专题01 中考中与“开放型”相关的探索性问题2022年中考数学母题

【母题来源一】辽宁省本溪市2018年中考数学试卷

【母题原题】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右．侧．作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【母题来源二】内蒙古巴彦淖尔市2018年中考数学试题

【母题原题】如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

【命题意图】这类试题主要考查学生分析、探究能力、发散思维能力及综合运用知识的能力.

【方法、技巧、规律】开放型包括存在型开放题和探究型开放题.存在型开放题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全，答案不唯一的一类问题，即根据命题中的条件探究结论是否存在或根据结论探究条件存在的题型；而探究型开放题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题.开放题对学生综合运用知识的能力及发散思维能力要求比较高，是考查考生创新意识的渠道之一. 在解决这一类问题时，要充分激发数学思维，提高分析问题与解决问题能力，这样才能在面对开放题时，能够游刃有余，得心应手

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①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）

A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④

【母题2】在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9．则下列结论错误的是（）

A．AE∥BC

B．△ADE的周长是19

C．△BDE是等边三角形

D．∠ADE=∠BDC

【母题3】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）[来源:学科网]

A．△BPQ是等边三角形

B．△PCQ是直角三角形

C．∠APB=150°

D．∠APC=135°

【母题4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF 为菱形；③。其中正确的结论是____________.（填写所有正确结论的序号）

【母题5】如图所示，已知：点A(0，0)，B （，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第个等边三角形的边长等于__________．

【母题6】如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C 为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．

【母题7】如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为_____．

【母题8】如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添加一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么要添加的

条件是

。（只需填写满足要求的一个条件即可）。

【母题9】如图，E、F是□ABCD对角线AC上不重合的两点. 请你添加一个适当的条件，使四边形DEBF是平行四边形．添加的条件可以是．（只需填写一个正确的结论）

【母题10】如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：

①AD=CD；

②∠ACD的大小随着α的变化而变化；

③当α=30°时，四边形OADC为菱形；

④△ACD面积的最大值为a2；

其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【母题11】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE 的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一

个适当的条件：

，使得AC=DF

【母题12】如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)

【母题13】如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．

【母题14】如下图，弦CD、FE的延长线交于圆外点P，割线PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件：，使结论∠1=∠2能成立．

【母题15】如上图，OE，OF分别为⊙O的弦AB，CD的弦心距，如果OE＝OF，那么______（只需写一个正确的结论）．

【母题16】由于被墨水污染，一道几何题仅能见到如图所示的图形和文字：“如图，已知：四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=67°，…”

（1）根据以上信息，你可以求出∠A、∠B、∠C中的哪个角？写出求解的过程；

（2）若要求出其它的角，请你添上一个适当的条件：

，并写出解题过程．

【母题17】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN∥

CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，

求△PDC周长的最小值．

【母题18】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．

(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB 的中点；

(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．

【母题19】如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

【母题20】如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．

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