中考复习专题 关于等腰三角形证明与练习

关于 等腰三角形 的讲与练

知识点

1：等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中

A B D C ∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 ．．．

知识点2：等腰三角形性质定理2

（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）

（2）符号语言：

A

1 2 ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC

∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC

∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2

BD=DC AD⊥BC

B D C （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识

3：等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）

（2）符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC

（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中

A B D C

∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。

说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

1

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。

【典型例题分析】

基础知识应用题：

例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

综合应用题：

例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD

例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

2

例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等

解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线 求证：BD=CE

例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。

（1）求证AN=BM

（2）求证△CEF为等边三角形

【模拟试题】

1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 （ ） A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 2. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 95° D. 70°

3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是 （ ）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

4. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示

3

的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形： 。

5. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四

边形，则∠1+∠2= 度。

1 2

6. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为 。

7、 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角形.

8、如图，已知：D是BC上一点，且AD?DB，DC?CA，求?B?ABC中，AB?AC，AC的度数。

B A D C

9、已知：如图，?ABC中，AB?AC，CD?AB于D。求证：?BAC?2?DCB。

? D B A 1 2 3 E C 10、?ABC中，AB?AC，?A?120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：

DE?

1BC。 24

11、在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE． 求证：DM＝EM．

BEDCA

12、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）

ADEB

13、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，?

求证：?BC=3AD.

C

ABDC

14、已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连 结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.

5

15、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．求证：BD ＝ DE．

16、如图，连结PA以BP为边作?PBQ?60，，PB，PC，P是等边三角形ABC内的一点，且BQ?BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA:PB:PC?3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

B

Q

C

P A

?6

15、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．求证：BD ＝ DE．

16、如图，连结PA以BP为边作?PBQ?60，，PB，PC，P是等边三角形ABC内的一点，且BQ?BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA:PB:PC?3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

B

Q

C

P A

?6

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