三角函数整章讲学稿

第一课时 1.1.1 任意角 班级_______学号_______姓名__________ 教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.

教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法. 教学难点：理解角的任意大小. 教学过程： 一、引入：

1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？

（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）

2.趣味阅读：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？

体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念。在我们初中的基础上有必要把角的概念进行推广。

二、讲授新课：

B（一）.教学角的概念：

1、角的概念的推广：

①正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角， α负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角， 零角：未作任何旋转所形成的角叫零角. OA

②思考：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°，?＝－150°，?＝－660°你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作

图的要点吗？

2、象限角和轴线角

③概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为轴线角.

④轴线角：终边为x轴_________________ 终边为y轴__________________

y

象限角区间表示

第一象限_________________ 第二象限_________________

第三象限_________________ 第四象限_________________

X

⑤练习：1，试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？

口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

3、、终边相同的角

⑥如：30°,390°,-330°的终边相同,终边相同的角有无数多个,相差360°的倍数，即：k×360°＋30。

⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些？用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？

⑧ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合呢？

小结：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍

2（二）教学例题：

例1：在0°到360°范围内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1）-120° _____________

（2）640°________________ （3）-950°12′________________

例2、写出终边直线在y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式?360????720?

总结：

Ⅰ）掌握角的概念应注意到角的三要素：顶点、始边、终边

Ⅱ）角的概念推广之后，角的大小比较是按数值进行比较；即“正角”＞ “零角”＞“负角” Ⅲ）判断一个角?是第几象限，只需把?改写成??就是第几象限的角

???k?360'?0

?k?z,0????360?那么?'在第几象限，?，

三、巩固练习：

1、与500°终边相同的角为（ ）

A 、k?360??40??k?Z? B、k?360??140??k?Z? C、k?360??240??k?Z? D、k?360??340??k?Z? 2、下列各命题，其中正确的有（ ）

①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等；

③第二象限的角一定大于第一象限的任意角；④若0????180?,则?必是第一或第二象限的角 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

3、下列各角420°,-75°,855°,-510°所在象限依次为（ ）

A、一、二、三、四 B、二、四、一、三 C、一、四、二、三 D、二、一、四、三 4、思考题：已知?是第一象限角，试确定何？

?2终边位置。呢？若将?变为第二、三、四象限，情况又如

第二课时：1.1.2 弧度制

教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.

教学重点：掌握换算.

教学难点：理解弧度意义. 教学过程：

一、复习准备：

1. 写出终边在x轴上角的集合 . 2. 写出终边在y轴上角的集合 . 3. 写出终边在第三象限角的集合 . 4. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？

二、讲授新课：

1. 教学弧度的意义：

①弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 ②讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？

③规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝④探究；完成下表 AB的弧长 ?r lr. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.

∠AOB的度数 A O B

OB旋转的方向 逆时针方向 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 未旋转 ∠AOB的弧度数 2?r r ?r 0

⑤小结：360??_____rad 180??_____rad 1??______rad 1rad?(____)??______

2 .教学例题：

⑥出示例1：角度与弧度互化：67?30' ；?rad.

53

⑦ 练习：角度与弧度互化：0° ；30° ；45° ； ⑧特殊角的互化： 度 弧度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° ?2?3 ；

5?4 ；120° ；135° ；150° ；

⑨出示例2：用弧度制证明下列有关扇形的公式：l=?R; S扇＝

1lR； S扇?12?R.其中R是半径，

22l是弧长，?(0???2?)为圆心角，S是扇形的面积。

⑩ 练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.

三、 巩固练习： 学海导航3页

1、下列各角中与240?角终边相同的角为（ ） A,2?3 B,?5?2?7?6 C,?3 D,6

2、把?1125?化成??2k?(0???2?,k?Z)的形式是（ ） A,??4?6? B,

7?4?6? C,??4?8? D,

7?4?8?

3、半径为? cm，中心角为120?的扇形的弧长为（ ） 2A,?2?23 cm B,

?3 cm C,

3 cm D,

2?3 cm

4、若角?的终边落在区间(?3?,?52?)内，则角?所在的象限是（ ）

A,第一象限 B,第二象限 C,第三象限 D,第四象限

5，若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ A,4cm2 B,2 cm2 C,4?cm2 D,2? cm2

）

1.2.1任意角的三角函数

教学目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解?角与?=2k?+?(k?Z)的 教学重点：三角函数的定义、三角函数值的求解、三角函数在四个象限的符号。 教学难点：三角函数值的定义 教学过程

一、复习准备：

1. 用弧度制写出终边在下列位置的角的集合：x轴_________________;y轴_____________. 第二象限_______________________; 第四象限_________________

r

2. 锐角的三角函数如何定义？

b sinθ=_____________,cosθ=______________;tanθ=___________

θ 二、新课：

1、 三角函数定义： a ①在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r (r?y P(x，y) r |x|?|y|?22x?y?0)，那么

22（1）比值

x （2）比值（3）比值

yrxryx叫做α的正弦，记作sin?，即sin??叫做α的余弦，记作cos?，即cos??叫做α的正切，记作tan?，即tan??yrxry； ；

x

②由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变，因此，我们可以将点P取在使线段OP的长r＝1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角形函数：

sinα＝b，cosα＝a，tanα＝

ba。

③设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么： （1） y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y； （2） x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；

（3）

yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝

yx(x≠0)。

yx④α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x＝0，tanα＝都是不存在的。即：当α＝

?2?k?无意义，故有tan90°、tan270°

（k∈Z）时，tanα无意义

⑥诱导公式一 sin（α＋k·2π）＝sinα， cos（α＋k·2π）＝cosα， tan（α＋k·2π）＝tanα 作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题. ⑤三角函数值的符号

y y y + + - + - + O x O x O x - - - + + -

sin? cos? tan?

2、应用定义，讲解例题 例1、求

5?3的正弦、余弦和正切值

例2、已知角α的终边经过点P0（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

例3、求下列各角的三角函数的值：(1)cos?; (2)tan(-49116?)

三、巩固练习：

1、求下列各三角函数值： （1）sin

7?3、 (2)cos(

174?); (3) tan(－1020°)

2、课本15页练习第5题：（1）________(2)_______(3)_______(4)________(5)_________(6)________

3、填空 α sinα cosα tanα

0 900 1800 2700 3600

1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用，进行三角函数式的求值运算。

教学重点：同角三角函数基本关系的应用。

教学难点：应用同角三角函数基本关系证明恒等式。 教学过程

一、 复习提问:

1、如何在单位圆中定义正弦线、余弦线、正切线？

2、 任意角的三角函数如何定义的？设α是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点

P（x，y），则有：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝

yx

二、 新课:

1、两个基本关系式: 在单位圆中，有x2＋y2＝1，又由三角函数的定义，有：

sin2α＋cos2α＝1，(平方关系) tanα＝

2、两个基本关系式的应用 例1、已知sinα＝－

练习：1，已知cos???4535sin?cos?（商数关系）

，求cosα，tanα的值。

，并且?是第三象限角，求?的其他三角函数值。

2，已知tan???3，求sin?,cos?的值。

小结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.

例2：求证：

1?sinxcosx＝

cosx1?sinx

三、思考题： 1、已知sin??cos??12，求下列各式的值

①sinα·cosα ； ②sinα＋cosα

44

2、已知tan?=2，求

sin??cos?sin??cos?的值。

四、巩固练习 课本20页3题：（3）：

10题（2）：

12题：

4）： （

1.3三角函数的诱导公式

教学目的：要求学生掌握π＋?，π－ ?，? ?诱导公式的推导过程，并能运用，化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。 教学重点：π＋?，π－ ?，? ?诱导公式的教学。 教学难点：如何理解诱导公式。 教学过程: 一、 新课: 1、诱导公式

公式1： sin(??k?2?)?sin?,cos(??k?2?)?cos?,tan(??k?2?)?tan?

公式2：

y 设?的终边与单位圆交于点P(x,y)，则π+?终边与单

位圆交于点P’(-x,-y)（关于原点对称） P (x,y) ∴ sin(π+?) = ?sin?,

cos(π+?) = ?cos?. o x tan(π+?) = tan?, P (- x ,- y)

公式3： y

如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： P(x,y) sin(??) = ?sin?, M o x cos(??) = cos?.

tan(??) = ?tan?, P’(x,-y)

公式4：sin(π??) = sin[π+(??)] = ?sin(??) = sin?,

cos(π??) = cos[π+(??)] = ?cos(??) = ?cos?,

同理可得： sin(π??) = sin?,

cos(π??) = ?cos?.

tan(π??) = ?tan?,

补充：sin(2π??) = ?sin?, cos(2π??) = cos?，tan(2π??) = ?tan? 公式5、6 由角α的终边与

?2?2－α的终边关于y＝x对称，可以得到公式五：

?2sin（－α）＝cosα cos（－α）＝sinα

由于

?2＋α＝π－（

?2?2－α），由公式四和公式五可以得到公式六：

?2

＋α）＝－sinα

sin（＋α）＝cosα， cos（利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 2、记忆方法：奇变偶不变，符号看象限。

注：k??2??(k?Z)的三角函数值，当k为偶数时，得?的同名三角函数值；当k为奇数

时，得?余名三角函数值。再在前面加上一个正负号。（把?看成锐角时原函数值的符号）

3、考查公式：

sin(π+?)= cos（sin(??) = cos（

?22－α）＝ sin（

?2＋α）＝

?＋α）＝ cos(π??) =

?2cos(π+?)= cos(??) = sin（

－α）＝

sin(π??) = tan(??) = tan(π??) =

tan(π+?) = sin（sin（

3?23?2－α）＝ cos（

3?23?2－α）＝

+α）＝ cos（+α）＝

4、应用

例1、 利用公式求下列三角函数值： （1）cos225° (2)sin

11?3 (3)sin(－

16?3) (4)cos(－2040°)

任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0－2π的三角函数→锐角三角函数，这几步步骤中，灵活应用公式一到公式四。

(3)y=

三、巩固练习：

1、根据正弦函数图像，写出满足sinx?

2、求下列函数的最小正（1）f(x)?3cos(2x?周期：)(2)f(x)?2sin(?13x?1212cosx,x?R (4)y=sin(x?31?4) x?R

的x的取值集合。

?6? 4)

(3)y?sin34x,x?R

(4)y?cos4x,x?R

(5)y?12cosx,x?R

(6)y?sin(x?31?4)

2?）内,使sinx?cosx成立的x的取值范围为3、在（0，________________________

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1、2课时 学习目标：

1．结合正、余弦函数的图象和诱导公式理解正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 2．结合正、余弦函数的图象，可以写出正、余弦函数的单调区 3．会求正、余弦函数在某个指定的区间的最大和最小值

教学过程

一、奇偶性：

(1)复习函数的奇偶性

(1)奇函数：图象关于原点对称 f(-x)=-f(x) （定义域关于原点对称） (2)偶函数：图象关于y轴对称 f(-x)=f(x) （定义域关于原点对称）

(2)观察正弦曲线和余弦曲线: 发现正弦曲线关于______对称，余弦曲线关于______对称

yy=sinx 1 o-4?-3??-6?-5?4?5?-2?-?2?3?6?x-1

yy=cosx 1 ?-?-5?-3?3?4?5?-4?2?-6?x-2?6?-1

又因为正弦函数y = sinx 的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=sin(-x) = -sinx = -f(x) 所以函数y = sinx是奇函数。

同理:因为余弦函数y = cosx 的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=cos(-x) = cosx = f(x) 所以函数y = cosx是偶函数。

归纳：正弦函数是_______函数，余弦函数是_______函数。 正弦函数的所有对称轴： ________________________ 余弦函数的所有对称轴： ________________________

二、 单调性

yy1- -1- - -3?20?2?2?x-1 o?6 ?3?22?35?6?7?64?33?25?311?62?x- ?1- ?3?2,2

-1-

(1) 从y＝sinx，x∈［－

当x∈［－当x∈［

］的图象上可看出：

?2，

3?2?2］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

?2，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：正弦函数y=sinx

在每一个闭区间__________________上都是增函数，其值从－1增大到1； 在每一个闭区间__________________上都是减函数，其值从1减小到－1

(2) 从y＝cosx，x∈[-л, л]的图象上可看出：

当x∈［－л,0］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 当x∈［0，л］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数y=cosx

在每一个闭区间__________________上都是增函数，其值从－1增大到1； 在每一个闭区间__________________上都是减函数，其值从1减小到－1

（3） 最大值与最小值（对称轴）

从对正弦和余弦函数的单调性的讨论中（或观察图象）容易得到： a) 正弦函数当且仅当x=______________________时取得最大值1，

当且仅当x=_____________________时取得最大值-1，

b) 余弦函数当且仅当x=______________________时取得最大值1，

当且仅当x=______________________时取得最大值-1，

三、 典型例题：

题型一：求三角函数单调区间问题： 例1：求函数y?sin(

变式训练 1：求函数y?sin(

变式训练2：求函数y?sin(

12x??3),x?R的单调递增区间区间。

12x??3),x?[?2?,2?]的单调递增区间区间。（注意x的取值范围）

?3?12x)的单调递增区间区间。

反思小结：

1、求y?Asin(?x??)的单调区间，可以把?x??看作一个整体，代入y?sinx的单调区间内，解不等式即可。尤其注意x前面系数为负时，一定先转化为正。 2、当单调区间不连续时，一定要用逗号“，”分开，或用“和”连续，千万不能用“或”及“?”连接，切记！切记！

题型二、三角函数给定区间求值域问题。 例2：求函数y?2sin(2x??3),(??6?x??6)的值域。

例3：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。

（1）y?cosx?1,x?R (2)y??3sin2x,x?R

四、 巩固练习

1、求下列函数的单调区间：

（1）y?1?sinx,x?R (2)y??cosx,x?R

2、求使下列函数取的最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值分别是什么。

(1)y?1?12cos?3x,x?R (2)y?3sin(2x??4),x?R

3、设函数f(x)?sin(2x??),(?????0),y?f(x)的图象的一条对称轴是（1）求?； （2）求函数y?f(x)的单调增区间； （3）画出函数y=f(x)在区间[0,?]上的图象。

第一课时：1.5

直线x??8.

函数y=Asin(ωx+φ) 的图象（1）

教学目的：

1理解振幅的定义；

2理解振幅变换和周期变换的规律;

2sin(x??3 )

函数f(x)的周期为T＝2?，振幅为2。 （Ⅱ）列表：

x ?3??3 ?6 2?3 7?63?2 5?3 x? ?3)0 ?2?2?y?2sin(x? 0 2 0 -2 0

图象如右：

36解：①f(x)?3sin(x?② T=2?， 中心(k???6,0),(k?Z)，

?6)

③f(x)的最大值为3，相应的x值为

f(x)的最小值为

32?3

，相应的x的值为

?6

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