定积分的应用

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洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时,曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限,即要用定积分来加以度量。事实上,在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法,然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标:掌握平面图形面积的计算公式. 教学内容:平面图形面积的计算公式.

(1) 基本要求:掌握平面图形面积的计算公式,包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式.

(2) 较高要求:提出微元法的要领. 教学建议:

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式,要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握.

(2) 领会微元法的要领. 教学过程:

1、微元法

bI?众所周知,定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的,而定积分对积分区间具有可加性,即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2,?,n

1

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把积分值看作是分布在分性质

n?a,b?上的总量,?Ik看作是在?xk?1,xk?上的局部量,由积

I???Ik?1k

可见总量等于各个子区间上对应的局部量之和。因此,凡是用定积分描述的量都应具有这种基本特征——对积分区间的可加性。

另一方面,若

f(x)?C?a,b?,则积分上限函数

I(x)??xaf(u)du关于积分上限

x的导数I?(x)?f(x),于是用定积分度量的量

I? 在

?banf(x)dx?limd(?)?0?f????xkk?1k

?a,b?上的任意标准子区间?x,x??x?上所对应的局部量?I的近似值f?x??x就

Ix是??在点x处的微分dI,即

(10.1) 且

?I?dI??I?f?x??x??(?x)?I?f?x??x?dI

。所以,用定积分度量的量I在?fx,x??x?上的局

部量?I所需要的近似值应是(10.1)表示的?x的线性函数

?x??x,并且与?IdI?f?x?dx之差为?x的高阶无穷小。通常,把式(10.1)中的局部量?I的近似值称为积分微元。此时总量

I??badI??baf(x)dx

这种建立总量的积分表达式的方法,通常称为微元法。

2、平面图形的面积

下面我们根据不同坐标系下的曲线方程来建立平面图形面积公式。 (1)直角坐标系下计算平面图形的面积,首先考虑介于两曲线

y?f(x)??C?a,b??y?g(x)??C?a,b??,

及直线x?a,x?b所围成的平面图形(图6.1)的面积?。

2

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案 由于面积?是非均匀连续分布在区间

?a,b?上

且对区间具有可加性的量,所以面积?可以用定积分来计算。

根据微元法,取

?a,b?上的标准子区间

?x,x??x?,在其上小曲边梯形ABCD的高可近似看

成不变的,它的面积??可以用高为AD,宽为?x的小矩形的面积近似代替,即

于是所求图形的面积

?????f?x??g?x??x?d?

?bad???baf?x??g?x?dx (10.2)

gx?0y?f?x?x特别,如果??,由连续函数、轴及二直线x?a与x?b所围

成的平面图形(图6.2)的面积

例1、求由抛物线

【解】 解联立方程

?y?x2?2x?y?

???ba2f?x?dx (10.3)

所围成的平面图形(图6.3)的面积?。

y?x与

y?x2求得交点

?0,0?与?1,1?,由公式(6.1)知此图形的面积

??

?10x?xdx?2?101x2?xdx?2

3

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3?23?1211x2x??????33?0333 ?

例积。

2、求由抛物线x?1?2y2与直线y?x所围成的平面图形(图6.4)的面

解:解联立方程

?x?1?2y2? ?y?x

求得交点??1,?1?和

(11,)22。此时,取y为积分变量比较方便,相应的积分区间为

1???1,?2???,于是

1122

???2?11?2y?ydy??2?11?y?2ydy?

12??y238y??y?2??23???19

例3:求

lnx?lny?1所围图形的面积。

y?exy?1ex解:方程

lnx?lny?1包括两条双曲线与

和两条直线y?ex与

y?xe。它们所围成的平面图形如图6.5所示。

4

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解联立方程

e?y??x??y?1?ex??y?ex?x?y??e ??1?1

解得交点(e,1)、(1,e)、(1,e)、(e,1),故所求面积

???1e?1ex?1exdx??exee1?exdx?

xe)dx?e?e?1

例4、设

x??a,b??1e(ex??11ex)dx??1(ex?

,a?0,kx?q?lnx,求使

I? 最小的k与q。

?ba(kx?q?lnx)dx

解:若使积分I最小,此时直线y?kx?q应与曲线y?lnx相切,故

k?(lnx)??1x?1,切点坐标为

(k,?lnk),故切线方程为

(q??1?lnk)

y?kx?1?lnk从而

I??ba(kx?q?lnx)dx?k2(b?a)?(1?lnk)(b?a)?(blnb?alna?b?a)22

dI令 dkk?2a?b?12(b?a)?22b?ak?0

?0k?2a?b解得驻点

q?ln,此时

q?lna?b2?1dI2,dk2?b?ak2,所以当,

a?b2?1,I的值最小。

5

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/4fid.html

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