【高考复习参考】2014届高考数学试题大冲关 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理

2014届高考数学理科试题大冲关：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、选择题

1．若实数x ，y 满足不等式组??? x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，

x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是

( )

A ．13

B ．15

C ．20

D ．28

2．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为 ( )

A ．[－2,2]

B ．[－2,3]

C ．[－3,2]

D ．[－3,3]3．若不等式组????? x ≥0，x ＋3y ≥4

3x ＋y ≤4，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43

分为面积相等的两部分，则k 的值是 ( )

A.73

B.37

C.43

D.34

4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域????? x ＋y ≥2，x ≤1，

y ≤2

上的一个动点，则OA ·OM 的取值范围是 ( )

A ．[－1,0]

B ．[0,1]

C ．[0,2]

D ．[－1,2]5．已知实数x ，y 满足????? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0

x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a

－3，则实数a 的取值范围为 ( )

A ．a ≥1

B ．a ≤－1

C ．－1≤a ≤1

D ．a ≥1或a ≥－1

6．若变量x ，y 满足约束条件????? 3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为

( )

A ．－8

B ．－6

C ．0

D ．12 二、填空题

7．在平面直角坐标系中，不等式组?????

x ≥1y ≤2

x －y ≤0

表示的平面区域的外接圆的方程为________． 8．已知实数x ，y 满足????? x －ay －1≥02x ＋y ≥0x ≤1(a ∈R)，若目标函数z ＝x ＋3y 只有当????? x ＝1y ＝0时取得最大值，则实数a 的取值范围是________． 9．已知实数x ，y 满足约束条件????? x －y ＋4≥0x ＋y ≥0

x ≤3

，则z ＝4x

2－y 的最小值为________． 三、解答题 10．已知?ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在?ABCD 的内部，求z ＝2x －5y 的取值范围．

11．由约束条件????? y ≥0，y ≤x ，y ≤2－x ，t ≤x ≤t ＋1

0

12．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

详解答案

一、选择题

1．解析：不等式组

????? x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，

x ≥0，y ≥0，

表示的可行域如图所示，根据目标函数z

＝ 3x ＋4y 的几何意义容易求得，当x ＝3，y ＝1时，z 有最小值13.

答案：A

2．解析：因为a⊥b ，所以a·b ＝0，所以2x ＋3y ＝z ，不等式|x |＋

|y |≤1可转化为

????? x ＋y ≤1 x ≥0，y ≥0x －y ≤1 x ≥0，y ＜0－x ＋y ≤1 x ＜0，y ≥0－x －y ≤1 x ＜0，y ＜0，由图可得其对应的可行域为边长为2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x ＋3y ＝z 过点(0，－1)时z 有最小值－3，当过点(0,1)时z 有最大值3.所以z 的取值范围为

[－3,3]．

答案：D

3．解析：由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及内部，y ＝kx ＋43

恰过A (0，43)，y ＝kx ＋43将区域平均分成面积相等两部分，故过BC 的中点D (12，52)，52＝k ×12＋43，k ＝73

. 答案：A

4．解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN ， N (0,2)，D (1,1)，

设点M (x ，y )，因点A (－1,1)，则z ＝ OA ·OM ＝－x ＋y ，由图可

知；当目标函数z ＝－x ＋y 过点D 时，z min ＝－1＋1＝0；当目标函数z ＝－x ＋y 过点N 时，z max ＝0＋2＝2，故z 的取值范围为[0,2]，即 OA · OM 的取值范围为[0,2]．答案：C

5．解析：作出x ，y 满足的可行域，如图阴影部分所示，则z

在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，

∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.

答案：C

6．解析：根据????? 3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9得可行域如图中阴影部分所示：

根据z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，平移直线y ＝－x 2

得过M 点时取得最小值． 根据????? x －y ＝92x ＋y ＝3得????? x ＝4y ＝－5，则z min ＝4＋2×(－5)＝－6.

答案：B

二、填空题

7．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知

△ABC 为等腰直角三角形，A (2,2)，B (1,1)，C (1,2)，因此△ABC 的

外接圆的圆心为(32，32

)，半径为2－12＋2－122＝22.所以所求外接圆的方程为(x －32

)2＋(y －32)2＝12

. 答案：(x －32)2＋(y －32)2＝12 8．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域，其中直线x －ay －1＝0经

过定点(1,0)且斜率为1a ，结合图形可知，只有当1a

>0，即a >0时，目标函数z ＝x ＋3y 才能在点(1, 0)处取得最大值(如图(1))；若1a

<0，则可行域变为开放的区域，目标函数z

＝x ＋3y 不存在最大值(如图(2))．所以实数a 的取值范围是a >0.

答案：(0，＋∞)

9．解析：作出不等式组所表示的可行域(图略)，z ＝4x 2

－y ＝22x ·2y ＝22x ＋y ，令ω＝2x ＋y ，可求得ω＝2x ＋y 的最小值是－2，所以z ＝4x 2－y 的最小值为2－2＝14

. 答案：14

三、解答题

10．解：由题可知，平行四边形ABCD 的点D 的坐标为(0，－4)，点(x ，y )

在平行四边形内部，如图，所以在D (0，－4)处目标函数z ＝2x －5y 取得最大值

为20，在点B (3,4)处目标函数z ＝2x －5y 取得最小值为－14，由题知点(x ，y )

在平行四边形内部，所以端点取不到，故z ＝2x －5y 的取值范围是(－14,20)．

11．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP ，如图所示，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，

而S △OPD ＝12

×1×2＝1. S △OAB ＝12t 2，S △ECD ＝12

(1－t )2，

所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.

12．解：法一：设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得： z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足

????? x ≥0，y ≥0，

12

x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即????? x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.

作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，

z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0，8)处的值分别是

z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5，

z B ＝2.5×4＋4×3＝22，

z C ＝2.5×2＋4×5＝25，

z D ＝2.5×0＋4×8＝32.

比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

法二：设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足

????? x ≥0，y ≥0，

12

x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即????? x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.

让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，

由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．

因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

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