，则三角

9

形GEC的面积是多少平方厘米？

5、（上海市竞赛题，1996）图8-18中，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD的三等分点，E、F、G、C、D的四等分点，求图中阴影部分面积。

第5题

6、正三角形ABC的边长为12厘米，BD、DE、EF、FG四条线段把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

第6题

7、（第三届华杯赛试题）图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积有多少个？

第7题

8、把平行四边形ABCD的边BC延长一倍至E，如图如果三角形DCE的面积是18平方厘米，则三角形BEF的面积是多少平方厘米？

10

第9题

9、如图，已知三角形ABC的面积为1，BE=3AB，CD=2BC，则三角形BDE的面积是多少？

第9题

10、如图把三角形ABC的BA延长至D，使BA=AD；延长AC至E，使CE=2AC。延长CB至F，使BF=3CB，若已知三角形ABC的面积是1，则三角形DEF面积是多少？

第10题 3.3 列方程求面积 [同步巩固演练]

1、一块长方形铁皮，从长边减去8厘米，从短边减去4厘米后，得到的正方形面积比原来的长方形面积少了116平方厘米，则原长方形铁皮的面积是多少平方厘米？

2、如图梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底BC长9厘米，高是6厘米，且三角形AOD的面积是6平方厘米，则三角形BOC的面积是多少平方厘米？

第2题

11

3、如图，已知长方形ABCD的面积是36平方厘米，三角形ABE的面积是6平方厘米，三角形AFD的面积是9平方厘米，求三角形AFE的面积。

第3题

4、如图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米，又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等，求三角形DEF的面积。

第4题 [能力拓展平台]

1、试求图中△ABC的面积（每个小三角形中注的数字表示该小三角形的面积）

第1题

2、如图将一三角形纸片沿虚线折叠后得到的图形面积是原三角形面积的部分的面积是4平方厘米，则原三角形的面积是多少平方厘米？

23，已知阴影

第2题

3、如图已知四边形ABCD是直角梯形，上底AD长8厘米，下底BC长10厘米，直角腰CD长6厘米，E是AD的中点，F是BC上的点，BF=的面积与△CFG的面积相等，求△ABG的面积。

2BC，G为DC上的点，△DEG3 12

第5题

4、如图，三角形ABC的面积是12平方厘米，EC=2AE，F是AD中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

第4题 [全讲综合训练]

1、如图，在平行四边形ABCD中，DE=EF=FG，BG=GD，已知三角形GEF的面积是4平方厘米，求平行四边行的面积。

第1题

2、如图，在△ABC中，D是AB中点，E是DB中点，F是BC中点，若△ABC的面积是96，那么△AEF的面积是多少？

第2题

3、（哈尔滨市第十届未来杯赛题）如图，在平行四边形ABCD中，EF与AC平行，如果三角形BFC的面积是35平方厘米，那么三角形AEB的面积能不能确定？如果能，它的面积是多少？

13

第3题

4、（哈尔滨市竞赛题1998）如图，平行边形ABCD的面积是240平方厘米，如果平行四边行内取一点O，连结AO、BO、CO、DO，三角形AOD与三角形BOC的面积和的加上三角形AOB与三角形DOC的面积和的

1，21，结果是多少？ 3 第4题

5、如图，长方形ABCD的面积是120平方厘米，且AD=3AM，AB=4AN，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

第5题

6、如图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE，求阴影部分的面积。

第6题

7．（全国小学数学竞赛题）如图，在三角形ABC中，AD垂直于BC，CE垂直于AB，AD=8厘米，CE=7厘米，AB+BC=21厘米，求三角形ABC的面积。

14

第7题

8．（第一届祖之杯试题）图中由9个边长为1厘米小正方形组成一个大正方形，图中面积为1/2平方厘米的三角形有多少个？面积最大的三角形面积是多少？

第8题

9．（第二届新苗杯试题）如图，AB=4厘米，BC=6厘米，AC=2CD，BE=BD，求三角形ADE的面积。

第9题

10．在三角形ABC，如图14，AB=3AD，AC=3CG，BE=EF=FC，且三角形FCG的面积为1平方厘米，求阴影部分的面积。

第10题

11．如图，已知CF=2DE，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4，求三角形ABE的面积。

15

第11题

12．（全国奥赛题，1999）如图，梯形ABCD上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米，求：梯形ABCD的面积。

第12题

13．如图，在平行四边形ABCD中，P为三角形ABD内的一点，且S△PBC=5，S△PAB=2，求S△PBD。

第13题

14．（上海第四届小学数学竞赛五年级预赛题）如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积。

第14题

15．（上海市第四届小学生数学竞赛六年级预赛题）如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF的长是BF的3倍，求三角形AEF的面积。

16

第15题

16．如图 AD=DE=EC，E是BC中点，G是EC中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，求阴影部分的面积是多少？

第16题

17．（1992年小学数学奥林匹克试题）如图，是一个5×5方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点，请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，且这7个格点用线段连接后围成的面积尽可能大，那么，所围图形面积是多大？

第17题

18．（第六届华杯赛决赛题）如图，正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积。

第18题

19．（第九届江苏省初中数学竞赛）求图中阴影部分的面积。

17

第19题

20．如图，三角形ABC的面积为5平方厘米，AE=CE，BD=2DC，求阴影部分的面积。

第20题

21．如图，在梯形ABCD中，AD=2BC，ABCD的面积为66，若E为CD的中点，求△ADE的面积。

第21题

22．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，四边形XYZU的面积=1，试求四个阴影小三角形面积之和。

第22题

23．（全国奥赛题，2003）两个形状和大小都一样的直角三角形△ABC与△DEF，如图放置，它们的面积都是2003平方厘米，而每一个三角形直角的顶点都恰好落在另一个直角三角形的斜边上。这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形那么四边形ADEC的面积为多少平方厘米？

18

第23题

24．（全奥赛试题，2003）由面积分别为2，3，5，7的四人三角形拼成一个大三角形，如图所示。即已知S△AED=2，S△AEC=5，S△BDF=7，S△BCF=3，那么S△BEF= 第24题

25．（我爱数学少年夏令营竞赛题，2002）如图，平行四边形ABCD的面积为30平方厘米，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F点，如图△FBC的面积比△FDE的面积大9平方厘米，且AD=5厘米，那么DE= 厘米。

第25题

26．（我爱少年夏令营竞赛题，2001）在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE=

1AB。已知四边形BDME的面积是35，那么，三角形ABC的面积是 。 3 第26题

27．（全国奥赛题，2000），P为平行四边形ABCD外一点，已知三角形PAB与三角形

19

PCD的面积分别为7厘米和3厘米，那么平行四边形ABCD的面积为 平方厘米。

第27题

28．（全国奥赛题，2001）如图，直角梯形ABCD，四边形AEGF、MBKN都是正方形，且AE=MB，EP=KC=9，DF=PM=4，则△的面积为 。

第28题

第四讲 图形的切拼

[同步巩固演练]

1、把等腰三角形（如图）分成8个一模一样的直角三角形，画出分割的图形来。

第1题 2、将一个正方形剪成8个小正方形，小正方形有大小不等的三种尺寸。 3、将一个4×9的长方形切成两块，然后拼成一个正方形。

第3题 4、下图是一块缺了两个角的木板，请把它锯成两块，然后拼成一个正方形。

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第5题 5、将地块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块，然后拼成一个24×25的长方形。

6、将一个正方形分成相等的4块，然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。

7、将图切成大小相等、形状相同的四个小方块，拼成一个正方形。

第7题

8、把一个正方形切割成大小相等、形状相同的四个部分，有多少种切割法，请画出几种切割法。

9、把一个正三角形切成面积相等、形状相同的3块，有几种切法？

10、把右图划分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母。

第10题 11、如图将它分成形状和大小都相同的四块。

第11题 [能力拓展平台]

1、（京市第七届迎春杯试题）一个长方形，长19厘米，宽18厘米，如果把这个长方形分割成若干个边长为整数的小正方形，那么这些小正方形最少要多少个？

2、（京市第七届迎春杯试题）把下列二图分别分成形状相同面积相等的两个图形。

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第2题 3、如下图在100×70的长方形中，挖去一个10×60的长条（阴影），请把这个图形分成两块，然后拼成一个正方形。

第3题

4、将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个小圆圈“○”。

第4题

5、下图是2～9以及0的九个数字，将每小数字都分成两块，拼成一个正方形。（注：“8”的高度为20，宽为9，中间空格是4×3的长方形）

第5题

6、把下图切成三块拼成一个正方形。

第6题

7、如图一个直角梯形，请在它的内部画一条直线，把它分成形状、大小都相等的两部分。（单位：厘米）

22

第7题 [全讲综合训练]

1、把一个正六边形分割成八个形状相同、面积相等的图形，应如何分？ 2、将图切割成5个大小相等的图形。

第2题 3、如图是一张4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

第3题

4、用4种方法将图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

第4题

5、（汉城国际奥赛题，1996）在宽11厘米、长181厘米的长方形中划分正方形，问至少可以划分几个？说明划分方法（也可以画图说明）。

6、（汉城国际奥赛题，1996）如图等腰梯形底角为60°，下底长是上底长的2倍，试将它分割成大小形状相同的9个图形。

第6题

7、（汉城国际奥赛题，1996）任给一个三角形，（1）试剪一刀，把它剪成二块，用这两块拼成一个平行四边形；（2）试剪二刀，把它剪成三块，用这三块拼成一个长方形。

8、（福建省竞赛题，1998）请在图中画出三条线段，把等腰梯形分成四个面积相等，形状相同的图形。

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第8题

9、如图将它分成八个形状、大小都相同的图形。

第9题 10用 来拼成图。

第10题

11、（福建省竞赛题，1998）如图，方框外面边长为5，里面边长为3，把方框锯成4块，拼成一个正方形，问怎样拼法？

第11题

12、（福建省竞赛题，1998）如图，分别将两图形，分成8个大小、形状相同，面积相等的图形。

第12题

13、把图分成形状、大小都相同的四块，拼成一个正方形。

第13题 14、将图分成三块，然后拼成一个正方形。

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第14题

15、把一边长为7厘米的大正方形，切割成9个不重叠、不交叉的小正方形，且每个小正方形的面积必须是整平方厘米。

16、如图，把它锯成3块再拼成一个正方形。

第16题

17、把一个正方形分成20个大小形状完全一样的三角形。

18、用方格纸剪成面积是4的图形，其中形状只有下列七种，如图试有其中的四种拼成一个面积是16的正方形。

第18题

19、如图有长6厘米、宽4厘米的长方形，它的中间有一长为4厘米、宽为2厘米的 空槽，请你把它剪成三块，拼成一个正方形。

第19题

20、试将图分割成形状、大小都相等的六小块，使每块所含数字的和都相等。

第20题

21、（1）任给两个同样的正方形，试把它们剪开，拼成一个正方形； （2）任给两个大小不同的正方形，试把它们剪开拼成一个正方形。

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第五讲 列方程解应用题〈一〉

[同步巩固演练]

1、某数的3倍加8与这个数的5倍减10相等，这个数是多少？ 2、某班有女生25人，比男生的3倍少20人，这个班有多少人？

3、一次数学竞赛共15道题，每做对一道题得8分，做错一道题倒扣4分，李小明所有题都做了，但只得72分，他做对了多少道题？

4、全班植100棵树，其中5个同学每人分到2棵，其余每人3棵，全班共有多少个同学？

5、一个畜牧场，每天生产牛奶和羊奶共2346千克，生产的牛奶量是羊奶的5倍，问每天生产羊奶和牛奶各多少千克？

6、两个车间共有工人68名，如果从第一车间调6名到第二车间，两车间人数就相等，求两个车间原有人数。

7、小张期中考试，考了四门功课，语文78分，自然83分，历史81分，数学分数比四门功课的平均分多7分，数学考了多少分？

8、甲、乙两地相距180千米，一人骑摩托车从乙地同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自行车的3倍，问多少小时后两人相遇？

9、小亮与父亲5年后的年龄和为45岁，父亲今年年龄恰好是小亮年龄的6倍，小亮6年后年龄为多少？

10、甲袋中球数是乙袋中球数的6倍，从甲袋中拿出13个球后等于乙球放入12个球后的球数，那么乙袋中原有球多少个？

11、3年前母亲的岁数是女儿的6倍，今年母亲33岁，女儿今年几岁？

12、A、B两地相距496千米，甲车从A地开往B地，每小时行32千米，甲车开出半小时后，乙车从B地开往A地，它的速度是甲车的2倍，问乙车开出了几小时后，两车相遇？

13、水果店运来的西瓜个数是白兰瓜的2倍，如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个。水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？

14、好马每天走240千米，劣马每天走150千米，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？

15、已知蓝球、足球、排球平均每个36元，蓝球比排球每个多10元，足球比排球每个

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多8元，每个足球多少元？

16、有四个数，从中取出三个数相加，得到四个和分别是22、24、27、20，求这四个数各是多少？ [能力拓展平台]

1、某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半少1人，三个车间各有多少人？

2、A、B两地相距144千米，小李、小张骑车从A地、小王骑车从B地同时出发相向而行。小李、小张、小王的速度分别是每小时17千米、12.5千米、14.5千米。问经过几小时后，小李正好在小张与小王相距的正中点处？

3、（中南地区竞赛题，1992）幼儿园给表演节目12个小朋友做衣服，11人的平均布料是85厘米，小军的个子高，他用了布料比12人的平均数还多5.5厘米，小军用布料多少米？

4、（岳阳市竞赛题，1992）某校六年级甲、乙两班共有学生100名，一次数学考试，两班学生平均得75.4分，其中甲班学生平均73分，乙班学生平均78分，那么甲班比乙班多几名学生？

5、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30，问哥哥、弟弟现在多少岁？

6、某旅游团租一辆车外出，租车费由乘车人平均负担，结果乘车人数与每人应付车费的元数相等，后来又增加了10个人，这样每人应付车费比原来减少了8元，这辆车的租车费是多少元？

7、把26张画片分给甲、乙、丙三人，乙分到的比甲的一半多2张，丙分到的比乙的一半多2张，则甲分到多少张？乙分到多少张？丙分到多少张？

8、一个三位数，三个数位上的数字和为13，百位数字比十位数字小3，个位数字是十位数字的2倍。求这个三位数。 [全讲综合训练]

1、妈妈带一些钱去买布，买2米布后还剩下1.80元；如果买同样的布4米则差2.40元，问；妈妈带了多少钱？

2、第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍，如果从第一车间调20名工人去第二车间，则两个车间人数相等，求原来两个车间各有工人多少名？

3、两个水池共贮水40吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池水的吨数与乙池水的吨数相等，两个水池原来各贮水多少吨？

4、学校共买大、小凳子20张，一共付款96元，大凳子每张6元，小凳子每张4元，大、小凳子各买了几张？

5、甲、乙共有图书63册，乙、丙共有图书77册，三人中图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍，问：甲、乙、丙三人各有图书多少册？

6、（第三届《小学生数学报》竞赛题）王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18个小时，改进技术前后每小时各加工多少个零件？

7、（第一届九章杯竞赛题）一次数学测验，六（1）班全班平均91分，男生平均89，女生平均92.5，这个班女生有24人，问：这个班男生有多少人？

8、甲、乙两人从同一地点出发去某地，甲比乙早出发1小时而晚到2小时。甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求出发点与某地之间的距离。

9、一架飞机在甲、乙两城之间飞行，无风时每小时飞552千米。在一次往返飞行中，飞机顺风飞行了5.5小时，逆风飞行了6小时，问风速是每小时多少千米？

10、甲、乙两牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊就是你的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，这样我们的羊就一样了。”问这两个牧童各有几只羊？

11、甲、乙两数，甲的2倍比乙大3，甲的3倍比乙的2倍小1，求这两数。

12、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，甲骑车的速度比乙每小时快2千米。二人在上午8点同时出发，到上午10两人还相距36千米，到中午12点，两人

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又相距36千米。求A、B之间的距离。

13、甲、乙两地相距20千米，A从甲地去乙地，同时B从乙地去甲地，两小时后，二人在途中相遇，相遇后A就返回甲地，B仍然向甲地前进。A回到甲地后，B离甲地还有2千米。求A、B两人的速度。

第六讲 逻辑推理

[同步巩固演红]

1、有一座四层楼（如图），每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和茶色。如果每个窗户表示一个数字，每层楼的三个窗户从左到右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数分别是612，275，791，362。那么，第三层楼表示的三位数是多少？

2、在一桩谋杀案中，有两个犯罪嫌疑人甲和乙，另有四个证人在受到询问。 第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。” 第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”

第三个证人说：“前面两个人的证词中至少有一个是真的。” 第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”

通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，那么凶手是谁？

3、地理课上，老师挂出一张没有注明省份名称的中国地图，其中有五个省分别编上了1～5号，让大家写出每个编号是哪一省，A答：2号是陕西，5号是甘肃；B答：2号是湖北，4号是山东；C答：1号是山东，5号是吉林；D答：3号是湖北，4号是吉林；E答：2号是甘肃，3号是陕西，这5名同学每人都只答对了一个省，并且每个编号只有一个人答对，问1～5号各是哪个省？

4、在甲、乙、丙三人中，有一位老师，一位工人，一位战士，知道丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，请你推断谁是教师？谁是工人？谁是战士？

5、在三只盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有红球和白球各一个。现在三只盒子上的标签全贴错了。你能只从一只盒子拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么吗？

6、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。 （1）甲上课全用汉语；

（2）外语老师是一个学生的哥哥； （3）丙是女的，比数学老师年轻

7、10个好朋友彼此住得很远，又没有电话，只能靠写信互通消息，这个10个人每人知道一件好消息（这10个人各自知道的好消息不同），为让这10个人都知道所有好消息，他们至少让邮递员送几封信？

8、四所小学，每所小学有两支足球队，这8支球队进行友谊赛、规定本校的两支球队

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之间不赛，任两个队（除同一学校的两个队之处）间赛一场，且只赛一场，比赛进行一阶段后（还没赛完），A学校第一队的队长发现其他各队已赛的场数互不相同，问：这时A学校第二队赛了几场？

9．教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了。经了解，椅子是A、B、C三人中的一个人修好的，老师找来这三个人。

A说：“是B做的。” B说：“不是我做的。” C说：“不是我做的。”

经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？

10、某商品编号是一个三位数。现有五个三位数：874、765、123、364、925，其中每个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同数字，商品的编号多少？ [能力拓展平台]

1、今天上午有语文、数学、美术、音乐、体育、自然中的三门课，A，B，C，D，E五人争论是哪三门课。

A说：“肯定没有音乐课。” B说：“有语文课和体育课。”

C说：“音乐课和数学课只有一门。” D说：“没有自然课和美术课。” E说：“C、D中有一人说错了。”

实际上只有一个说错了，那么今天上午的三门课分别是什么课？

2、甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，并决出了一、二、三、四名。已知： （1）甲比乙的名次靠前； （2）丙、丁经常一起踢球；

（3）第一、二名在这次比赛中才认识； （4）第二名不会骑车，也不爱踢足球； （5）乙、丁每天一起骑车上班。 请判断他们各自的名次。

3、赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业。

⑴赵和钱是邻居，每天一起骑车上班； ⑵赵年龄比孙大； ⑶赵在教李打太极拳； ⑷教师每天步行上班；

⑸售货员的邻居不是个体户； ⑹个体户和工人互不认识；

⑺个体户比售货员和工人年龄都大。

4、A、B、C、D、E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题，今天他们又聚在一起，回忆当时的情景：

A说：“我坐在B的旁边。”

B说：“坐在我左边的不是C就是D。” C说：“我挨着D。”

D说：“C坐在B的右边。”

实际上他们都记错了，你能说出当时他们是怎样坐的吗？

5、李明、陈昕和孙梅是小学教师，在语文、数学、政治地理、音乐和图画六门课中每人教两门，现在已知：

⑴政治教老师和数学老师是邻居。 ⑵陈昕最年轻。

⑶李明老师常对地理老师和数学老师说他看的书。 ⑷地理老师比语文老师年纪大。

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⑸陈昕、音乐老师和语方老师三人常一起看足球比赛。 李明、陈昕、孙梅三位老师每人教哪两门课？

6、某次考试共有6道是非题，要求正确的画“√”，错误的画“×”，每题答对得3分，不答得0分，答错扣1分。甲、乙、丙、丁四人的答案及前3人的得分如下表，问丁得多少分？

1 2 3 4 5 6 得分 × √ × × × 11 甲 √ √ √ √ √ 7 乙 × × × √ × 7 丙 √ × × √ √ × 丁 ？

7、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作，他们的职业分别是工人、农民或教师。已知：

⑴甲不在南京工作；

⑵乙不在苏州工作的是工人； ⑶在苏州工作的是工人； ⑷在南京工作的不是教师； ⑸乙不是农民。

三人各在什么地方工作？各是什么职业？

8、在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：

①每人四发子弹所命中的环数各不相同。 ②每人四发子弹所命中的总环数均为17环；

③乙有四发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；

④甲与丙只有一发环数相同；

⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环。 问：甲与丙命中的相同环数是几？

9、某个家庭现有四个家庭成员，他们的年龄各不相同，他们的年龄总和是129岁，而其中有三个的年龄是平方数，若倒退15年，这四人仍有三人的年龄是平方数，你知道他们各自的年龄吗？

10、有A、B、C三个足球队，两两比赛一场，共赛了三场，A队两胜，进6球失2球；B队一胜一负，进4球失4球；C队两负，进2球失6球。请写出三场比赛的具体比分。

[全讲综合训练]

1、（北京市第九届“迎春杯”竞赛决赛题）A、B、C、D、E五个同学来自江滨中学、第十五中学、光明中学三所学校（每所学校至少有他们当中的一名同学），已经知道：

⑴在光明中学举行的晚会上，A、B、E作为被邀请的客人去该校表演小提琴三重奏； ⑵B过去曾在第十五中学学习，后来转学了，现在同E在一个班里学习； ⑶D和E是同一所学校里的三好学生。

根据上述情况，可以判断A在哪一所中学学习？

2、（第三届华杯赛试题）某年的10月里有5个星期六，4个星期日，问：这年的10月1日是星期几？

3、（第五届《小学生数学报》竞赛试题）李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一人当了记者，一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者”张斌说：“我不是记者”王大为说：“李志明说了假话”如果他们三个人的话当中只有一句是真的，问：谁是记者？

4、（北京市第七届“迎春杯”竞赛试题）甲、乙、丙、丁坐在同一排的1～4号座位上，小红看着他们说：“甲的两边不乙，丙的两边不是丁，甲的座位号比丙大”问：坐在1号座位上的是谁？

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5、（北京市竞赛题，1988）甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印上了不同的号码。 赵说：“甲是2号，乙是3号” 钱说：“丙是4号，乙是2号” 孙说：“丁是2号，丙是3号” 李说：“丁是1号，乙是3号”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，问：丙的号码是几号？

6、（南京市竞赛题，1998）A、B、C、D四名学生猜测自己的数学成绩。 A说：“如果我得优，那么B也得优” B说：“如果和得优，那么C得优” C说：“如果我得优，那么D也得优”

大家都没说错，但只有两人得优，问：这两人是谁？

7、（全国奥赛题，1989）A、B、C、D、E五人参加乒乓球赛，每两人都要赛一盘，规定胜者得2分，负者得0分，现在知道比赛结果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名，问：C的得分是多少？

8、（第；四、届华杯赛决题）某校学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学读过问：能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，甲读过A、B，没读过C；乙读过B、C，没读过A？说明判断过程。

9、（北京市第十届“迎春杯”竞赛题）布袋中12个乒乓球分别标上了1，2，3，…12，甲、乙、丙三人每人从布袋中拿四球，已知三人、所拿球上的数的和相等，甲有两球标上5、12，乙有两球标有6、8，丙有1球标1，问丙的其它三个球上所标的数是多少？

10、（北京市第七届“迎春杯”竞赛题）在运动会上，小赵、小李、小刘各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，王老师猜测：“小赵和金牌；小李不得金牌；小刘不得铜牌”结果王老师只猜对了一个，问：小赵、小李、小刘各得什么牌？

11、（福建省第三届“小火炬杯”竞赛题）小兰、小红、小康其中有一人在县一小念书，有一人在县二小念书，还有一人在县三小念书，三人中有一人爱下围棋，有一人爱画画，还有一人爱弹琴，已知：

⑴小兰不在县一小； ⑵小红不在县二小；

⑶爱好弹琴的不在县三小； ⑷爱下围棋的在县一小； ⑸爱下围棋的不小红；

问：这三人分别在哪一所学校念书？爱好是什么？

12、甲、乙、丙三位工人在A、B、C三家工厂当钳工、车工、锻工、已知： ⑴甲不在A厂； ⑵乙不在B厂；

⑶在A厂的不是钳工； ⑷在B厂的是车工； ⑸乙不是锻工；

问这三位工人分别在哪家工厂，是什么工种？

13、在下图中，二、三、四号位为前排，一、六、五号位为后排，六名排球队员分别穿1，2，3，4，5，6，号球衣，每个队员的站位号与他们的球衣号都不相同。一、四号位站主攻；二、五号位站二传，三、六号位站副攻。已知：

⑴1号、6号不在后排； ⑵2号、3号不是二传手； ⑶3号、4号不同排； ⑷5号、6号不是副攻。 判断每个队员的站位。

四 三 二 六 五 一 31

14、某学校举行了一次长跑比赛，有A、B、C、D、E、F、G、H八人参加比赛，比赛结束后，每人都说了两句话，即

A说：“B得了第一名；G不在我前面” B说：“E没有G跑得快；D不在H前面” C说：“H不比我跑得快；F不在D前面” D说：“我得了第二名；C不是最后一名” E说：“我不在F前面；B不在我前面” F说：“A得了第一或第二；E不是第四名” G说：“有两人同时到达终点；D不在我前面” H说：“A不在我前面，B不在D前面”

这八个人所说的十六句话，只有一句是正确的，你知道哪一句是正确的吗？八名运动员的名次如何？

15、某校四年级1班、2班举行跳棋比赛，两班各出五名选手进行循环赛，即每名选手都与对方五名选手各赛一盘，每天赛五场，共赛五天。1班的五名选手是甲、乙、丙、丁、戊

⑴第一天甲对手第二天与乙相遇； ⑵第三天被丁打败的选手第四天胜了戊 ⑶第四天戊 的对手第五天与乙下成和棋； ⑷第五天胜了丙的选手第三天败给乙； ⑸第二天戊 的对手最后一天与甲对阵。

问第三天与甲比赛的选手，最后一天与谁比赛？

16、在一次战役中，甲方俘虏了乙方100名官兵，一天甲方告知乙方的100名俘虏：明天会以一种特别的方式释放这100名俘虏中的一些人，这100名俘虏将被排成一列，他们的头上将随机地被戴上一顶黑色或白色的帽子，每个人都只能看见前面所有人的帽子的颜色，但不能看到后面及自己头上帽子的颜色。

甲方军官将从队伍最后一个人开始逐一询问同样一个问题：“请说出你头帽子的颜色”，如果回答正确，该俘虏将无条件获得释放，如果回答犯错误将被终身监禁，当然，每一个俘虏除能看到前面所有人的帽子颜色外，他还可以听到后面俘虏所回答的帽子颜色（最后一名俘虏除外）

作为为100名俘虏的指挥官将设计一个最好的策略告诉他的部下，在明天的“测试”中，使尽可能多的同伴获得释放。

请问：被俘方的指挥官将设计一个什么样的策略，使尽可能多的同伴（俘虏）获得释放，最多能释放多少个俘虏？

第七讲 抽屉原理

[同步巩固演练]

1、在一条长100米的小路一旁种101棵树苗，证明：不管怎样种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。

2、一位运动员用11秒钟跑完了100米。证明：在跑的过程中必有一秒钟，他跑的距离超过了9米。

3、在一副扑克牌中取牌，至少取多少张，才能保证其中必有3张牌的点数相同？ 4、从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。

5、20名乒乓球运动员进行单循环比赛。证明：在比赛过程中的任何时候，至少有两位选手比赛过的场次相同。

6、图书角有三种图书：科技书、文艺书、故事书。每位学生可任意借两本图书。问：至少应有多少学生来借书，才能保证其中必有4人借的书完全相同？

7、一个幼儿班有40名小朋友，现在有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会想到4件或4件以上的玩具？

8、有三张卡片，卡车上分别写着数字1、2、3。同学们任意选两张数字不同的卡片组成

32

一个两位数。问至少要有几个同学才能保证有两个人选的卡片所组成的两位数相同？

9、19朵鲜花插入4个花瓶里。求证：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。

10、在一个口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，一次至少摸出多少个小球，才能保证至少有4个球的颜色相同。

11、某班共有40名学生，他们都参加了课外兴趣小组，活动分英语组、书法组、钢琴组，每人可任选一个或几个组参加，那么班级中至少有多少个学生参加的组和组数完全相同？

12、一个口袋里有5个黑球，8个白球，9个红球，2个蓝球，一次至少取出多少个球才能保证至少有一个红球？

13、夏令营有400个小朋友参加，这些小朋友中至少有 人在同一天过生日。 14、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？

15．在正方体的每个面上，分别涂上红、黄、蓝三种颜色（每个面上只涂一色）。证明：至少有二个面涂有相同的颜色。

[能力拓展平台]

1、某商店有126箱苹果，每箱至少有120个，至多有144个，现将苹果个数相同的箱子作为一组，如果其中箱子数最多的一组有n个箱子，那么n的最小值是多少？

2、在一个边长为1分米的正三角形内任意放置10个点。证明：至少有2个点之间的距离不超过

1分米。 33、至少要给出多少个自然数（这些数可以随便写），才能保证其中必有两个数，它们的差是7的倍数？

4、在边长为4的正方形内，至少任意放进几个点，那么其中必有3个点，它们构成的三角形的面积不大于2？

5、从1，2，3…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有：（1）2个数互质；（2）2个数的差为50；（3）8个数，它们的最大公约数大于1。

6、任意给定1991个自然数。证明：其中必有若干自然数的和是1991的倍数。

7、将1，2，3，…，9，10这10个数按任意顺序排在一个圆周上。证明：在圆周上的10个数中，必有相邻的3个数，其和不小于17。

8、上体育课时，21名男女学生排成3行7列的队形做操。老师发现按大小个的排法可以从队形中划出一个矩形，站在这个矩形四个角上的学生或者都是男生或者都是女生。你能不能找一种排法，仍是站3行7列，但上面所说的矩形不存在？如果能，说出站法；如果不能，说明原因。

9、平面上给定6个点，没有三个点在一条直线上。证明：用这些点为顶点所组成的三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另一个三角形的最小边。

10、已知在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意点了五个点，求证：至少有两点之间的距离不大于

1。 2 第10题 [全讲综合训练]

1、（全国小学数学竞赛题）幼儿园小朋友分水果，有苹果、鸭梨和橘子三种，如果每

33

个小朋友任意拿两个，那么至少几个小朋友拿过后才一定会出现两人拿的水果是相同的。

2、（全国小学数学竞赛题）三（2）班有44名学生，他们都订了甲、乙、丙三种报刊中的若干种，有的只订甲，有的只订乙，有的只订丙，有的订甲乙，有的订甲丙，有的订乙丙，还有甲乙丙都订，问一定至少可以找出几个人订的报刊相同。

3、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣一分，不答不得分。要保证至少4人得分相同，至少需多少人参加竞赛？

4、有一批四种颜色的小旗，任意取三面排成一行，表示各种信号。某天上午共打了200次信号，其中至少有多少个信号相同？

5、在10×10方格纸的每个方格中任意填入1、2、3、4四个数之一，然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。在这些数中，至少有几个相同。

6、（第二届新苗杯竞赛题）五年级有165个学生，都参加篮球、足球和乒乓球三项体育活动中的一项、二项或三项，其中一定可以找到至少几个同学参加了项目相同的活动？

7、（第二届新苗杯竞赛题）六年级有168个学生，都参加篮球、足球、乒乓球和跳绳四项体育活动中的一项、二项、三项或四项，其中一定可以至少找出多少个同学参加了项目相同的活动？

8、黑色、白色、黄色、红色的筷子分别有1根、3根、5根和7根混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取多少根才能保证达到要求？

9、一个袋子中有100只红袜子，80只蓝袜子，60只绿袜子，40只白袜子，让你闭上眼睛从袋子中摸袜子，每次只许摸一只。至少要摸出多少只，才能保证摸出的这几只袜子中至少有一双颜色一样。

10、用2、4、6、8这四个数字任意写一个2000位数，从这个2000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数，这些四位数中至少有多少个相同？

11、（全国奥赛题，1992）如图，在23×23的方格纸中，将1至9这9个数字填入每个小方格，并对所有形如“ ”的五个方格中的数求和，对于小方格中数字的任一种填法，找出其中相等的和数，则一定能保证至少有多少个相等的和出现？

12、幼儿园买来不少白兔、狗、长颈鹿玩具，每个小朋友都分到其中的一、二或三种，某班有40人，他们当中至少有多少人拥有玩具相同？

13、任意多少个自然数，就可以保证其中必有四个数的和是4的倍数？

14、某班同学要从10名候选人中投票选举班干部。如果每个同学只能投票任选两名候选人，那么这个班至少应有多少个同学，才能保证必有两个或两个以上的同学投相同两名候选人的票？

15、（第十三届未来杯竞赛题）从4，8，12，16，20，…，72，76这列数（都是4的倍数，最大是76）任取11个数，其中至少有两个数的差为36，请说明为什么？

16、一个箱子里有50只球，其中，红、黄、蓝、墨球各10只，其余为紫球和绿球，这些球只是颜色不同，如果在黑暗中取球，要取出至少5只同色球，那么至少要取出多少只球？

17、从2，4，6，8，…，56，58这29个偶数中至少任意取出多少个数才能保证有两个数的和为62？

18、设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大的是。

19、两个布袋中有12个大小一样的球，且都是红、白、蓝色各4个。先从第一个袋中尽可能少且至少有两个颜色一样的球放入第二个袋中，再从第二个袋中拿出尽可能少的球放入第一个袋中，使第一个袋中每种颜色的球不少于3个。这时两个袋中各有多少个球（拿球时不许看）。

20、任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0及7组成的数。

34

下学期

第八讲 数的整除

[同步巩固演练]

1、小光买了3支铅笔、5支圆珠笔、8支 笔记本和12块橡皮，共用去12元1角，铅笔1角2分1支，圆珠笔8角1支，售货员的账算错了没有？

2、光华小学为同学们代买179支铅笔和179块橡皮，铅笔8角1支，橡皮3角1块，营业员告诉采购员要付186.9元，采购员并没有具体核算就告诉营业员算错了。他怎么知道的呢？

3、整数A427B6能被72整除，求A和B各表示多少？ 4、能被4、5、6整除的最大三位数是多少？

5、已知一个自然数A，它能被15整除，且它的各个数位上的数字只有2、5两种，则这种最小的六位数A是多少？

6、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除 ，这样的六位数中最小的是多少？

7、四位数8A1B能同时被5、6整除，则这个四位数是多少？

8、一个两位数，将它的十位数字与个位数字互换所成的两位数与原数的乘积是3154，求原数。

9、有一个六位数□1989□能被44整除，求这个六位数。

10、已知75|3A6B5，这个五位数最大是多少？

11、五位数4H97H能被3整除，且末两位7H能被6整除，求这个五位数。 12、九位数2AB2AB2AB是91的倍数，求这个九位数是多少？

13、填上适当的数字，使36□□这个四位数能同时被2、3、4、5、9整除。 14、连续三个自然数的积一定是6的倍数，为什么？ 15、连续四个自然数的积一定是12的倍数，为什么？

16、如果六位数□1993□能被33整除，这样的六位数有哪些？

17、已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，则a= 。 18、四位数7□4□能被55整除，这样的四位数有哪些？

19、一个七位数的各位数字均不相同，并且它能被11整除，这样的七位数中，最大的一个是多少？

20、从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少？

21、一个无重复数字的五位数3□6□5，千位与十位数字看不清了，但知这个数是75的倍数，问这种五位数有哪几个？

22、一个五位数，各个数位上的数字均不相同，它能被3、5、7、11整除，这样的数中最大的是多少？

23、一个六位数的各位数字均不相同，最左边一位的数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是多少？

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24、商店里有6只不同的货箱，分别装有货物15、16、18、19、20、31千克。两个顾客买走了其中5箱货物 ，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？

25、731□是一个四位数，在□内依次填入三个数字，使组成的三个四位数依次能被9、11、6整除，这三个数字之和是多少？

26、将1，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数除以11的余数。

27、55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少，但也多于10个，则甲、乙、丙分别得苹果多少个？

28、三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数，这个三位数是多少？

29、在1至100这100个自然数中，有多少个不能被3或7整除？

30、在368后面补上三个数字组成一个六位数，使它同时能被3，4，5整除，这样的六位数中最小的是多少？

31、用1至9这九个数字每个数字各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，则这三个数分别是多少？

32、已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和4两种，A最小是多少？

[能力拓展平台]

1、从0、2、3、7、9这五个数字中选出三个数字组成三位数。在所有这样的三位数中，能被3整除的数多，还是能被9整除的数多？多多少个？

2、有一类自然数111…1，它的各位数字都是1，并且它们都是7的倍数，也是37的倍数，还是11的倍数。这样的自然数中最小的一个是多少？

3、有一类三位数，它能被11整除，如果去掉末位数字，所得的两位数又能被18整除，这样的三位数有哪些？

4、一个六位数，六个数字各不相同，且是17的倍数。符合条件的最大六位数是多少？ 5、三位数的百位、十位、个位的数字分别是5、a、b，将它们接连重复写99次成为：5ab5ab?5ab如果此数能被91整除，这个三位数5ab是多少？ ???????99个5ab6、将自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？

7、某小学四、五六年级学生下午参加劳动，其中一个班的学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余学生到校办工厂劳动，且到建筑工地搬砖人数是到校办工厂劳动人数的2倍。各个班级参加劳动人数如下表，留下来打扫卫生的是哪个班？ 年 级 四 五 六 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 班 组 1 人 数 55 54 57 55 54 51 54 53 51 52 48

8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字每字各用一次，写出三个能被9整除的尽可能大的三位数，这三个数各是多少？

9、某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？

10、将自然数1、2、3、4、…依次写下去组成一个数12345678910111213……如果写到某个自然数时，所形成的数恰好第1次能被72整除，那么这个自然数是多少？

11、将自然数10，11，…，50从左到右右依次排列成一个多位数101112…4950，求这个多位数除以11的余数。

12、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除。

13、一个位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是2002，问这个六位数是多少？

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14、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。

15、四个连续自然数的和是一个在400至440之间的三位数，并且这个和能被9整除，求这四个连续自然数。

16、两个自然数的各位数字中都只用到1、4、6、9这四种数码。问：是否有可能使其中的一个自然数恰好是另一个自然数的17倍？

17、将自然数N接在任一自然数的右面（例如将2接在35的右面得352），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为“神奇数”问：在小于130的自然数中有多少个“神奇数”？ [全讲综合训练]

1、a、b是两个小于10的任意自然数(a≠b)试证明由这两个数字组成的两个两位数的差能被9整除。

2、甲乙两数，甲数=400400乙数=4000，且甲数与乙数的和的万位数字不是?0，甲数÷???若干个00，甲、乙两数分别是几？

3、一类四位数，能同时被5、6、7整除。如果把这样的四位数按从小到大的顺序排成一列，位于最中间的是哪一个四位数。

4、试求三个不同的自然数a、b、c，使其中任两个数的积都能被它们的和整除（即 a×b÷（a＋b），a×c÷（a＋c），b×c÷（b＋c）都是整除）。

5、四个小朋友计算一道两个加数是四位数并且互为倒序数的加法（如：1537＋7351、6124＋4216等）。甲的答案是14221；乙的答案是14222；丙的答案是14223；丁的答案是14224。已知甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学的结果是正确的。那么做对的同学是谁？为什么？

6、（第四届国际数学奥赛题）求适合下列条件的最小自然数：（1）它的个位数字是6；（2）把它的个位数字6去掉并移至最前面，所得数是原数的四倍。

7、1～9九个数字按图所示的顺序，排成一个圆圈，请在某两个数字之间剪开，然后分别按顺时针方向排列成两个九位数，如果所得两数的差能被396整除，应在何处剪？

第7题

8、有一个1999位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a,a的各位数字之和为b,b的各位数字之和为c等于多少？

9、甲、乙两人进行了下面的游戏，两人先约定一个整数N然后由甲开始，轮流把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字之填入下面的任一方格中

每一方格中只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数，如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这六位数不能被N整除，就算甲胜，设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜？

10、将12至2000这1989个自然数依次写出得一位数1213141516…1998119992000，试求这个多位数除以9的余数。

11、下图是一个由三个相同的小正方形组成的“L”形，问能否用足够多的这种小“L”形盖满1997×1999的长方形棋盘？

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第11题

12、用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除,前两位能被2整除，前三位能被3整除，…，前九位能被9整除，已知第七位是7，求这个九位数。

第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9.1约数、倍数 [同步巩固演练]

1、试求下列各数的约数的个数： （1）3136； （2）46305 2、试求下列各数的约数的和： （1）1998： （2）16200

3、甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。 4、100以内能被3与7整除的最大奇数是几？最大偶数是几？ 5、小于200的有14个约数的自然数是多少？ 6、有奇数个约数的三位数是多少个？

7、在所有两位数中，哪个数的约数最多？最多有多少个约数？ 8、有12个数约数的最小自然数是几？

9、求出不大于30且有八个约数的最大自然数。 10、求小于1000的只有15个约数的最大自然数。 11、能同时被2，3，5，7整除的最小四位数是几？ 12、如果abcde×4=edcba，求五位数abcde。

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13、把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11倍的数，求此二个数。

14、四个连续的自然数的积是3024，求此四个数。

15、十个连续的三位数，最大不超过130，这十个数的和是77倍数，求这十个数。 [能力拓展平台]

1、求50至70之间只有4个不同约数的所有自然数。

2、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a与b。

3、一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，求这个数。

4、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？

5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和，则称此数为完全数，已知30以内有两个完全数，试把它们找出来，并请找出，在496，996，4128中哪几个完全数？

6、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1，1，2，3，5，8，13，21，…。在这串数的前2000个数中，共有多少个6的倍数。 9.2 最大公约数、最小公倍数

[同步巩固演练]

1、求35，98，112的最大公约数与最小公倍数。 2、求403，527，713的最大公约数与最小公倍数。

3、老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？

4．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？

5．某校全体学生列队，不论他们人数相等地分成2队，3队，4队，5队，6队，7队，8队或9队，都会多出1人，那么该校至少有多少名学生？

6．已知两数的最大公约数是8，最小公倍数是64，求这两个数。 7．两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。

8．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是16，求这两个整数。

9．两个自然数的差是3，它们的最大公约数与最小公倍数的积是180，求这两个数。 10．一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角中树，每2棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？

11．已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个自然数。

12．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？

13．将长25分米，宽20米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？

14．一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克，求一个地雷的重量？

15．甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54人、48人和72人，现要在各班内分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同。锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班各有多少个小组？

16．设计一种底面为正方形的包装箱，装运四种不同规则的象棋。每种棋盒底面都是正方形，边长分别是21厘米、12厘米、14厘米和10.5厘米。要使包装箱不论装运哪一种规格的象棋都能铺满底面，问包装底面的边至少是多少厘米？

17．一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它裁成若干个同样大的正方形，纸张不能有剩余，正方形边长最大多少厘米？

18．某数与24的最大公约数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？ 19．所有形如abcabc的六位数中（其中a，b，c均为从0到9的整数a≠0）它们的最大公约数是多少？

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20．某公共汽车站有三条线路通往不同地方。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次，三条线路在同一时间发车后，再过多少分钟又同时发车？

[能力拓展平台]

1、（北京市第三届迎春杯试题）四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？

2、（天津市“我爱数学”试题）两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是几？

3、（南京市第二届“兴趣杯”决赛题）七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？ 4、两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？

5、设a与b为两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72那么a与b之和可以有多少种不同的值？

6、在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数

□=4……4 □÷ □=5……5 □=6……6

7、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，至少可截成多少段？

8、将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

9、一排电线杆的每相邻两根的距离，原来都是45米，现在改成60米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不移动？如果马路全长5400米，一共有多少根可以不移动？

10、某厂加工一种机器零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配几个工人？

11、两个数的差是48，最小公倍数是60，求这两个数。

12、（全国小学数学竞赛试题）甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数相差为18，求此二数。

13、（第二届华杯赛决赛一试题）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等分，第二种刻度线把木棍分成12等分，第三种刻度线把木棍分成15等分，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

14、写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。

15、用2、3、4、5、6、7六个数组成两个三位数，使这两个三位数与540的公约数尽可能地大。

16、写出三个小于10的自然数，使它们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1。

17、已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,满足上述要求的数组{a，b，c}共有多少组？ [全讲综合训练]

1、王斌每隔7天去图书馆借一次书，李兴每隔10天去借一次书，陈军每隔15天去借一次书。已知4月20日他们在一起借书，那么离4月20日最近的、他们三人又在同一天借书是几月几日？

2、化肥厂包装车间对化肥进行包装，需要经过：扎编织袋、装化肥入袋，缝袋口以及搬运4道工序。每人每小时能扎编织袋24个，或装化肥36袋，或缝袋口18只，或搬运化肥16袋。这个车间至少要多少名工人才能进行合理分工？

3、从甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线，现在改成每隔54米安装一根电线杆。

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在安装过程中，除两端的两根不需要移动外，途中还有14根不需要移动。那么甲、乙两地相距多少米？

4、甲、乙两位同学写了两个数给老师看，老师看后告诉大家：甲、乙写的是两个不互质的自然数，甲写的数除以9，乙写的数除以10后，不改变这两个数的最大公约数，甲、乙写的两个数的最小公倍数是180。你知道甲、乙两位同学分别写的是什么数？

5、设A，B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？

6、已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数。

7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔12

13米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟243米设有一个陷阱，当他们之中有一个掉进陷8阱时，另一个跳了多少米？

8、某班学生人数不超过60人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等，已知这次测验该班有

111的学生得优，的学生得良，的学生及格，问该班不及格的学生有多少723人？

9、（第二届华杯赛试题）有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

10、（全国奥赛题，1992）把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任两个数的最大公约数都是1，那么，至少要分几组？

11、把1～1999这1999个数分成n个小组，使每个数都至少在一个小组中，且第一组中没有2倍数，第二组中没有3倍数，第三组中没有4的倍数，…，第n组中没有n＋1的倍数，那么，n至少是几？

12、一组五个连续自然数的和能分别被2，3，4，5，6整除，求满足此条件的最小一组数。

13、有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，…15号说：“这个数能被15整除”1号同学一一验证后发现，只有（编号连续的）两位同学说得不对，其余同学都对，问：

（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ （2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。

第十讲 质数、合数和分解质因数

10.1质数和合数

41

[同步巩固演练]

1、（南京市外校招生试题）若a是最小的自然数，b是最小的质数，c是最小的合数则a＋b＋c= 。

2、把1至8这8个自然数填入图5-2大圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法）。

第2题 3、两个质数的和是99，这两个质数的积是多少？

4、两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？ 5、有7个不同的质数，它们的和是偶数，其中最小的质数是几？

6、由1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成的九位数可以是质数吗？ 7、写出10个连续自然数，个个都是合数。 8、3个质数倒数之和是

167，则这三个质数的和是多少？ 2859、有两个质数的积是65，它们的和是多少？差是多少？

10、19乘以一个数积是质数；乘以另一个数积是合数，并能被1，2，3，4，…等自然数整除，问这两个数（不能是分数或小数）分别是什么数？ [能力拓展平台]

1、（全国奥赛决赛题，1990）用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只用到1次，那么，这9个数字最多能组成几质数？

2、（南京第二届兴趣杯赛题）如果a是自然数，（a×a－4）÷7是质数，那么a的最小两个数值是几？

3、（全国竞赛题）请给出5个质数，把它们按从小到大的顺序排列起来，使每相邻两数的差都是6。

4、（北京市第七届迎春杯试题）9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有几个？

5、（第一届华杯赛一决赛题）如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等，问六个质数的积是多少？

第5题

6、（第六届华杯赛试题）“哥德巴赫猜想”是说：每个大于2偶数都可以表示成两个质数的和，问168是哪两个两位质数的和，并且其中一个的个位数是1？

7、（第五届华杯赛复赛试题）把37拆成若干个不同数的和，有多少种不同拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到乘积中哪个最小？

42

8、（第五届华杯赛决赛试题）27名小运动员所穿运动服的号码恰是1，2，3…，26，27这27个自然数，这些小运动员能否站成一个圆圈，使任意两个相邻运动员之和都是质数？说明理由。

10.2 分解质因数 [同步巩固演练]

1、相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少？ 2、有5个连续偶数的积是3840，求这个数各是多少？ 3、有5个连续奇数的积是945，求这五个数各是多少？

4、五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄。

5、有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c10，则a×b×c=？

6、求自然数N，使得它能被5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）。 7、自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少？

8、有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。

9、五个儿童的年龄的和是37，积是18480，如果每一个儿童的年龄都不到13岁，五个儿童的年龄各是多少？

10、用几只船分三次把90袋化肥载过河去，已知每只船载的化肥袋数相同，且至少载6袋，每次应有多少只船？每只船载多少袋化肥？

11、学生1430人参加团体体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100人到200人之间，有几种排法？

12、某班同学在王老师带邻下去植树，学生恰好能分成人数都相等的3组，如果老师与学生每人种树的棵数一样多，共种884棵，那么每人种树多少棵？（学生人数50人左右）

13、一些真分数的分子与分母互质，且分母的乘积是780，这样的真分数有多少个？ [能力拓展平台]

1、自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和该数本身），试问，数a×b能不能恰有1000个自然数因数（包括1和该数本身）。

2、有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。 3、求2310除它本身以外的最大约数。

4、自然数a乘经2376，正好是一个平方数，求a的最小值。 5、三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？

6、将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组4个数，要使各组4个数的乘积相等。则其中一组的4个数是14， 、 、 。

7、有24盆花，分成几堆（至少分2堆），使每堆的盆数都相等，可以怎样分？

8、将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数。

9、边长是自然数，面积是165的形状不同的长方形共多少种？

10、如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数同时能被30整除，求这两个数。

[全讲综合训练]

1、50以内，由1～7组成的两位数的质数共有多少个？

2、用1，2，4，5，8中的三个数字组成、最大的三位质数。 3、（“小学爱数学”大江杯赛题）100×101×102×…×199×200这101个数相乘，积的末尾上连续有多少个“0”？

4、（全国奥赛题，1992）一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，且它等于两个两位数的积，求此自然数。

5、（全国奥赛题，1992）如果自然数有四个不同的质数，那么，这样的自然数中，最小的是几？

6、（全国数学竞赛题）在947后面添上三个不同的数字，组成一个能被2，3，5整除

43

的六位数，这个数最小是几？

7、（全国奥赛题，1992）找出1992的所有不同的质数，它们的和是多少？

8、（南京市兴趣杯赛题）现有四个数：76550，76551，76552，76554，其中有两个数的乘积能被12整除，写出所有这样的两个数。

9、将60拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么其中最大质数是几？

10、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。 11、两个大于10的合数的和是29，这两个合数分别是多少？

12、一个自然数a是一质数，而且a＋12，a＋22也是质数，那么a最小是多少？

13、（第三届华杯赛复赛题）173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的三个四位数，依次可被9，11，6整除”，问数学老先后填入的三个数字的和是多少？

14、把26，33，34，35，63，85，91，143成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成多少组？

15、小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？

16、A=61×62×63×…×86×87×88。问A能否被6188整除？

17、（第一届祖冲之杯赛题）如果一个数，将它的数字倒排后所得数仍是这个数，我们就称这个数为“回数”例如，22，464，25752等都是“回数”“1991”这个数具有如下两个性质：

（1）1991是一个“回数”

（2）1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，即1991=11×181，其中11，181既是回数又是素数。

在1000到2000这1000个数中，除1991外，具有性质（1）和（2）的整数还有哪些？ 18、（第二届华杯赛决赛二试题）已知五个数依次是13，12，15，25，20，它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数相邻两个相乘得三个数，它三个数每相邻两个相乘得两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0（如图）

第18题

44

第十一讲 奇数和偶数

[同步巩固演练]

1、有15支球队进行比赛，如果要求每支球队都与其他5支球队比赛一场，能办到吗？为什么？

2、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？

3、已知A、B、C、中有一个是7，一个是8，一个是9，则（A－3）×（B－4）×（C－5）的结果一定是奇数还是偶数。

4、1987个球无论多少人采用什么样的分法，最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数。为什么？

5、小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张 纸的正反两面编号（从第1页编到第192页），小丽从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加。试问：小丽所加得的和数能不能是1998？

6、任意写1000个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？为什么？

7、能不能将1010写成10个连续自然数的和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。

8、有九只杯口全部向上的杯子，每次将其中四只同时“翻转”，问能不能经过若干次“翻转”使杯口全部向下？为什么？

9、将36支香插进9个香炉中，要使每个香炉中香的支数都是奇数，能否做到？

10、某教室有座位是三排，每排五把椅子，每个椅子上坐着一个学生，要让这些学生都必须换到与他相邻（前、后、左、右）的某一个同学的座位上，能不能实现？ [能力拓展平台]

1、平面上有99个点，每三个点都不在一条直线上，现在从每个点引出五条直线和其余的任意五个点相连，你能连成吗？如果不行，请说明道理。

2、设O点是正12边形，A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12（见图）的中心，用1，2，3，…11，12给正12边形的和边任意编号，又用同样的这12个数把线段OA1，OA2，OA3，…OA12也任意编号，问能不能找到一种编号法，使三角形A1OA2，A2OA3，…A11OA12，A12OA1各边上的号码和都相等？能的话给出一种编法；能的话，请说明原因。

45

第2题

3、任意改变某个三位数的各数字的次序后得到一个新的三位数（比如三位数432可以改变为432、324等），问这个新三位数与原来那个三位数的和能不能等于999？如能，试举一例；如不能，请说明理由。

4、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8、8、8？

5、能不能将1～1993这1993个自然数分成若干组，使得每组中都有一个数等于同组中其余各数的和？为什么？

6、有9只杯口向上的茶杯，每次翻动其中6只，能否翻若干次后使杯口向全部向下？ 7、有20个1升的的容器，分别盛有1，2，3，…，20厘米3的水，允许由容器A向B倒进B容器内所盛水体积相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）问：在若干倒水以后能否使其中11个空器中各有11厘米3的水？

8、共考20道题，规定答对一题给5分，答给1分，答错倒扣1分，证明：得分总数一定是偶数？

9、设a1,a2,…,a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令 b1=a1－a2,b2=a3－a4,…,b32=a63－a64； c1=b1－b2,c2=b3－b4,…,c16=b31－b32； d1=c1－c2,d2=c3－c4,…,d8=c15－c16； ……

这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数？ [全讲综合训练]

1、下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□＋□=□ □－□=□

□×□=□ □÷□=□

2、任意取出1234连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？

3、一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？

4、能不能将1～1993这1993个自然数分成偶数组，使得每一组中最大数都等于这一组内其余各数和的一半？

5、一个游戏的规则为：在黑板上写上三个自然数，然后随便擦去其中一个数，换上未擦去的两个数的和减1，这样做了多次之后，黑板上得到17、123、139这三个数，请问黑板上开始写的三个数可以是2、2、2或3、3、3吗？

6、有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？

7、一次数学竞赛共30题，答对一题得2分，错1题扣1分，不答的不扣分，也不加分，考试结束，小华得47分，他只记得未答题数是偶数，他答对几道？

8、从1，2，3，…，100中任选两个不同的数，可以组成两个加法算式（8＋2与2＋8

46

算两个），这些算式中，有的和是奇数，有的和是偶数，在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多？多多少？

9、桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻其中的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚，按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。

10、在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分，有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局，现知，其中有一位学生共得7分，另一学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。

第十二讲 带余除法

12．1一般余数问题 [同步巩固演练]

1． 两数相除，商是12，余数是8，被除数比除数多822，求除数。 2． 一个两位数除321，余数是48，这个两位数是多少？ 3． 641除以一个两位数，余数是46，这个两位数是多少？ 4． 1170除以一个两位数，余数是78，这个两位数是多少？

5． 244除以一个两位数的余数是13，则符合条件的所有两位数有哪些？ 6． 109除以一个两位数的余数是4，这些两位数有哪些？ 7． 哪些自然数除以6所得的商与余数相同？

8． 一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7, 被9除余8,被10除余9,求出这样的四位数。

9． 一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？

10．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？

11．整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9，所有余数的和是多少？ [能力拓展平台]

1．（第三届《小学生数学报》竞赛题）五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？

2．（第二届新苗杯数学联赛试题）幼儿园有糖115颗，饼干148块，桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个，问这个大班的小朋友最多有多少人？

3．在放暑假的八月份，小明有五天在姥姥家过的，这五天的日期除一天是合数外，其他四天的日期都是质数，这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1，问小明是哪几天在姥姥家住的？

4、有5个不同的自然数，它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是什么？

5、自然数a除以25的余数是10，自然数b除以25的余数是17，如果a大于b，那么a减b的差除以25的余数是多少？

6、一个三位数除以37的余数是10，这个三位数减一个两位数的差除以37的余数是27，这个两位数除以37的余数是多少？

7、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯炮或明或暗，十分有趣，这200个灯炮按1～200编号，它们的亮暗规则是：

第一秒，全部灯泡变亮；

第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；

第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮； 一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来一亮暗状态，这样继续下去，每4分钟一个周期，问：第200秒时，亮着的灯泡有多少个？

8、能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？

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9、某高场向顾客以放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券为“幸运券”例如如号码0734，因0＋7=3＋4，所以这个号码的购物券是幸运券，试说明，这个商场所以的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。 12·2 同余问题 [同步巩固演练]

1、今天是星期二，从今天算起，第100天是星期几？ 2、1990年元旦是星期一，2000年五月一日是星期几？ 3、若今天是星期二，在经过19901990??1990??????天是星期几？

1991个19904、被3除余2，被5余3，被7除余4的最小自然数是多少？

5、有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

6、某数被3除余1，被5除余3，被7除余2，这个数至少是多少？

7、有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为0），问这个整数是几？

8、某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？

9、390、369和425被某数除时余数相同（某数≠1），试求2581被这个整数除时的余数。

10、现有水果564千克，分装筐中，每筐54千克，求最后不足一筐的千克数。

11、仓库里有六桶油，分别盛有菜籽油、花生油和豆油，各桶分别盛油16千克、23千克、19千克、21千克、13千克、15千克，可是不知哪一桶盛的是什么油，豆油有多少千克？哪几桶是菜籽油？

12、在自然数中，从1开始往后数，第100个不能被7整除的数是多少？ 13、在1～3000之间能同时被3、5、7除都余2的数有多少个？ 14、被整除数除以除数11，余数是7，如果被除数扩大6倍，余数是 多少？

15、一副棋，六颗六颗数，会剩下五颗。那么八副同要的棋，六颗六颗数，会剩下几颗？

16、求567987÷10的余数。 [能力拓展平台]

1、（北京市第四届迎春初一竞赛试题）如果69、90、125能被自然数N（N不等于1）除，所得余数相同，求81被N除的余数。

2、（陕西省竞赛题，1994）有四个数：2613、2243、1503、985，它们分别被同一个数相除所得的余数相同，且余数不为零，求此除数和余数。

3、（第四十四届莫斯科数学竞赛林匹克试题）自然数A被1981除余数是35，被1982除的余数也是35，它被14除的余数是多少？

4、（第三届华杯赛复赛题）某年的10月有五个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

5、（香港竞赛题，1998）有一种挂历上印有月、日、星期，为节约起见，可将此挂历留作日后使用，问公元1998年的挂历，最早可在哪一年再使用（公元2000年是闰年）？

6、（汉城小学生竞赛题）设A是一个有35位循环节的循环小数A=0.a1a2a3…a35:把A的所有奇数数位划去，得到一个新的无限小数；A1=0.a2a4a6a8……再把A1的所有奇数位划去，得到一个新的无限小数A2=0.a4a8an……如此继续下去，问能否经过若干次划去，仍得到原来的循环小数？

7、（河南省初中竞赛题）一个盒子里有不多于200个棋子，如果每次2个，或每次3个，或每次4个，或每次6个地取出，最终盒内都剩一个棋子；如果每次11个地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少个棋子？ [全讲综合训练]

1、一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？

48

2、如果101位数 33??33a555?5能被7整除，那么数字a是多少？ ???????50个50个3、科学家进行一项科学实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问第一次记录时，时钟指向几？

4、将自然数1～40从左至右依次排列成一个71位数，则这个数除以11的余数是多少？ 5、一个每位数字都是3的1992位数，除以13，则商的第100位（从左往右数）数字是多少？商的个位数是多少？最后的余数是多少？

6、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整除题的余数最大。

□÷25=104……□

7、一排吊灯，三个三个数剩两个，四个四个数剩三个，六个六个数剩五个，这排吊灯至少有多少个？

8、一盒围棋子不到200个，三个一堆缺两个，五个一堆多三个，七个一堆多五个，这盒围棋子有多少个？

9、一盒围棋子，四颗四颗数多三颗；六颗六颗数多五颗；十五颗十五颗数多十四颗，棋子数在150～200之间，这盒围棋子有多少颗？

10、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是多少？ 11、50枚棋子围成一个圆圈，依次编上号码1，2，3，…，50。按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是39，那么第一个被取走的棋子是多少？

12、自然数A与B之差是19，A与B的最大公约数最大可以是多少？

13、a和b是1～9中不同的数码，ab和ba的最大公约数最大能是多少？ 14、用一个奇数去除288和214，所得的余数都是29，求这个奇数？ 15、1994199411的余数是几？ ??1994??????÷

1994个199416、某自然数m在除13511、13903及14589时余数相同，那么m的最大值是多少？ 17、在298后面补上三个数字，使组成的六位数同时能被476整除。

18、在569后面补上三个数字，使组成的六位数同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，这个六位数是多少？

19、（北京市第二届小学生迎春数学竞赛决赛题）有甲、乙、丙三人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米，如果三个人同时、同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道上行走，问：多少分钟后三个人又可以相聚？

20、（北京市第二届小学生迎春数学竞赛决赛题）从401到1000的所有整数中，被8除余数是1的数有多少个？

21、a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？

22、1至1001各数按以下格式排表，如果用正方形框如表中所示框住9个数，这9个数的和能否等于（1）1996，（2）2529，（3）1989。如果不能，简单说明理由；如果能，写出正方形框中的最大数与最小数。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 … … 995 996 997 998 999 1000 1001

23、将奇数按图排好，各列分别用A、B、C、D、E、F、G作为代表，则1991所在列以字母 作为代表。

A B C D E F G 1 3 5 7 9 11 23 21 19 17 15 13

25 27 29 31 33 35 47 45 43 41 39 37

49

49 51 53 55 57 59 … … …

24、两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，第一代表团余下的13人去与第二人代表团余下的成员正好又坐满一辆车，参观完后，第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每卷胶卷可拍36张照片，问：拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

第十三讲 完全平方数

[同步巩固演练]

1、已知四个数，35□2，3□57，3□36，□329，其中哪几个数可以写成完全平方数。 2、能不能找到自然数n，使n是完全平方数，且n+1999也是完全平方数。 3、能不能找到一个自然数n，使n2+2n+4能被5整除？

4、若1×2×3×…×n+3是一个自然数的平方，试确定n的值。

5、（全国奥赛题，2000）一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？ [能力拓展平台]

1、（全国奥赛题，1989）把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？

2、一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后是一个完全平方数，A加上B的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是多少？

3、如果x3=1999，y2=1999，其中x、y＞0，介于x与y之间共有多少个整数。

4、（我爱数学夏令营数学竞赛试题，1999）五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数。那么这样一组数中的最大数的最小值是多少？

5、（我爱数学夏令营数学竞赛试题，2002）一个四位数具有这样的性质；用它的后两位数（如果它的十位数是零，就只用个位数字）去除这个四位数得到一个完全平方数（即一个自然数的平方），且这个完全平方数正好是四位数的前两位数加1后的平方，试写出所有具有上述性质的四位数。

[全讲综合训练]

1、（全国奥赛题，1997）下式中的“香港”“中国”均代表一个两位自然数，那么，香港= ，中国= ，（香港）2+1997=（中国）2+1949

2、第九届华杯赛试题）三个连续正整数，中的一个是完全平方数，将这样的三个连续

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