高考数学一轮复习质量检测 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的) 1.已知集合( )

A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} 解析：∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，∴?NB＝{1,2,4,5,7,8，……}. ∴A∩(?NB)＝{1,5,7}. 答案：A

2.集合P＝{m|m∈N}，若a，b∈P，则a?b∈P，那么运算?可能是 ( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 解析：特例：a＝1，b＝4. 答案：C

3.(2010·东北师大附中模拟)设全集U是实数集R，M＝{x|x＞ 4}，N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所 表示的集合是 ( )

A.{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤2} C.{x|1＜x≤2} D.{x|x＜2}

解析：图中阴影部分表示N∩(?UM)，∵M＝{|x>4}＝{x|x>2或x<－2}， ∴?UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(?UM)＝{－2≤x＜1}. 答案：A

4.下列命题不是全称命题的是 ( ) A.在三角形中，三内角之和为180° B.对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C.对于实数a、b，|a－1|＋|b－1|>0 D.存在实数x，使x－3x＋2＝0成立 答案：D

5.已知命题p：x∈A∪B，则 p是 ( ) A.x?A∩B B.x?A或x?B C.x?A且x?B D.x∈A∩B 解析：由x∈A∪B知x∈A或x∈B. 答案：C

6.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的 ( )

2

2

2

2

*

A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(?NB)＝

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：当a>0且b>0时，一定有a＋b>0且ab>0.反之，当a＋b>0且ab>0时，一定有

a>0，b>0.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件.

答案：C

7.下列特称命题中，假命题是 ( ) A.?x∈R，x－2x－3＝0 B.至少有一个x∈Z，x能被2和3整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 D.?x∈{x|x是无理数}，使x是有理数 解析：对于A：当x＝－1时，x－2x－3＝0，故A为真命题； 对于B：当x＝6时，符合题目要求，为真命题； 对于C假命题；

对于D：x＝3时，x＝3，故D为真命题. 综上可知：应选C. 答案：C

1x8.(2010·海口模拟)已知集合A＝{x∈R|＜2＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B2成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是 ( ) A.m≥2 B.m≤2 C.m＞2 D.－2＜m＜2 1x解析：A＝{x∈R|＜2＜8}＝{x|－1＜x＜3}，

2∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AüB，

∴m＋1＞3，即m＞2. 答案：C

9.已知a，b为实数，则2>2是log2a>log2b的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：p：2>2?a>b；q：log2a>log2b?a>b>0， 故p?q，q?p，∴p是q的必要不充分条件. 答案：B

10.“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)＋(y－b)＝2相切”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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2

abab|a－b＋2|

解析：a＝b时，圆心到直线距离d＝＝2，所以相切，若直线与圆相切时，

2|a－b＋2|有d＝＝2，所以a＝b或a＝－4＋b.

2答案：A

11.(2010·马鞍山质检)给出下列结论：

①命题“若p，则q或r”的否命题是“若 p，则 q且 r”； ②命题“若 p，则q”的逆否命题是“若p，则 q”；

③命题“?n∈N，n＋3n能被10整除”的否命题是“?n∈N，n＋3n不能被10整除”； ④命题“?x，x－2x＋3>0”的否命题是“?x，x－2x＋3<0”.

其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析：由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命题，故①正确；由于逆否命题是把原命题的否命题了的结论作条件、否定了的条件作结论得到的命题，故②不正确；特称命题的否命题是全称命题，故③正确；虽然全称命题的否命题是特称命题，但对结论的否定错误，故④不正确. 答案：B

12.已知p：－1≤4x－3≤1，q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若 p是 q的必要不充分 条件，则实数a的取值范围是 ( ) 11111

A.[0，] B.[，1] C.[，] D.(，1]

223231

解析：由题知，p为M＝[，1]，q为N＝[a，a＋1].

2∵ p是q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条

2

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*

2

*

2

1?1?a?件，从而有MüN于是可得?2 .而且当a=0或a=

2?a?1?1?时，同样满足MüN 成立故a的取值范围是[0,答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.命题“?两个向量p、q，使得|p·q|＝|p|·|q|”的否定是 . 答案：?两个向量p、q，均有|p·q|≠|p|·|q| 14.若A＝{x∈R||x|<3}，B＝{x∈R|2>1}，则A∩B＝ . 解析：∵A＝{x|－30}，

x1] 2∴A∩B＝{x|0

15.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小 组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学 和化学小组的有 人.

解析：如图，设同时参加数学和化学小组的有x人，则26＋15＋13－6－4－x＝36，解得x＝8. 答案：8

16.在下列四个结论中，正确的有 .(填序号)

①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件

?a?0,2ax?bx?c≥0的解集为R”的充要②“?”是“一元二次不等式2?Δ?b?4ac≤0条件

③“x≠1”是“x≠1”的充分不必要条件 ④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件 解析：∵原命题与其逆否命题等价，

∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.

2

x≠1?x2≠1，反例：x＝－1?x2＝1，

∴“x≠1”是“x≠1”的不充分条件.

2

x≠0?x＋|x|>0，反例x＝－2?x＋|x|＝0.

但x＋|x|>0?x>0?x≠0，

∴“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件. 答案：①②④

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)

17.(本小题满分12分)设集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{x|x＋2(a＋1)x＋(a－5)＝0}. 若A∩B＝{2}，求实数a的值.

解：由x－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1,2}.

∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3； 当a＝－1时，B＝{x|x－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；

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2

当a＝－3时，B＝{x|x－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，知a的值为－1或－3.

18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假. (1)?x∈R，x＋x＋1>0；

121

(2)?x∈Q，x＋x＋1是有理数；

32

(3)?α、β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ； (4)?x，y∈Z，使3x－2y≠10.

解：(1)的否定是“?x∈R，x＋x＋1≤0”.假命题. 121

(2)的否定是“?x∈Q，x＋x＋1不是有理数”.假命题.

32

(3)的否定是“?α，β∈R，使sin(α＋β)≠sinα＋sinβ”.假命题. (4)的否定是“?x，y∈Z，使3x－2y＝10”.假命题.

19.(本小题满分12分)已知集合M＝{x|x－x－6<0}，N＝{x|0

解：M＝{x|x－x－6<0}＝{x|－2

2

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2

2

2

N＝{x|0

∵M?N，

??2≥m-?6≤m≤-2, ??3≤m?9所求m的取值范围是[－6，－2]. 20.(本题12分)已知P:??x?0≥0,,q:1?m≤x≤1?m,若 P是 q

?x?10≤0.的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：由题意得p：－2≤x≤10. ∵ p是 q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件，∴p?q，q?p， ∴püq∴??1?m≤?2,∴m≥9.

?1?m≥10,

∴实数m的取值范围是{m|m≥9}.

1x－622

21.(本小题满分12分)设全集I＝R已知集合M＝{x|(x＋3)≤0}，N＝{x|2x＝()}

2(1)求(?IM)∩N

(2)记集合A＝(?IM)∩N，已知B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A.求实数a的取值范围.

解：(1)∵M＝{x|(x＋3)≤0}＝{－3}，

2

N＝{x|2x2＝26－x}＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}， ∴(?IM)∩N＝{2}. (2)A＝(?IM)∩N＝{2}， ∵A∪B＝A，∴B?A， ∴B＝?或B＝{2}. 当B＝?时，a－1>5－a， ∴a>3；

?a?1?2当B={2}时,?,解得a?3.

5?a?2?综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}.

2

22.(本小题满分14分)已知m∈R，设P：x1和x2是方程x－ax－2＝0的两个根，不等式

42

|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x＋2mx＋m＋有两个

3不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围. 解：由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2， ∴|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝a＋8. 当a∈[1,2]时，a＋8的最小值为3.

要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8. 42

由已知，得f(x)＝3x＋2mx＋m＋＝0的判别式

3422

Δ＝4m－12(m＋)＝4m－12m－16>0，

3得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

2

2

2

?2≤m≤8,??m??1或m?4?2≤m≤8, ??m??1或m?4

解得实数m的取值范围是(4,8].

解：(1)∵M＝{x|(x＋3)≤0}＝{－3}，

2

N＝{x|2x2＝26－x}＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}， ∴(?IM)∩N＝{2}. (2)A＝(?IM)∩N＝{2}， ∵A∪B＝A，∴B?A， ∴B＝?或B＝{2}. 当B＝?时，a－1>5－a， ∴a>3；

?a?1?2当B={2}时,?,解得a?3.

5?a?2?综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}.

2

22.(本小题满分14分)已知m∈R，设P：x1和x2是方程x－ax－2＝0的两个根，不等式

42

|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x＋2mx＋m＋有两个

3不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围. 解：由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2， ∴|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝a＋8. 当a∈[1,2]时，a＋8的最小值为3.

要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8. 42

由已知，得f(x)＝3x＋2mx＋m＋＝0的判别式

3422

Δ＝4m－12(m＋)＝4m－12m－16>0，

3得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

2

2

2

?2≤m≤8,??m??1或m?4?2≤m≤8, ??m??1或m?4

解得实数m的取值范围是(4,8].

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