2018年中考数学真题汇编 (初中数学全套通用)

中考数学真题汇编:二次函数

一、选择题

1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）

A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数

（ ）

和

( 是常数,且

)在同一平面直角坐标系的图象可能是

2

A. B. C.

D.

【答案】B 3.关于二次函数

A. 图像与 轴的交点坐标为

，下列说法正确的是（ ）

B. 图

像的对称轴在 轴的右侧 C. 当 【答案】D 4.二次函数

的图像如图所示，下列结论正确是( )

时， 的值随 值的增大而减小 D.

的最小值为-3

A. D. 【答案】C 5.若抛物线

B. C.

有两个不相等的实数根

与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线

的对称轴为直线 A.

，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )

B.

C. D. 【答案】B

6.若抛物线y=x+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对

2

称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B

7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）

A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面

C. 点火后10s的升空高度为

139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D

8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数

和

之间，对称轴是

（ ， ， 是常数， .对于下列说法：①

时，

）图象的一部分，与 轴的交点 在点 ；②

；③

；④

（ 为实数）；⑤当 ，其中正确的是（ ）

A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

10.如图，二次函数y=ax+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函

2

数y=（a-b）x+b的图象大致是（ ）

A.B.C.D.

【答案】D

11.四位同学在研究函数

是方程

（b，c是常数）时，甲发现当

的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当

时，函数有最小值；乙发现

时，

．已知这四

位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B

12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A. （

B.

C.

D. （

【答案】B 二、填空题 13.已知二次函数 【答案】增大

，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）

14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

【答案】4 三、解答题

-4

15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。

①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.

②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， ∴绘制抛物线，

设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ， ∴

，即

。

（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B16.如图，抛物线

的左边），点C ， D在抛物线上．设A（t ， 0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ， H ， 且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax（x-10） ∵当t=2时，AD=4 ∴点D的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得a= ∴抛物线的函数表达式为

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t ∴AB=10-2t 当x=t时，AD=

∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）= ∵

<0

∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图，

当t=2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）

当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分。 ∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分。 当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积。 ∵AB∥CD

∴线段OD平移后得到线段GH

∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P 在△OBD中，PQ是中位线 ∴PQ= OB=4

所以，抛物线向右平移的距离是4个单位。

17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当y=15时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3，

答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s （2）解：当y=0时，

0═﹣5x+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4，

∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s （3）解：y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，

答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m 18.在平面直角坐标系中，点 .

（1）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，当

（3）无论 取何值，该抛物线都经过定点 【答案】（1）解：∵抛物线 ∴

，解得

. . ，

.

时，求抛物线的解析式； .当 经过点

，

时，求抛物线的解析式.

，点

.已知抛物线

（ 是常数），定点为

2

∴抛物线的解析式为 ∵

∴顶点 的坐标为 （2）解：如图

1，

抛物线 的顶点 的坐标为 .

由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方，

，知点 在第四象限.

过点 作 轴于点 ，则 .

可知 ，即

，解得

，

.

当 时，点 不在第四象限，舍去.

∴

.

∴抛物线解析式为 .

（3）解： 如图

2：

由 可知，

当 时，无论 取何值， 都等于4. 得点

的坐标为

. 过点 作

，交射线

于点 ，分别过点 ，

作 轴的垂线，垂足分别为 ，.

∵ ， ，

∴ .∴

.

∵ ，

∴ . ∴ . ∴

，

. 可得点 的坐标为 或

.

当点 的坐标为

时，可得直线

的解析式为

.

，则

∵点 ∴ 当

在直线

.解得

时，点 与点

上， ，

. .

重合，不符合题意，∴

当点 的坐标为 可得直线 ∵点 ∴ ∴ 综上，

.

或

时，

.

上，

.解得

（舍），

.

的解析式为

在直线

.

或

的图象经过点

.

，与 轴分别交于点 ，点

.点

故抛物线解析式为 19.如图，已知二次函数 是直线

上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数 （2）连接

，

，并把

的表达式；

沿 轴翻折，得到四边形

.若四边形

为菱形，请求

出此时点 的坐标；

（3）当点 运动到什么位置时，四边形 大面积.

【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 得

，解得

，

． ．

,

的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形

的最

∴ 该二次函数的表达式为

（2）解：若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；

如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）,

∴ 点P的纵坐标等于 ． ∴ 解得

，

,

（不合题意，舍去）， ， ）．

∴ 点P的坐标为（

（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（m， 则

），设直线BC的表达式为

, 解得

. ． ），

，

∴直线BC的表达式为 ∴Q点的坐标为（m， ∴ 当 解得

∴ AO=1，AB=4，

∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ =

. ， ，

= 当

时，四边形ABPC的面积最大．

，四边形ABPC的面积的最大值为 是矩形，点 的坐标为

．

.点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点

此时P点的坐标为 20.如图1，四边形

，点 的坐标为

以每秒1个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.

（1）当 （2）当 （3）当

时，线段 与 时，抛物线

的中点坐标为________； 相似时，求 的值；

经过 、 两点，与 轴交于点

，抛物线的顶点为 ，如

图2所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2）

（2）解：如图1，∵四边形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC时， ∴

，

，

，若存在，求出所有满足条件的 点

4t2-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ，

②当△PAQ∽△CBQ时， ∴

t-9t+9=0， t=

，

＞7，

2

，

，

∵0≤t≤6， ∴x=

不符合题意，舍去，

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是 或 （3）解：当t=1时，P（1，0），Q（3，2）， 把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得：

，

∴抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ， ∴顶点k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ，

如图2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H，

∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH，

∴ ，

∴ ∴MH=2， ∴H（0，4），

，

易得HQ的解析式为：y=- x+4，

则 ，

x-3x+2=- x+4，

解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ，

）；

2

同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE，

由对称性得：H（0，0）， 易得OQ的解析式：y= x，

则 ，

x2-3x+2= x，

解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（ ， ）；

综上所述，点D的坐标为：D（- ， 21.平面直角坐标系

中，二次函数

）或（ ， ）

的图象与 轴有两个交点.

（1）当 （2）过点

时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标；

作直线

轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直

线 上)，求 的范围；

（3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 【答案】（1）解：当m=-2时，y=x2+4x+2当y=0时，则x2+4x+2=0 解之：x1= （2）解：∵

，x2=

=（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2）

的面积最大时 的值.

∵此抛物线的开口向上，且与x轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间（不包括点A在直线l上） ∴

解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1

（3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1根据题意可知点B（m，m-1）,A（m，2m+2） ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO=

∴ m=?时，△ABO的面积最大。 22.如图，已知抛物线

轴，交抛物线于点 .

与 轴交于点

和点

，交 轴于点 .过点 作

（1）求抛物线的解析式； （2）若直线 ，过点

作

与线段

轴于点 ，求矩形 将四边形

、

分别交于 、

两点，过 点作

轴于点

的最大面积；

，且

，

（3）若直线 求 的值.

分成左、右两个部分，面积分别为 、

【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之：a=1，b=2

∴抛物线的解析式为y-=x2+2x-3

（2）解：解：∵x=0时，y=-3∴点C的坐标为（0，-3） ∵CD∥X轴， ∴点D（-2，-3） ∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1 ∵直线 ∴ ∴ ∴

∴矩形的最大面积为3

（3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x轴 ∴S四边形ABCD=

与线段

、

分别交于 、

两点

∵

∴S1=4，S2=5

∵若直线y=kx+1经过点D时，点D（-2，-3） -2k+1=-3 解之：k=2 ∴y=2x+1 当y=0时，x= ∴点M的坐标为 ∴ ∴

设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S

∴ ∴ 解之：k=

23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．

（1）当x=2时，求⊙P的半径；

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合． （4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小． 【答案】（1）解：由x=2，得到P（2，y）， 连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y， 由AP=PB，得到 =y，

解得：y= ， 则圆P的半径为

（2）解：同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2

+（y﹣2）2

=y2

整理得：y= （x﹣1）2

+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示；

（3）点A；x轴

（4）解：连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F， 设PE=a，则有EF=a+1，ED=

，

，

∴D坐标为（1+ ，a+1），

代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+

或a=﹣2﹣

（舍去），即PE=﹣2+

，

在Rt△PED中，PE= 则cos∠APD=

=

﹣2，PD=1， ﹣2

中考数学真题汇编:反比例函数

一、选择题 1.已知点 A.

、

都在反比例函数

的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）

B.

C. D. 【答案】A

2.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）

A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 3.若点

，

，

在反比例函数

的图像上，则 ， ，

的大小关

2

系是（ ）

A. B.

C.

【答案】B 4.一次函数

和反比例函数

D.

在同一直角坐标系中大致图像是（ ）

A.B.C.D.

【答案】A

5.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数

的图像上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原

点O，已知点A(1，1)，∠ABC＝60°，则k的值是（ ）

A. ﹣

5 B. ﹣4 C. ﹣3 D. ﹣2 【答案】C

6.如图，平行于x轴的直线与函数

（k1＞0，x＞0），

（k2＞0，x＞0）的图像分别交于A，

B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为（ ）

北偏东 方向为了在台风到来之前用最短时间到达 处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航

行________小时即可到达 (结果保留根号)

【答案】

10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

【答案】

11.如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为

，若

厘米，则

的边

，

，得到

的长为________厘米.

【答案】

中，

，

分别在边 时，

上，将四边形 的值为________.

沿

翻折，

12.如图，在菱形 使

的对应线段

经过顶点 ，当

【答案】

13.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.

【答案】+ π

14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为________米（结果保留根号）．

【答案】

15.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为________。

【答案】16.如图， 得到 的边相切时，

中， ， 为线段

，

，

，将 长为半径作

绕点 顺时针旋转 ，当

与

上的动点，以点 为圆心，

的半径为________.

【答案】或

17.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________． 【答案】

18.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.

【答案】2

19.如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE________.

【答案】60° 20.如图。在

的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.

的顶点都在格点上,则

的正弦值是________．

【答案】三、解答题 21.计算：

＋ －4sin45°＋ ．

【答案】原式=

22.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图， ， 两地被大山阻隔，由 地到 地需要绕行 地，若打通穿山隧道，建成 ， 两地的直达高铁，可以缩短从 地到 地的路程.已知：

，

，

公里，求隧道打通后与打通前相比，从 地到 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： ，

）

【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB, 垂足为D,

在Rt△ADC和Rt△BCD中，

∵ ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640． ∴ CD=320，AD= ∴ BD=CD=320，BC= ∴ AC+BC= ∴ AB=AD+BD=

∴ 1088-864=224（公里）．

答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里． 23.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 测得底部 处的俯角为

为

，从甲的顶部 处测得乙的顶部 处的俯角为

和

（结果取整数）.参考数据：

，

，

,

， ，

，求甲、乙建筑物的高度

， .

【答案】解：如图，过点 作 ，垂足为 .

则

由题意可知， 可得四边形 ∴ 在 ∴ 在 ∴ ∴ ∴

. 中，

. ， 为矩形. ， 中，

.

，

，

，

.

.

，

. ，

.

答：甲建筑物的高度 约为 ，乙建筑物的高度 约为 . 与灯柱

的夹角

24.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 的高为11米，灯杆

，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域

仰角分别为 和 ，且

，

.求灯杆

长为18米，从 、 两处测得路灯 的的长度.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4f7.html