2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．

（A）（B）（C）（D）a

1（乙）．如果，那么的值为（）．

（A）（B）（C）2 （D）

2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．

（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）

2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．

（A）10 （B）9 （C）7 （D）5

3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）

3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，

△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，

则CD的长为（）．

（A）（B）4

（C）（D）4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n的可能值的个数是（）．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

4（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．

（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．

（A）（B）（C）（D）

5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．

（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．

7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB

分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .

7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC 交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是。

8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．

8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .

9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .

10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O，

AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，

交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线

交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的

长为 .

10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．

11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。

12（甲）. 如图，⊙O的直径为，过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；

（2）AB+AD = 2BD.

13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当2012时，求a的最小值.

13（乙）．给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．

14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.

14（乙）．将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同），使得，求的最小值．

参考解答

一、选择题

1(甲) .C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

，且，

所以．

1（乙）．B

解：．

2（甲）．D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

2（乙）．B

解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.

因为均为整数，所以有

解得

以上共计9对.

3（甲）．D

解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为

，

中位数为，

于是 .

3（乙）．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.

由于AC = BC，CD = CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，

所以△BCD≌△ACE， BD = AE.

又因为，所以.

在Rt△中，

于是DE=，所以CD = DE = 4.

4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得

消去x得 (2y－7)n = y+4，

2n =.

因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

，因此最大．

5（乙）．C

解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则

，

解得，．

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得 27x－26≤487，

81x－80＞487.

解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，≤487≤487，故x的取值范围是

7＜x≤19．

6（乙）.7

解：在两边乘以得

即

7（甲）．8

解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以

，

由此得，所以.

在Rt△ABF中，因为，所以

，

于是 .

由题设可知△ADE≌△BAF，所以，

.

于是，

，

.

又，所以.

因为，所以.

7（乙）.

解：如图，设的中点为，连接，则．

因为，所以

，

．

．

8（甲）．

解：根据题意，关于x的方程有

=k2－4≥0，

由此得 (k－3)2≤0．

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==．

8（乙）.1610

解：

因此，所以，因此

所以共有2012-402=1610个数

9（甲）．8

解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43. 又，所以. 于是

0≤≤43，

87≤≤130，

由此得，或.

当时，；当时，，，不合题设.

故．

9（乙）.

解：依题意得：，所以，代入（2）得

，两边乘以a得

，即，化简得，两边除以得

所以

另一方面：a≤b≤c，所以综合得

另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得，解得

，另一方面：a≤b≤c，所以，综合得．

10（甲）．

解：如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O

的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此.

因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

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