2022届浙江省金华市东阳中学高三上学期10月阶段考试数学试题(解
更新时间:2023-04-16 13:47:01 阅读量: 实用文档 文档下载
第 1 页 共 18 页 2021届浙江省金华市东阳中学高三上学期10月阶段考试数
学试题
一、单选题
1.已知集合{1,0,1,4,5}A =-,{2,3,4}B =,{02}C x R x =∈<<∣,则()A
C B =( )
A .{4}
B .{2,3}
C .{1,2,3,5}-
D .{1,2,3,4} 【答案】D
【分析】先根据交集定义计算A C ,再由并集定义求()A C B . 【详解】由题知,{1}A
C =,∴(){1,2,3,4}A C B =. 故选:
D .
【点睛】本题考查集合交、并运算,掌握集合运算的定义是解题基础. 2.已知复数3i z =+(i 为虚数单位),则2z =( )
A .106i -
B .106i +
C .86i -
D .86i +
【答案】D
【分析】利用复数的乘法计算即可.
【详解】因为3i z =+,故229686z i i i =++=+,
故选:D. 【点睛】本题考查复数的乘法(或乘方),注意在计算的过程中,可以把i 看成字母参与运算,再利用21i =-来化简即可,本题属于容易题.
3.已知x 是实数,则“45x x
+>”是“4x >的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用两个条件对应的集合的包含关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】45x x +>等价于2540x x x
-+>,解得01x <<或4x >. 记集合()()0,14,A =?+∞,()4,B =+∞,
因为B A,所以“4
5
x
x
+>”是“4
x>”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】(1)若p是q的必要不充分条件,则q对应集合是p对应集合的真子集;(2)p是q的充分不必要条件,则p对应集合是q对应集合的真子集;
(3)p是q的充分必要条件,则p对应集合与q对应集合相等;
(4)p是q的既不充分又不必要条件,q对的集合与p对应集合互不包含.
4.若实数x,y满足条件
20
x y
x y
x
+-≥
?
?
-≤
?
?≥
?
,则2
z x y
=-()
A.有最小值,无最大值B.有最小值,有最大值
C.无最小值,有最大值D.无最小值,无最大值
【答案】C
【分析】首先画出不等式表示的可行域,平移目标函数表示的直线,由图象确定2
z x y
=-是否有最值.
【详解】画出不等式表示的可行域,如图所示,
目标函数2
z x y
=-表示斜率为
1
2
的直线,当直线2
z x y
=-经过点B时,直线2
z x y
=-在y轴的截距最小,此时z最大,如图可行域向上无边界,所以直线2
z x y
=-在y轴的截距没有最大值,所以z没有最小值.
故选:C
【点睛】本题考查了简单的线性规划,属于基础题型,本题的关键是正确画出可行域. 5.设函数()()21
ln1
1
f x x
x
=+-
+
,则使()()
21
f x f x
>-成立的x的取值范围是()
A.
1
,1
3
??
?
??
B.()
1
,1,
3
??
-∞?+∞
?
??
第 2 页共 18 页
第 3 页 共 18 页 C .11,33??- ???
D .11,,33????-∞?+∞ ? ????? 【答案】A
【解析】试题分析:()()21ln 11f x x x =+-
+
,定义域为,∵,∴函数为偶函数,当时,函数单调递增,根据偶函数
性质可知:得()()21f x f x >-成立,∴
,∴,∴的范围为1,13?? ???
故答案为A.
【考点】抽象函数的不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题,属于基础题型,应牢记.根据函数的表达式可知函数为偶函数,根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增,根据偶函数关于原点对称可知,距离原点越远的点,函数值越大,把()()21f x f x >-可转化为
,解绝对值不等式即可.
6.在同一个直角坐标系中,函数a y x =,log a y x b =+(0a >且1a ≠)的图象如图,则a ,b 的取值可能是( )
A .1,1a b >>
B .01,01a b <<<<
C .01,1a b <<>
D .1,01a b ><<
【答案】B 【分析】直接观察图像可得a 的值,特殊值代入可确定b 的范围.
【详解】设()a
f x x =,()lo
g a g x x b =+, 由图像观察,
01a <<,
()11f =,()1g 1lo a g b b =+=,
第 4 页 共 18 页 则01b <<;
故选:B.
【点睛】本题主要考查了对数函数以及幂函数的图像问题.属于容易题.
7.已知函数()f x 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x
+=与()y f x =图象的交点为()()()11221010,,,,,,x y x y x y ???则交点的所有横坐标和纵坐标之和为( ) A .10
B .10-
C .5
D .20 【答案】A
【分析】由题设条件,可得()()2f x f x +-=,可得()f x 关于点()0,1对称,根据对称性,可得解.
【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-
即为()()2f x f x +-=
可得()f x 关于点()0,1对称 又函数1x y x +=,即11y x
=+的图象关于点()0,1对称, 即若点()11,x y 为交点,则点()11,2x y --也为交点,
同理若()22,x y 为交点,则点()22,2x y --也为交点,
……
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()11221010...x y x y x y ++++++= ()()()()()()111122221010101012+2+...+22x y x y x y x y x y x y ??++-+-++-+-++-+-?
?10=
故选:A.
【点睛】本题考查了函数对称性的综合应用,考查了学生综合分析,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.
8.定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,
,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4,则不同的“规范01数列”共有
A .18个
B .16个
C .14个
D .12个
【答案】C
第 5 页 共 18 页 【详解】试题分析:由题意,得必有10a =,81a =,则具体的排法列表如下:
,01010011;010101011,共14个
【点睛】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来,常常会达到出奇制胜的效果.
9.已知x ∈R ,若函数()2
f x x x a =--有4个零点,则方程210ax x ++=的实数根个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .与a 的取值有关
【答案】C
【分析】由()0f x =可得出2x x a =-,将问题转化为曲线2y x 与曲线y x a =-有4个交点,数形结合可求得实数a 的取值范围,进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数.
【详解】由()0f x =可得出2x x a =-,作出函数2y x 与函数y x a =-的图象如下图所示:
第 6 页 共 18 页
,,x a x a y x a x a x a -≥?=-=?-+,若使得函数()2f x x x a =--有4个零点, 则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点,
联立2y x a y x
=-??=?可得20x x a -+=,1140a ?=->,解得14a <, 联立2y x a y x =-+??=?
可得20x x a +-=,2140a ?=+>,解得14a >-, 当0a =时,则()()21f x x x x x =-=-,令()0f x =,可得0x =或1x =±, 此时,函数()y f x =只有3个零点,不合乎题意.
综上所述,实数a 的取值范围是11,00,44????- ? ?????
. 对于二次方程210ax x ++=,140a ?=->,
因此,关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根.
故选:C.
【点睛】本题考查二次方程根的个数的判断,同时也考查了利用函数的零点个数求参数,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
10.设函数2,11()2,11
x k x x f x kx x ?+≤-≥=?-<
A .若[()]f g x 的值域为[0,)+∞,则13
k ≤-; B .若[()]f g x 的值域为[1,)-+∞,则0k ≥;
C .若1k ,则[()]f g x 的值域可能为[0,)+∞;
第 7 页 共 18 页 D .若0k ≤,则[()]f g x 的值域可能为(,0]-∞.
【答案】C
【分析】根据题中条件,分别讨论1k ,0k =,k 0<三种情况,结合二次函数的性质,以及复合函数的单调性,确定值域的大致范围,结合选项进行判断,即可得出结果.
【详解】因为2,11()2,11x k x x f x kx x ?+≤-≥=?-<
或, ①若1k ,则21k k ≥+,
当()1,1x ∈-时,()()2,2f x k k ∈-;当(]
[),11,x ∈-∞-+∞时,由二次函数单调性,易知:[)()1,f x k ∈++∞;
所以()()2,f x k ∈-+∞;
又1k 时,2()g x kx bx c =++是开口向上的二次函数,有最小值;当min ()0g x =时,即可满足[()]f g x 的值域为[0,)+∞;因此A 错,C 正确;
②若0k =,则2,11()0,11
x x x f x x ?≤-≥=?-<
[()]f g x 的值域为[1,)-+∞,故B 错;
③由②知,0k =时,不能满足[()]f g x 的值域为(,0]-∞;
若k 0<,则2
()g x kx bx c =++是开口向下的二次函数,有最大值,无最小值; 令2()t g x kx bx c ==++,则存在m R ∈,使得(],t m ∈-∞, 又函数()f x 在1x ≤-时,单调递减,()()11f x f k ≥-=+;由于对称的关系,()f x 在1≥x 上单调电子能,且()()11f x f k ≥=+;当11x -<<时,()f x 单调递减,且2()2k f x k -<<;所以()[)()2,21,f x k k k ∈-?++∞,
因此()f t 的值域只能是()[)2,21,k k k -?++∞的子集,故0k ≤时, [()]f g x 的值域不可能为(,0]-∞,D 错.
故选:C.
【点睛】本题主要考查复合函数值域的判定,考查分段函数的性质,考查二次函数的性质,以及复合函数单调性的判定,属于中档题.
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二、填空题
11.有9本不同的书,其中语文书2本,英语书3本,数学书4本,现随机拿出2本.两本书不同类的概率为__________. 【答案】1318
【分析】求出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数,再用古典概型的概率公式计算可得结果.
【详解】从9本不同的书中随机拿出2本,共有29983621
C ?=
=?种,其中两本书不同类的有111111232434681226C C C C C C ++=++=种, 所以所求事件的概率为
26133618
=. 故答案为:1318. 【点睛】本题考查了组合数,考查了古典概型的概率公式,属于基础题.
12.把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么不同的分法种数为______(用数字作答).
【答案】36
【分析】根据题意,先将卡分为符合题意要求的3份,可以转化为将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开,用插空法易得其情况数目,再将分好的3份对应到3个人,由排列知识可得其情况数目,由分步计数原理,计算可得答案.
【详解】先将卡分为符合条件的3份,由题意,3人分5张卡,且每人至少一张,至多三张,若分得的卡片超过一张,则必须是连号,相当于将1、2、3、4、5这4个数用2
个板子隔开,在4个空位插2个板子,共有246C =种情况,再对应到3个人,有336
A =种情况,则共有6618?=种情况.故答案为36
【点睛】本题考查排列、组合的应用,注意将分卡的问题转化为将1,2,3,4,5这5个数用2个板子隔开,分为3部分的问题,用插空法进行解决.
13.已知实数0,0a b >>,且
1112a b
+=,则89211a b a b +--的最小值为__________. 【答案】25 【分析】利用89891121121a b a b a b
+=+----,又1112a b +=,得21112,12b a b a =--=,
第 9 页 共 18 页 代入利用基本不等式即可得出结果.
【详解】由0,0a b >>, 得89891121121a b a b a b
+=+----, 又1112a b
+=, 得21112,12b a b a
=--=, 则8989891841121211212a b a b a b a b b a
+=+=+=+----, (
)11218218184941313252b a b a a b a b a b a b ??++=+++=++≥+= ???
, 当且仅当2183b a b a a b
=?=时取等号. 故答案为:25.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用.属于中档题.
14.若函数()x x a f x e e =+
在区间(0,1)上存在最小值,则实数a 的取值范围是___________.
【答案】()()22
1,,1e e ?-- 【分析】通过换元,令()1,x e t e =∈,将问题转化为()a g t t t
=+在()1,t e ∈上存在最小值,讨论a 的取值范围,根据函数的单调性,求a 的取值范围.
【详解】设()1,x e t e =∈,则()a g t t t
=+在()1,t e ∈上存在最小值, 当0a <时,a y t t =+在()1,e 上是增函数,若函数存在最小值,令0a t t
+=
,解得:t =
当1e <<时,解得:21e a -<<-;
当0a >时,a y t t
=+
()1,e , 即21a e <<, 当0a =时,(),1,y t t t e ==是增函数,无最小值,故不成立,
第 10 页 共 18 页 综上可知,a 的取值范围是()()221,,1e
e ?--. 故答案为:()()22
1,,1e e ?-- 【点睛】本题考查了函数的最值问题,考查换元思想,分类讨论思想,属于中档题型,本题的关键是讨论a 的取值范围,根据不同函数的单调性,讨论函数是否存在最小值.
三、双空题
15.已知函数2log ,0()21,0x x x f x x >?=?-≤?,则12f f ????= ? ?????
______;若1()2f x =,则x =______. 【答案】12-
【分析】根据自变量范围代入分段函数对应解析式,计算求解即可;根据分段函数解析式列方程组,解得结果. 【详解】12111log (1)21222
f f f f -??????==-=-=- ? ? ??????? 201()12lo
g 2x f x x >??=∴?=??或
01212x x ≤???-=??
所以0x x >???=??203
log 02x x ≤???=>?
?,即x = 故答案为:12
- 【点睛】本题考查根据分段函数求值,考查基本分析求解能力,属基础题. 16.在62123x x ??- ???
二项展开式的中,常数项是________,其二项式系数之和为________.
【答案】2027
64 【分析】(1)先写出二项展开式的通项公式,求r 后,得到常数项;(2)根据二项式系数和的公式,直接求解.
【详解】(1)展开式的通项公式()626123166112233r r
r r r r r r T C x C x x ---+????=??-=??-? ? ?????, 令1230r -=,解得:4r =,
第 11 页 共 18 页 所以常数项是44261202327C ????-= ???
; (2)二项式系数和为6264=. 故答案为:2027
;64 【点睛】本题考查二项式定理,二项式系数和,重点考查灵活应用公式,属于基础题型. 17.已知函数2()(3)1f x ax a x =+-+.若()f x 在区间上[1,)-+∞递减,则实数a 的取值范围是_________;若函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值为2,则a 的值为__________.
【答案】[3,0]- 2
【分析】(1)首先根据函数的单调性,分0,0,0a a a =<>三种情况,讨论函数的单调性,求a 的取值范围;(2)分0,0,0a a a =<>三种情况讨论函数,再与对称轴比较,判断函数的单调性和最小值,求实数a 的值.
【详解】(1)函数()()2
31f x ax a x =+-+在区间[)1,-+∞递减, 当0a =时,()31f x x =-+,函数在R 上单调递减,所以满足条件,
当0a <时,函数开口向下,若函数在区间[)1,-+∞单调递减,只需满足312a a --
≤-,解得30a -≤<,
当0a >时,开口向上,在对称轴右侧,函数单调递增,不满足条件,
综上可知实数a 的取值范围是[]3,0-;
(2)当0a =时,函数()31f x x =-+单调递减,函数的最小值()252f =-≠,所以不成立,当0a <时,函数的对称轴302a x a
-=-<,函数在区间[]1,2单调递减,函数的最小值是()242612f a a =+-+=,得76a =
,不成立; 当0a >时,312a x a
-=-≤时,1a ≥,此时函数在区间[]1,2单调递增,函数的最小值()1312f a a =+-+=,解得:2a =成立,当322a x a
-=-≥时,305a <≤,此时函数在区间[]1,2单调递减,函数的最小值()22f =,76a =,不成立,当3122a a
-<-<时,315a <<,此时函数的最小值()2
433224a a a f a a ---??-== ???,得2290a a -+=,?<0,无解.
第 12 页 共 18 页 综上可知2a =.
故答案为:[]3,0-;2
【点睛】本题考查根据二次函数的单调性和最值,求参数,重点考查分类讨论思想,逻辑推理,计算能力,属于中档题型.
四、解答题
18
.已知函数()sin (sin )f x x x x =+.
(1)求函数()f x 的最小正周期.
(2)求函数()f x 在[0,]x π∈上的单调增区间.
【答案】(1)最小正周期为π;(2)单调增区间为:0,3π??????,5,6
ππ??????. 【分析】(1)先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数,再根据正弦函数性质求周期; (2)根据正弦函数性质求单调区间,再取对应区间即得结果.
【详解】(1
)211()sin cos 2cos 2222
f x x x x x ==-+ 1sin 262x π??=-+ ??
? 所以()f x 的最小正周期为22T ππ=
= (2)由222262k x k πππππ-
≤-≤+ 得63k x k π
π
ππ,k Z ∈
又[0,]x π∈,得03x π
≤≤或56
x ππ≤≤ 所以()f x 的单调增区间为:0,3π??????,5,6
ππ?????? 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
19.如图,在四棱锥P ABCD -中,122
PA PB AD CD BC =====,//AD BC ,AD CD ⊥,E 是PA 的中点,平面PAB ⊥平面ABCD .
第 13 页 共 18 页
(1)证明:PB CE ⊥;
(2)求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)69
【分析】(1)根据面面垂直的性质定理,先得到AC ⊥平面PAB ,推出AC PB ⊥;再由勾股定理,推出PB PA ⊥,根据线面垂直的判定定理,得到PB ⊥平面PAC ,进而可到线线垂直;
(2)先由(1),根据面面垂直的判定定理,得到平面PBC ⊥平面PAC ;根据线面角的概念,得到PCE ∠即为直线CE 与平面PBC 所成的角,根据题中条件,得到23PC =1PE =,3CE =,由余弦定理,求出cos PCE ∠,进而可得正弦值.
【详解】(1)由已知可得在直角梯形ABCD 中,122
AD CD BC ===,所以22
22AC AD CD =+=4BC =,()2222AB CD BC AB =+-=, 所以222AB AC BC +=,所以AC AB ⊥;
又因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ?平面ABCD AB =,
所以AC ⊥平面PAB ,因为PB ?平面PAB ,所以AC PB ⊥;
又2PA PB ==,22AB =222PA PB AB +=,所以PB PA ⊥; 因为PA AC A =,且PA ?平面PAC ,AC ?平面PAC ,
所以PB ⊥平面PAC ,又CE ?平面PAC ,所以PB CE ⊥;
(2)由(1)得PB ⊥平面PAC ,因为PB ?平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PAC ; 所以直线CE 在平面PBC 中的射影为直线PC ,
故PCE ∠即为直线CE 与平面PBC 所成的角,
由PB ⊥平面PAC ,PC ?平面PAC ,可得PB PC ⊥, 所以2223PC BC PB -=,
又由AC ⊥平面PAB ,PA ?平面PAB ,可得AC PA ⊥,
第 14 页 共 18 页
所以3CE ==;
在PCE
中,PC =1PE =,3CE =,
所以222cos 29
PC CE PE PCE PC CE +-∠==?,
故sin 9
PCE ∠=; 即直线CE 与平面PBC
所成的角的正弦值为
9. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直,考查求线面角的正弦值,熟记线面、面面垂直的判定定理和性质,以及线面角的概念即可,属于常考题型.
20.等差数列{}n a 满足13a =,21a +,51a +,95a +成等比数列,数列{}n b 满足11b =,
1n n n b b a +=+.
(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)数列1n n n a b b +??????
的前n 项和为n T ,证明1n T <. 【答案】(Ⅰ)21n a n =+;2n b n =;(Ⅱ)证明见解析.
【分析】(Ⅰ)由等比数列的性质求得公差d 可得通项公式n a ,利用累加法可求得通项公式n b ;
(Ⅱ)用裂项相消法求得和n T 后可证得不等式成立.
【详解】(Ⅰ)由题意得()()()2
2295151(4)(88)(44)a a a d d d ++=+?++=+ 1d ?=-(不符)或2d =,
所以21n a n =+.
则当2n ≥时()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-
21121135(21)n b a a a n n -=++++=++++-=.
当1n =时符合,所以2n b n =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2222
12111(1)(1)n n n a n b b n n n n ++==-?++,
第 15 页 共 18 页 所以2222221111111223(1)n T n n ??????=-+-++- ? ???+????
??
2111(1)n =-<+. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,考查累加法求通项公式及等比数列的性质,裂项相消法求和.本题属于中档题.
21.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上,且2a b +=
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l 与椭圆交于A 、C 两点,线段AC 的中点为M ,射线MO 与椭圆交于点P
,点O 为PAC 的重心,探求PAC 面积S 是否为定值,
若是,则求出这个值;若不是,则求S 的取值范围.
【答案】(1)22
142x y +=;(2)是定值,2
. 【分析】(1)根据题意,得到()
F ,由题中条件列出方程组求解,得出2a =,b =
(2)若直线l 的斜率不存在,先求出此时PAC 的面积;若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y kx m =+
,设()11,A x y ,()22,C x
y ,根据韦达定理,由题中条件,表示出
点P 的坐标,代入椭圆方程,得出2
2
122k m +=,再得到坐标原点O
到直线l 的距离为
d =.
【详解】(1)∵直线30x y -+=与x 轴的交点为()
,∴c =
∴2222a b a b ?-=??+=?? ∴解得2a =,b =22
142
x y +=. (2)若直线l 的斜率不存在,则MO 在x 轴上,此时2OP a ==,因为点O 为PAC
第 16 页 共 18 页 的重心,所以212OM ==,将1x =
代入椭圆方程,可得2y ==,
即AM =
,所以3S PM AM =?==; 若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y kx m =+,代入椭圆方程,
整理得()222124240k x kmx m +++-=
设()11,A x y ,()22,C x y , 则122412km x x k +=-+,()
21222212m x x k
-?=+,()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心,设()00,P x y ,则12003x x x ++=,12003
y y y ++=, 所以()0122412km x x x k =-+=+,()0122212m y y y k =-+=-+, 代入椭圆22142x y +=,得()()
2222
222224212121212k m m k m k k ++=?=++, 设坐标原点O 到直线l 的距离为d
,则d =
则PAC 的面积132
S AC d =?
12x =
-? 1232
x x m =-?
m =
m
=
==. 综上可得,PAC
面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中三角形的面积问题,熟记椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质即可,属于常考题型.
第 17 页 共 18 页 22.已知函数2()ln ()2
a f x a x x ax a R =+-+∈. (Ⅰ)当9a =时,求函数()f x 的单调递减区间;
(Ⅱ)若函数()f x 存在极大值点1x 与极小值点2x
,当21x x -≥()()12(3ln6)f x f x λ+≤-恒成立,求实数λ的取值范围.
【答案】(Ⅰ)3,32?? ???
;(Ⅱ)12λ≥-.
【分析】(Ⅰ)求出导函数,由()0f x '<确定减区间;
(Ⅱ)求出()'f x ,由()0f x '=确定12,x x 与a 的关系(用韦达定理确定),同时判别式0>
,同时利用已知条件21x x -≥a 的取值范围,计算12()()f x f x +并变形后化为a 的函数,求出此关于a 的函数的最大值,解相应不等式可得λ的范围.
【详解】解:(Ⅰ)29299'()290(0)x x f x x x x x
-+=+-=<>, 解得332x <<,所以()f x 单调递减区间为3,32?? ???
. (Ⅱ)22'()2a x ax a f x x a x x
-+=+-=,设()22g x x ax a =-+,则1x ,2x 是220x ax a -+=两根,所以2080
a a a >??->?,从而8a >. 因为122a x x +=,122
a x x =
,所以2112x x a -=≥≥. ()()()()2212121212ln ln f x f x a x x x x a x x a +=+++-++
()
()22212121212ln 2ln 242
a a a a x x x x x x a x x a a a =++--+=+--+ 2
ln 24a a a =-. 令()()2
12()ln (12)24
a a g a f x f x a a =+=-≥. 则'()ln 1022
a a g a =-+<,所以()g a 在[)12,+∞上面递减, 所以max ()(12)12ln 636(3ln 6)g a g λ==-≤-恒成立,
第 18 页 共 18 页 则12λ≥-.
【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间,用导数研究与极值点有关不等式恒成立问题,求解时根据极值的定义得出极值点与参数的关系,然后利用这个关系把含有极值点12,x x 和参数的代数式进行消元要么消去参数,要么消去极值点12,x x 得关于参数的函数,再利用函数的知识求解(用导数求最值等待).本题考查学生的逻辑推理能力,运算求解能力,转化与化归思想,属于难题.
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