高等流体力学第2讲

第二讲 流体运动微分方程

一、应力张量

作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即

?P （2-1）

?A?0?A式中 n为表面积ΔA的外法线方向；ΔP为作用在表面积ΔA上的表面力。pn除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有

pn?limpn?pn(M,t,n)

1应力pn表示的是作用在以n为外法线方向的作用面上应力，其下需要特别指出，○

2一般来说，应力标n并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○

pn的方向并不与作用面的外法线n一致，pn除了有n方向的分量pnn外，还有τ方向

3图中ΔA右侧的流体通过ΔA的分量pnτ。只有当pnτ=0时pn才与n的方向一致；○

作用在左侧流体上的力为ΔP=pnΔA，而ΔA左侧的流体通过ΔA作用在右侧流体上的

力为ΔP=p－nΔA，这两个力互为作用力和反作用力，所以有

pn?A??p?n?A

可得

pn=?p?n （2-2）

n －ΔP －n 图2-1 pn与n的关系 C M ΔA z p-x n M B A x p-z 图2-2 一点处的应力状态 y ΔP p?n n M pnτ pnn pn pnn 为了研究一点处微元面积上的表面力，先在流体中以M为顶点取一个微四面体，如图2-2所示。设MA=Δx，MB=Δy，MC=Δz，ΔABC的法向单位矢量为n，则 n?cos(n,x)i?cos(n,y)j?cos(n,z)k 或简写为 p-y n?nxi?nyj?nzk （2-3）

设ΔABC的面积为ΔS，于是ΔMBC、ΔMCA、ΔMAB的面积可分别以ΔSx、ΔSy、ΔSz表示为

??Sx??Snx? ??Sy??Sny （2-4）

??S??Snz?z四面体的体积可表示为

1?V??Sh

3式中h为M点到ΔABC的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为

p?x?Sx?p?y?Sy?p?z?Sz?pn?S?f?V?0

当四面体趋近于M点时，h为一阶小量，ΔS为二阶小量，ΔV为三阶小量，略去高阶小量后可得

p?x?Sx?p?y?Sy?p?z?Sz?pn?S?0

再考虑式（2-2）和（2-4）可得

pn?pxnx?pyny?pznz （2-5）

上式在直角坐标系中的投影可表示为

pnx?nxpxx?nypyx?nzpzx

pny?nxpxy?nypyy?nzpzy （2-6） pnz?nxpxz?nypyz?nzpzz

上式也可以用矩阵形式表示为

??pnxpnypnz??=??nxny?pxx?nz???pyx?pzx?pxypyypzypxz??pyz? （2-7） pzz??也可以表示为

pn?n?P

?pxx?式中 P=?pyx?pzx?pxypyypzypxz??pyz? （2-8） pzz??称为应力张量。

1应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的这里需要着重指出的是：○

是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的投影方向，例如pxy表示

2应力张它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力px在y轴上的投影分量。○

量P描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力pn均可由式

3与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方（2-7）确定。○

向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。

无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即pij=0（i≠j），此时有

?pxxP=??0??00pyy00???p00???00?????0??=?0?p0?=?p?0?0?= ?pI

?pzz?0?p????0??001??式中I为单位张量，p为流体静压力。

流体力学中，常将应力张量表示为

P??pI?? （2-9） 式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T称为偏应力张量，即

??xx?xy?xz???T=??yx?yy?yz? （2-10） ??zx?zy?zz???偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i＝j时，pij为法向应力，?ii = pij? p；

当i≠j时pij为粘性剪切应力，?ij =pij。?ii=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，?ii≠0的流体称为粘弹性流体。

二、应变张量

与刚体相比，连续介质运动过程中还有可能发生变形，因此连续介质的运动比刚体的运动要复杂得多。在这里，首先回顾一下刚体运动速度分解定理。刚体的运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，即

u(M) u?u0???δr M dr 其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任

M0 u(M0) 意一点处的运动速度；ω为刚体绕质心的旋转角速度；dr为质心至某点的微元矢量。

在t时刻的连续介质中取出包括点M0（x，y，z）的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点

图2-3一点邻域的速度

M（x+dx，y+dy，z+dz），如图2-3所示。假设点M0的速度为u（x，y，z），当dr=（dx，dy，dz）为小量时，M点的速度可用M0的速度的泰勒展开式来表示，即

?u?u?u u(M)?u(M0)?du?u(M0)?dx?dy?dz （2-11）

?x?y?z或分量形式

u(M)?u(M0)?du?u(M0)?v(M)?v(M0)?dv?v(M0)??u?u?udx?dy?dz ?x?y?z?v?v?vdx?dy?dz ?x?y?z?w?w?wdx?dy?dz ?x?y?z w(M)?w(M0)?dw?w(M0)?显然，du或(du，dv，dw)是M点相对于M0点的相对运动速度，它可以用矩阵

的形式为

??u??x?du???dv????v????x???dw????w???x?u?y?v?y?w?y?u??z???dx??v????dy （2-12） ?z?????dz????w??z?上式中的方形矩阵可分解为

??u??x???v???x??w???x?u?y?v?y?w?y?u??0???z???v??1??v?u????????z??2??x?y??w??1?w?u???????z??2??x?z???1??u?v????2??y?x?01??w?v????2??y?z?1??u?w??????2??z?x??1??v?w?????? 2??z?y????0????u1??u?v?1??u?w???????????x2?y?x2??z?x??????1??u?v??v1??v?w?? ?????????

2?y?x?y2?z?y??????????1?u?w1?v?w?w???????????2??z?x?2??z?y???z??= R＋D （2-13）

上式中第一个矩阵R是反对称的，第二个矩阵D是对称的，这两个矩阵在流体力学中也称为二阶张量，下面就来具体分析这两个张量的物理意义。

反对称矩阵R中的九个分量中只有三个独立分量，即

?1??1??u?w?1??w?v?1??v?u??，??，?2??????? （2-14） ?32??z?x?2??y?z?2??x?y?这三个分量恰好就是流体微团旋转角速度矢量的三个分量，因此，将R称为旋转张

量。同时ω=ω1i+ω2j+ω3k也就是速度矢量的旋度的一半，即

12对称矩阵D中的九个分量中只有六个独立分量，

Dxx=????u （2-15）

1??u?v??u?u?u，Dxx=，Dxx=，Dxy=Dyx=???

2??y?x??x?x?x1??u?w?1??v?w?D=D=?Dyz=Dzy=??，xzzx??? （2-16）

2??z?x?2??z?y?Dii (i=x，y，z)恰好是流体力学中研究过的流体微团在三个坐标轴方向上的线应变速

率，而Dij (i=x，y，z；j=x，y，z且i≠j)也恰好是其角变形速度。因此，流体力学中将张量D称为应变速率张量，或简称为应变张量，将R＋D称为速度梯度张量，用gradu表示。 在非牛顿流体力学中，也常用一阶Rivlin-Ericksen张量A来表述应变速率的大小，它与D的关系为

A=2D （2-17）

一阶Rivlin-Ericksen张量A的分量直角坐标系中的表达式可由式（2-16和17）得出，其在柱坐标系和球坐标系中的表达式的推导比较复杂，其结果见表2-1。

表2-1 一阶Rivlin-Ericksen张量A的分量在柱坐标系和球坐标系中的表达式

柱坐标系(r，θ，z) ?uArr?2 ?r2??v?Aθθ???u? r??θ??wAzz?2 ?z?u?vvArθ??? r???rr?u?wArz?? ?z?r?v?wAθz?? ?zr?θ柱坐标系(r，θ，φ) ?u ?r2??v?Aθθ???ru? r??θ?Arr?2A????2??w?usin??vcos?? ?rsin?????1??u?rv?Arθ????2v? r????r?Ar??A????1??u?w?rsin??wsin?? ?rsin?????r??1??v?wsin???2wcos?? ?rsin???????

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