最新人教版高中数学选修2-3《随机变量及其分布》单元检测5

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1已知离散型随机变量ξ的分布列为 Ξ P 则ｋ的值（ ） 1 2 3 … … ｎ k nk nk nk n1 B.1 C.2 D.3 2kkk思路解析：由离散型随机变量的分布列性质有????=1，得ｋ=1.

n?n???n???A.

n个答案：B

2若P（ξ ≤ x2）=1-β,P(ξ≥x1)=1-α，其中x1

P(x1≤ξ≤x2)=P(ξ≤x2)+P(ξ≥x2)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β). 答案：B

3已知随机变量ξ的分布列为下表所示： Ξ P 则ξ的标准差为（ ）

A.3.56 B.3.56 C.3.2 D. 3.2

思路解析：本题考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识.由题意，根据随机变量分布列的性质知：

0.4＋0.1＋x=1，所以x=0.5.Eξ=0.4+0.3+2.5=3.2，

Dξ=2.2×0.4+0.2×0.1+1.8×0.5=3.56，所以标准差D??3.56.

2

2

2

1 0.4 3 0.1 5 x 答案：B

4D(aX+EX2-DX)等于（ ）

A.无法求解 B.0

C.a2DX D.2aDX+(EX)2

22

思路解析：注意到这里的EX及DX均为常数，由公式D(aX+b)=aDX，

22

可知D(aX+EX-DX)=aDX.

答案：C

5生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多有1件次品的概率为（ ） A.1-(98%)4

B.(98%)4+(98%)3·2% C.(98%)4

1D.(98%)4+C4(98%)3·2%

思路解析：设次品数为ξ，显然ξ服从分布，由题知：

011P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=C4(98%)(2%)+C4(98%)(2%)=(98%)+C4(98%)·2%.

4

0

3

4

3

答案：D

6离散型随机变量ξ的方差Dξ（ ）

A.一定不小于0 B.一定不大于0 C.一定大于0 D.可正可负 思路解析：由方差的定义有DX=答案：A 7设P（ξ=±1）=

?(xk?EX)i?1n2pk，因pk≥0,故DX≥0.

1，则σ(2ξ+5)为（ ） 2122

，所以Eξ=0,Eξ=1，所以Dξ=1,D(2ξ+5)=2Dξ=4.所以σ2A.2 B.4 C.1 D.6 思路解析：因为P(ξ=±1)=

(2ξ+5)=2. 答案：A

8设随机变量ξ服从正态分布N（0,1），P（ξ＞1）=ｐ，则P(-1<ξ<0)等于（ ） A.

11p B.1-p C.1-2p D.-p 22思路解析：本题主要考查了正态分布及随机变量的概率问题.由随机变量服从正态

分布N（0,1），由标准正态分布图可得P（-1<ξ<0）=

11-P(ξ>1)=-p. 22答案：D

9同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=_______________. 思路解析：由题意，有正面向上的概率为变量ξ的分布列如下：

ξ 0

31=0.75，没有正面向上的概率为=0.25，随机441 P 0.25 0.75 Eξ=0×0.25+1×0.75=0.75. 答案：0.75

10(2006山东青岛二模)设随机变量的分布列为下表所示，且b-a=0.2，则Eξ=___________. Ξ P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1 思路解析：本题考查了随机变量分布列的性质及随机变量的数学期望的求解知识.由随机变量分布列的性质知：0.1＋ａ＋ｂ＋0.1=1，所以ａ＋ｂ=0.8，又有ｂ-ａ=0.2，于是得ａ=0.3，ｂ=0.5，再由随机变量的数学期望公式知Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.5+3×0.1=1.6. 答案：1.6

11某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.

其中正确结论的序号是________________. 思路解析：“第3次击中目标”意味着其他各次均未击中，故①错；而“恰好击中目标3次”的概率为

33

×0.9×0.1，故②错；由于“至少击中目标1次”的对立事件为“一次都未击44

中目标”，所以概率为1-0.1.故③正确. 答案：③

12一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为ξ，则Eξ=______________. 思路解析：所有可能出现的情况分别为：

硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为x1=-4，此时概率P1=

1； 164； 166硬币2次反面向上而2次正面向上，则青蛙停止时坐标为x3=2，此时概率P3=；

164硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为x4=5，此时概率P4=；

161硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为x5=8，此时概率P5=；

16硬币3次反面向上而1次正面向上，则青蛙停止时坐标为x2=-1，此时概率P2=所以Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+x4P4+x5P5= (-4)×

14641+(-1)×+2×+5×+8×=2. 1616161616答案：2

13种植某种良种树苗，成活率为0.9，现在种植这种树苗5棵，试求： （1）全部成活的概率； （2）全部死亡的概率； （3）恰好成活四棵的概率； （4）至少成活三棵的概率. 思路解析：将种一棵树苗看作一次独立试验，利用独立重复ｎ次试验恰好发生ｋ次的概率公

式求解.

解：这是一个独立重复试验，其中ｎ=5，ｐ=0.9.

5（1）全部成活的概率为P(X=5)=C5·0.9=0.590 44；

5

0（2）全部死亡的概率为P(X=0)=C5·(1-0.9)=0.000 01；

5

4（3）恰好成活四棵的概率为P(X=4)=C50.9·(1-0.9)=0.328 05；

4

34（4）至少成活了三棵的概率为P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C50.93(1-0.9)+C50.9(1-0.9)+

2

4

550.9=0.991 44. C514在灯谜晚会上，猜谜者需猜谜1和谜2两条谜语.他可以自己选择猜这两条谜语的先后顺序.如果他决定先猜谜i(i=1,2），则只有当他猜对此谜后才能猜另一谜语，若猜错则退出比赛.若猜谜者猜对谜i（i=1,2），则奖vi元，设猜对谜i（i=1,2）这两件事是互不影响的，试问他应当先猜哪条谜语？ 思路解析：显然猜谜顺序对不同的人可能是不同的，这取决于他猜中两条谜语的把握性的大小.这可以用概率来分析.

解：设他猜中谜i（i=1,2）的概率为pi，若他先猜谜1，所得奖金的分布列为：

奖金 P 0 1-p1 v1 p1(1-p2) v1+v2 p1p2 此时获利奖金的期望是E1=v1p1(1-p2)+(v1+v2)p1p2. 若他先猜谜2，所得奖金的分布列为：

奖金 P 0 1-p1 v1 p2(1-p2) v1+v2 P1p2 此时获利奖金的期望是E2=v2p2(1-p1)+(v1+v2)p1p2.

显然，顺序取决于E1与E2的大小关系，当上述两式中的E1>E2时应先猜谜1，反之应先猜谜2.

15某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

表一 工序 概率 产品 甲 乙 0.8 0.75

第一工序 第二工序 0.85 0.8 表二

等级 利润 产品 甲 乙 项目 用量 产品 甲 乙 8 2 8 10 工人（名） 资金（万元） 5（万元） 2.5（万元） 表三 2.5（万元） 1.5（万元） 一等 二等 思路解析：本题主要综合考查了相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等知识.可以通过建立一个简单的数学模型来解决. 解：（1）P甲=0.8×0.85=0.68, P乙=0.75×0.8=0.6. （2）随机变量ξ、η的分别列是

ξ P η P Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2, Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.

2.5 0.6 1.5 0.4 5 0.68 2.5 0.32 ?5x?10y?60,?8x?2y?40,?（3）由题设知?

?x?0,??y?0.目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y.

作出可行域（如右图）：作直线l:4.2x+2.1y=0，得l向右上方平移l1位置时，直线经过可行

城上点M，点与原点距离最大，此时Z=4.2x+2.1y取最大值. 解方程组??5x?10y?60,

?8x?2y?40.得x=4,y=4.

即x=4,y=4时，z取最大值，z的最大值为25.2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4f15.html