原子及原子核物理 课后答案 PS:免挂咯 好东西要一起分享哦

第一章 原子的基本状况

1.1 若卢瑟福散射用的?粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68?106电子伏特。散射物质是原子序数Z?79的金箔。试问散射角??150?所对应的瞄准距离b多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

ctg得到：

?2?4??0Mv222Zeb?4??0K?Ze2b

b?Zectg2?24??0K?122?79?(1.60?10)ctg(4??8.85?10?12192)?(7.68?10?1015026??19)?3.97?10?15米

式中K??Mv是?粒子的功能。

1.2已知散射角为?的?粒子与散射核的最短距离为

rm?(14??0)2ZeMv22(1?1sin?2) ，试问上题?粒子与散射的金原子核

之间的最短距离rm多大？

解：将1.1题中各量代入rm的表达式，得：rmin?(14??01)

)2ZeMv22(1?1sin?2)

?9?10?94?79?(1.60?106?19)27.68?10?1.60?10?14?19?(1?sin75??3.02?10米

1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个?e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

12Mv2??Kp?Ze24??0rmin?19，故有：rmin?Ze24??0K

p?9?10?979?(1.60?106)210?1.60?10?19?1.14?10?13米

由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代

替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14?10?13米。

1.4 钋放射的一种?粒子的速度为1.597?107米/秒，正面垂直入射于厚度为10?7米、密度为1.932?104公斤/米的金箔。试求所有散射在??90?的?粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。

解：散射角在????d?之间的?粒子数dn与入射到箔上的总粒子数n的比是：

3dnn?Ntd?

其中单位体积中的金原子数：N??/mAu??N0/AAu 而散射角大于900的粒子数为：dn'??dn?nNt??d?

2

?dn所以有：

'n?Nt??d?2???N0AAu?t?(14??0)?(22ZeMu22)2?90?180?cossin3??2d? 2等式右边的积分：I??90?180?cossin3??2d??2?180??902dsinsin3??2?1

2故

dnn'??N0AAu?t?(?614??0)?(22ZeMu22)

2?8.5?107?8.5?10?400

?即速度为1.597?10米/秒的?粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子数大约是

8.5?10?400。

?（??15）1.5 ?粒子散射实验的数据在散射角很小时与理论值差得较远，时什么原

因？

答：?粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而?粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的?角，那是多次小角散射

合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，?粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知?粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后?粒子与电子的速度分别为：v,v',0,ve'。根据动量守恒定律，得：

?????'?'Mv??Mv??mve

?由此得：v??'?v??mM?'ve?173002?'ve …… (1)

'2又根据能量守恒定律，得：122Mv??'212Mv??212mv'2e

v??v??mM've ……（2）

将（1）式代入（2）式，得：

v??v?2'2??'2?7300(v??v?)2

2''整理，得：v?(7300?1)?v?(7300?1)?2?7300v?v?cos??0

?7300?1??'2?上式可写为：7300（v??v?)?0 ??'?v??v??0即?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细?粒子束射到单位面积上质量为1.05?10?2公斤/米的

?52银箔上，?粒子与银箔表面成60?角。在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0?10107.9。试求银的核电荷数Z。

米的计

2数器。测得散射进此窗口的?粒子是全部入射?粒子的百万分之29。若已知银的原子量为

解：设靶厚度为t。非垂直入射时引起?粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度t，而是t?t/sin60，如图1-1所示。

因为散射到?与??d?之间d?立体

角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：

60° t, 60o 14??0'''?20o dnn而d?为：

?Ntd? (1)

t 图1.1 d??()(2zeMv22)2d?sin4?2 （2）

把（2）式代入（1）式，得：

dnn?Nt(14??0)(2zeMv22)2d?sin4?2……（3）

式中立体角元d??ds/L2,t?t'/sin600?2t'/3,??200

N为原子密度。Nt'为单位面上的原子数，Nt??/mAg??(AAg/N0)'?1，其中?是单位

面积式上的质量；mAg是银原子的质量；AAg是银原子的原子量；N0是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

dnn?2?N03AAg(14??0)(2zeMv22)2d?sin4

?2由此，得：Z=47

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为

10?10米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过

计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于900的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设?粒子和铅原子对心碰撞，则?粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

12Mv2?2Ze2/4??0R?3.78?10?16焦耳?2.36?10电子伏特3

6由此可见，具有10电子伏特能量的?粒子能够很容易的穿过铅原子球。?粒子在到达原子

表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：

F?2Ze2/4??0R和F?2Zer/4??0R。可见，原子表面处?粒子所受的斥力最大，越

223靠近原子的中心?粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使?粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设?粒子擦原子表面而过。此时受

22力为F?2Ze/4??0R。可以认为?粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作

用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为t=D/v, ?粒子的动能为

v?2K/M，所以，t?D/v?Dt012Mv2?K，因此，

M/2K

根据动量定理：?Fdt?p??p??Mv??0

0而?Fdt?2Ze2/4??0R2?dt?2Ze2t/4??0R2

00tt所以有：2Ze2t/4??0R2?Mv? 由此可得：v??2Ze2t/4??0R2M

?粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度不变。据此，有：

tg??v?v?2Zet/4??0RMv?2ZeD/4??0RMv?322222

?2.4?10这时?很小，因此tg????2.4?10?3弧度，大约是 8.2。‘这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的?粒子被铅原子散射，不可能产生散射角??900的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当?粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生??900的散射，甚至会产生??1800的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。

第三章 量子力学初步

3.1 波长为1A的X光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得： 动量为：p??h??6.63?1010?10?34?6.63?10?24千克?米?秒?1

能量为：

E?hv?hc/??6.63?10?34

8?10?3?10/10?1.986?10?15焦耳。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长??? 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？

解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：

??h/2meV 对于电子：m?9.11?10?31公斤，e?1.60?10?19库仑

把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：

??12.25V?A?12.2510000?27??A?0.1225A

对于质子，m?1.67?10公斤，e?1.60?10?34?19?19库仑，代入波长的表示式，得：

?3??6.626?102?1.67?10?27??2.862?10?10000?1.60?10A

12.25V?3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来??布罗意波长与加速电压的关系式应改为：

A的电子德

??12.25V(1?0.489?10?6?V)A

其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。

证明：德布罗意波长：??h/p

对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：

K2?2Km0c2?pc

22而被电压V加速的电子的动能为：K?eV

?pp?2?(eV)c22?2m0eV22

2m0eV?(eV)/c因此有：

??h/p?h2m0eV?1?1eV2m0c2

一般情况下，等式右边根式中eV/2m0c2一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得：

??h2m0eV(1?eV4m0c2)?h2m0eV(1?0.489?10?6V)

由于上式中h/2m0eV?12.25V?A，其中V以伏特为单位，代回原式得：

??12.25V(1?0.489?10?6?V)A

由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。

证明：轨道量子化条件是：?pdq?nh 对氢原子圆轨道来说，pr?0,p??mr??mvr 所以有：

2??pd??2??mvr?nhhmv

?n?,n?1,2,3??S?2?r?n所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：

??其中

?p?d??n?h

prdr?nrhpr?mr,p??mr???(prdr?p?d?)?nh,其中n?n??nr?2?

而 ?(prdr?p?d?)??(mrdr?mr?d?)

2???????(mr2drdtdt?mr?2?d?dtdt)?mvdt??rds?dsh?h??mvdsds

???n因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。

3.5 带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？

解：由题知,电子动能K=1000电子伏特，?x?10?6米，动量相对偏差为?p/p。 根据测不准原理，有?p?x?经典力学的动量为：

h2，由此得：?p?h2?x

p???pp2mK?h2?x2mK?3.09?10?5

电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，足见电子的径迹与直线不会有明显区别。

3.6 证明自由运动的粒子（势能V?0）的能量可以有连续的值。 证明：自由粒子的波函数为：

??Ae?ih??(p?r?Et) ??（1） h2自由粒子的哈密顿量是：H??2m? ??（2）

2自由粒子的能量的本征方程为：H??E? ??（3）

把（1）式和（2）式代入（3）式，得：?即：

?ph22h22m?[Ae2?ih??(p?r?Et)]?E?

2m?A(2ddx22?ddy22?ddz22)e?ih(pxx?pyy?pzz?Et)?E?2m??E?p2

?E?2m自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有任意的连续值。 3.7 粒子位于一维对称势场中，势场形式入图3-1，即

{x?0,x?L,V?V00?x?L,V?0

（1）试推导粒子在E?V0情况下其总能量E满足的关系式。

（2）试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值。 解：为方便起见,将势场划分为Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个区域。 （1） 定态振幅方程为式中?是粒子的质量。

Ⅰ区：

d?dx22d?dx2(x)2?2?h2(E?V(x))?(x)?0

????0其中?22?2?h2(V0?E)

波函数处处为有限的解是：?1(x)?Ae?x,A是一任意常数Ⅱ区：

d?dx22。

????0其中?22?2?h2E

处处有限的解是：?2(x)?Bsin(?x??),B,?是任意常数。

Ⅲ区：

d?dx22????0其中?22?2?h2(V0?E)

处处有限的解是：?3(x)?De有上面可以得到：

1d?1??x,D是任意常数。

?1dx??,1d?2?2dx??ctg(?x??),1d?3?3dx???,

有连续性条件，得：

?{解得：

???ctg????ctg(?L??)

?tg(?L)???1???? 22??因此得：?L?n??2tg?1(?/?)

这就是总能量所满足的关系式。

（2） 有上式可得：

???tg(n?2?L2?L2??L2)

?{?tgctg??n?偶数，包括零

??n?奇数?L??(?L)ctg亦即

?L2

?L?(?L)tg令?L?L2?u,?L?v，则上面两方程变为：

v??utgv?utgu2u2??（1）

??（2）2222（3）另外，注意到u和v还必须满足关系：u?v?2?V0L/h??

所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。

3.8 有一粒子，其质量为m,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外，势能V??；在势箱内，V?0。式计算出粒子可能具有的能量。

解：势能分布情况，由题意知：

Vx?0,0?x?a;Vy?0,0?y?b;Vz?0,0?z?c;Vx??,x?0和x?aVy??,y?0和y?bVz??,z?0和z?c

在势箱内波函数?(x,y,z)满足方程：

??2x22???2y22???2z22?2mh2[E?(Vx?Vy?Vz)]??0

解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。

令?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)

第五章 多电子原子

5.1 He原子的两个电子处在2p3d电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之。已知电子间是LS耦合。

解：因为l1?1,l2?2,s1?s2?S?s1?s2或s1?s2;L?l1?l2,l1?l2?1,?，l1?l2, ?S?0,1;L?3,2,112，

所以可以有如下12个组态：

L?1,S?0,P1L?1,S?1,P0,1,2L?2,S?0,D2L?2,S?1,D1,2,3L?3,S?0,F3L?3,S?1,F2,3,4313131

5.2 已知He原子的两个电子被分别激发到2p和3d轨道，器所构成的原子态为3D，问这两电子的轨道角动量pl1与pl2之间的夹角，自旋角动量ps1与ps2之间的夹角分别为多少？

解：（1）已知原子态为3D，电子组态为2p3d ?L?2,S?1,l1?1,l2?2

因此，

pl1?pl2?PL?PL2l1(l1?1)h2??2?6?l2(l2?1)??L(L?1)??226?

2?pl1?pl2?2pl1pl2cos?L22?cos?L?(PL?pl1?pl2)/2pl1pl2??123?L?10646（2）

?'?s1?s2?12s(s?1)h?2h32h

?p1?p2?PS?S(S?1)h?而

PS2?ps1?ps2?2ps1ps2cos?s22222?cos?s?(PS?ps1?ps2)/2ps1ps2?13

?S?7032?'5.3 锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是4s4s。当其中有一个被激发，考虑两种情况：（1）那电子被激发到5s态；（2）它被激发到4p态。试求出LS耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？

解：（1）组态为4s5s时 l1?l2?0,s1?s2??L?0,S?0,1S?0时，J?L?0,单重态S0 S?1时;J?1,三重态3112，

S1根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的5种跃迁：

5S0?4P1,5S1?4P0;5S1?4P1;5S1?4P2 4P1?4S01133331133所以有5条光谱线。

（2）外层两个电子组态为4s4p时：

l1?0,l2?1,s1?s2?12，

?L?1,S?0,1S?0时，J?L?1,单重态P1 S?1时;J?2,1,0,三重态31P2,1,011根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁，4P1?4S0，

因此只有一条光谱线。

5.4 试以两个价电子l1?2和l2?3为例说明,不论是LS耦合还是jj耦合都给出同样数目的可能状态.

证明:(1)LS耦合

S?0，1;L?5,4,3,2,1,S?0时;J?L

5个 L值分别得出5个J值,即5个单重态．

S?1时;J?L?1,L,L?1;

代入一个L值便有一个三重态．５个L值共有５乘３等于１５个原子态：

3P0,1,2;D1,2,3;F2,3,4;G3,4,5;H4,5,6

3333因此，LS耦合时共有２０个可能的状态．

（２）jj耦合：

j?l?s或j?l?s;j1?52或32;j2?72或52

J?j1?j2,j1?j2,...j1?j2将每个j1、j2合成J得：

j1?j1?j1?j1?52325232和j2?和j2?和j2?和j2?72725252，合成J?6,5,4,3,2,1，合成J?5,4,3,2

，合成J?5,4,3,2,1,0，合成J?4,3,2,1375535共２０个状态：(,)6,5,4,3,2,1,(,)5,4,3,2;(,)5,4,3,2,1,0;(,)4,3,2,1

2222222257所以，对于相同的组态无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出同样数目的可能状态．

5.5 利用LS耦合、泡利原理和洪特定责来确定碳Z=6、氮Z=7的原子基态。

解:碳原子的两个价电子的组态2p2p,属于同科电子.这两个电子可能有的ml值是1,0,-1;可能有ms值是12,?12,两个电子的主量子数和角量子数相同,根据泡利原理,它们

的其余两个量子数ml和ms至少要有一个不相同.它们的ml和ms的可能配合如下表所示.

为了决定合成的光谱项,最好从ML??mli的最高数值开始，因为这就等于L出现的

?0ML得最高数值是2，最高数值。现在，因此可以得出一个D项。又因为这个ML只与MS相伴发生，因此这光谱项是1D项。除了M项，它们都是M是M??1,M1SL?2以外，ML??1,0,?1,?2也属于这一光谱

?0。这些谱项在表中以ML的数字右上角的记号“。”表示。共有两项?0；有三项是M?0,M?0。在寻找光谱项的过程中，把它们的哪一

3LSLS项选作D项的分项并不特别重要。类似地可以看出有九个组态属于P项，在表中以ML的

碳原子

ms1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ms2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ml1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 1 1 0 ml2 0 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 -1 ?misi?MS ?mili?ML 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 1 0* -1* 20 10 00 *1* 0 -1* 0* -10 -20 1 0* -1* * 氮原子 ms1 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ··· 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 ··· ms2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ··· 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 ··· ms3 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ··· -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ··· ml1 1 0 -1 1 0 -1 ··· 1 1 1 -1 -1 1 1 1 ··· ml2 0 1 0 0 1 0 ··· 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 ··· ml3 -1 -1 1 -1 -1 1 ··· 1 0 -1 0 -1 1 0 -1 ··· L?misi?MS ?mili?ML 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 ··· 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 ··· S0 0* 0 0* 0 0* ··· 2 1 0* -1 -2 1 0 -1 ··· 1数字右上角的记号“*”表示。剩下一个组态M1?0,M?0，它们只能给出一个S项。

因此，碳原子的光谱项是1D、3P和S，而没有其它的项。

因为在碳原子中P项的S为最大，根据同科电子的洪特定则可知，碳原子的P项应最

33低。碳原子两个价电子皆在p次壳层，p次壳层的满额电子数是6，因此碳原子的能级是正常次序，3P0是它的基态谱项。

氮原子的三个价电子的组态是2p2p2p，亦属同科电子。它们之间满足泡利原理的可能配合如下表所示。

表中删节号表示还有其它一些配合，相当于此表下半部给出的ms间以及ml间发生交换。由于电子的全同性，那些配合并不改变原子的状态，即不产生新的项。

由表容易判断，氮原子只有2D、2P和4S。根据同科电子的洪特定则，断定氮原子的基态谱项应为4S3/2。

5.6 已知氦原子的一个电子被激发到2p轨道，而另一个电子还在1s轨道。试作出能级跃迁图来说明可能出现哪些光谱线跃迁？

解：l1?0,l2?1,s1?s2?1/2;S?0,1;L?1 对于S?0,J?L?1，单态P1 对于S?1,J?2,1,0，三重态3P2，1，0

根据选择定则，可能出现5条谱线，它们分别由下列跃迁产生：2P1→1S0；2P1→2S0 23P0→23S1；23P1→23S1；23P2→23S1 3S1

3P0 1s2p 3

1s2s

1s1s

P1 S0 S1 S0 3131

1

1

1

1

P2 15.7 Ca原子的能级是单层和三重结构，三重结构中J的的能级高。其锐线系的三重线的频率v2?v1?v0，其频率间隔为?v1?v1?v0,?v2?v2?v1。试求其频率间隔比值?v2?v1。

解：Ca原子处基态时两个价电子的组态为4s4s。Ca的锐线系是电子由激发的s能级

向4p能级跃迁产生的光谱线。与氦的情况类似，对4s4p组态可以形成P1和P2,1,0的原子

3态，也就是说对L=1可以有4个能级。电子由诸激发S能级上跃迁到P2,1,0能级上则产生

133锐线系三重线。

根据朗德间隔定则，在多重结构中能级的二相邻间隔?v1?v1?v0,?v2?v2?v1同有

第九章 分子结构和光谱

~?16.94厘米9.1 HBr分子的远红外吸收光谱是一些?v?1等间隔的光谱线。试求HBr分子的转动惯量及原子核间的距离。已知H和Br的原子量分别为1.008和79.92。

~?2B……解：远红外光谱是由分子的转动能级跃迁产生的，谱线间隔都等于2B。即?v（1）

而 B?h/8?Ic ……（2） 由（1）、（2）两式可得：

2I?r?h8?BCI2?2h~c8??v2?3.302?101?47千克?米?102??(I?mH?mBrmHmBr

)2?1.42?10米9.2 HCl分子有一个近红外光谱带，其相邻的几条谱线的波数是：

2925.78,2906.25,2865.09,2843.56,2821.49厘米－１。 H和Cl的原子量分别是

~和这种分子的转动惯量。 1.008和35.46。试求这个谱带的基线波数v0解：由谱线的波数之差可见：除2906.25?2865.09之外，其他相邻谱线之差近乎相等。而2906.25和2865.09之差相当于其他相邻谱线之差的二倍。显然这是一个振动转

~。给出五条动谱带。上述两谱线之间有一空位，此空位即是只有振动跃迁是的基线波数v0~,v~；后三条属于P分谱线中，显然，头两条属于R分支，其波数按大小顺序分别记为vR2R1~v~v~支，其波数按大小顺序分别写作vP1,P2,P3。

R分支的谱线波数近似地由下述公式决定：

~?v~?2BJ',J'?1,2,　v?? R0P分支的谱线波数近似地由下述公式决定：

~?v~?2BJ',J'?1,2,　v?? P0因此有:

~~（1）?vR1?v0?2B??(Ⅰ)?~ ~?2B??v?v（2）0?P1(1)-(2) 式,得:B?~?v~vR1P14?10.29

~~（3）?vR2?v0?4B??(Ⅱ) ?~ ~?4B??v?v（4）0?P2(3)-(4) 式,得:

B?~?v~vR2P28h8?Bc2?10.28，?B??4710.29?10.282?10.285

转动惯量为: I??2.72?102千克?米

由(Ⅰ)、 (Ⅱ)，得基线波数为：

~?1(v~?v~?v~?v~)?2885.17厘米v0R2R1P1P24?1?288517米?1

9.3 Cl原子的两同位素Cl35和Cl37分别与H化合成两种分子HCl35和HCl37。试求这

两种分子的振动光谱中相应光谱带基线的频率v0之比。

解:

~??u?;v~??u?v11221v01v02~2?Cv?f?~1?1?1?Cv2?2f212?????????mH?mCl37??mH?mCl37???1.002mH?mCl35?mH?mCl35??Km1Km2?m2m1

9.4 试证明双原子分子相邻振动能量之间跃迁时发射光的频率与两核间固有振动频率一致。假设两原子间相互作用力为弹性力。

证明：在同一电子态中，有振动能级的跃迁时发光频率v由下式决定：hv?E2?E1 波数为:

~?1?E2?E1v?hc?1hc{[(u'?12)a?(u'?12)b]?[(u?12)a?(u?12)b]}

?(u'?u)??(u'?u)(u'?u?1)x?式中x?b/a,??a/hc?f/c;f是固有振动频率若原子间为弹性作用，第二项或能级修正项(u?12。

)b应略去。因此

2~?(u'?u)???u?,?u?1,2,,3??，也就是v~??，v2?,3???；对于相应能级，

~???u?1，?v

~?f 而??f/c；所以两相邻能级间跃迁时发射光的频率为：v?Cv9.5 怎样解释分子的组合散射有下列两个特点：

（1） 波长短的伴线比波长长的伴线的强度弱；

（2） 随散射体温度的升高，波长短的伴线强度明显增强而波长长的伴线的强度几乎不变。

解：（1）根据统计分布律，处在较高能级的分子数少于处在较低能级的分子数。因此，分子在纯转动能级间的受激辐射比受激吸收要弱得多。辐射的能量归并于原光子，吸收的能量取自原光子。因而波长短的伴线比波长长的伴线的强度弱的多。

（2）按玻尔兹曼分布律，Ni?N0gie?(Eg0i?E0)/KT，Ni是处在高能级Ei上的分子

数，N0是处在低能级E0上的分子数。gi,g0是对应的权重。可见当T增高时，位于较高能级上的分子数Ni就会明显增多。因而，随温度升高，波长短的伴线的强度明显增强。而在一般温度范围内，处于低能级（通常是基态）上的分子数变化不十分显著，因而波长长的伴线的强度几乎不变。

??9.6 光在HF分子上组合散射使某谱线产生波长2670A和3430A为两条伴线。试由此计算该分子的振动频率和两原子间已知的原子量分别为1.008和19.00。

解：设两条伴线的频率分别为v'和v\，则v'?v0?v1;v\?v0?v1; 式中v0是入射频率；v1是振动谱带频率。由上两式可得：

v'?v1?v\?v1v'?12(v'?v\)?(?)?1.24?102?'?''c1114Hz

而v1?12?Km，

22?K?(2?v1)m?(2?v1)?(2?v1)2mHmFmH?mF2

AHAFN0(AH?AF)?9.65?10牛顿/米

关的J值中较大的那一个成正比，因此，?v1?2,?v2?1，所以

?v2?v1?12。

5.8 Pb原子基态的两个价电子都在6p轨道。若其中一个价电子被激发到7s轨道，而其价电子间相互作用属于jj耦合。问此时Pb原子可能有哪些状态？

解：激发后铅原子的电子组态是6p7s。

1212l1?1,l2?0;s1??j?l?s或l?s?j1?j1?j1?321232或12,s2?;j2?121212

和j2?和j2?合成J?2,1.合成J?1，0因此，激发后Pb原子可能有四种状态：

（31311111，），（，），（，），（，）2110。 222222225.9 根据LS耦合写出在下列情况下内量子数J的可能值 （1）L?3,S?2，（2）L?3,S?72，（3）L?3,S?32

解：（1）因为J?L?S,L?S?1,.....,L?S 所以J?5,4,3,2,1,共2S+1=5个值。 （2）类似地，J?612,512,41212,31212,1,212,111,共有7个值。这里L

,211,。 22第六章 磁场中的原子

6.1 已知钒原子的基态是4F3/2。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。

解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态4F3/2之角动量量子数J?3/2，角动量在磁场方向的分量的个数为2J?1?2?4束。

（2）?J?ge2mPJ

32?1?4，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为

PJ?J(J?1)h?152h

按LS耦合：g?1?J(J?1)?L(L?1)?S(S?1)2J(J?1)155?615?25

??J?252m?e?152?h??B?0.7746?B

116.2 已知He原子P1?S0跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距

~?0.467/厘米，试计算所用磁场的感应强度。 ?v解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为：

~??v1?'?1??(m2g2?m1g1)Be4?mc

氦原子的两个价电子之间是LS型耦合。对应P1原子态，M2?1,0,?1；S?0,L?1,J?1，

1对应S0原子态，M1?0，S?0,L?0,J?0.g1?1?g2。

1~?(1,0,?1)Be/4?mc ?v~?Be/4?mc?0.467/厘米。 又因谱线间距相等：?v?B?4?mce?0.467?1.00特斯拉。

226.3 Li漫线系的一条谱线(3D3/2?2P1/2)在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出

相应的能级跃迁图。

解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。

3D3/2

2能级：l?2,S?3113,,?,?222212,j?32,

M?g2?1?2j(j?1)?l(l?1)?s(s?1)2j(j?1)1223,,j?12,

?45

2P1/2 能级：l?2,S?M?~?(??v2630,?122230,?,?12,g1?,2

2226,)L

303030302所以：在弱磁场中由32D3/2?22P1/2跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。

无磁场 2

有磁场 D3/2 M 3/2 106/3 1/2 -1/2 -3/2

1/2

2

P1/2

-1/2

? ? ? ?? ?

6.4 在平行于磁场方向观察到某光谱线的正常塞曼效应分裂的两谱线间波长差是

?0.40A。所用的磁场的B是2.5特斯拉，试计算该谱线原来的波长。

解：对单重项（自旋等于零）之间的跃迁所产生的谱线可观察到正常塞曼效应。它使原来的一条谱线分裂为三条，两个?成分，一个?成分。?成分仍在原来位置，两个?成分在?成分两侧，且与?成分间的波数间隔都是一个洛仑兹单位L。

~?又v1?~??(1)????/?2,?v

?符号表示波长增加波数减少。根据题设，把??近似地看作?成分与?成分间的波长差，则

有：

~???/??L ?v2其中L?Be/4?mc 因此，????L?4.1405?10?7?米?4140.5A

?6.5氦原子光谱中波长为6678.1A(1s3d1D2?1s2p1P1)及

?7065.1A(1s3sS1?1s2pP0)的两条谱线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别

13作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？

解：（1）D2谱项：L?2,S?0,J?2,M112??2,?1,0,g2?1。

P1谱项：L?1,S?0,J?1,M1??1,0,g1?1

?~?(?1,0,?1)L。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以??6678.1A的光谱线?v分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L，是正常塞曼效应。

（2）对S1能级：L?0,S?1,J?1,M332??1,0,g2?2

00，M1g1?0

对P0能级：L?1,S?1,J?0,M1?0,g1??~?v?(?2,0,?2)L，所以??7065.1A的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱

线的波数差均为2L，所以不是正常塞曼效应。

6.6 Na原子从3P1/2?3S1/2跃迁的光谱线波长为5896A，在B=2.5特斯拉的磁场中发生塞曼分裂。问从垂直于磁场方向观察，其分裂为多少条光谱线？其中波长最长

?22?和最短的两条光谱线的波长各为多少

2A？

12,J?1212,M2解：对于3P1/2能级：L?1,S???1212,g2?23

对于3S1/2能级：L?0,S?212,J?,M1??,g1?2

4224~?v?(?,?,,)L，所以从垂直于磁场方向观察，此谱线分裂为四条。

3333根据塞曼效应中裂开后的谱线同原谱线波数之差的表达式：

~~??(1)????/?2?v，?v???/????243L

因此，波长改变??为：???43L??0.54A

2所以，最长的波长?max为：

??max??????5896.54A

最短的波长?min为：

??min??????5895.46A

6.7 Na原子从3P?3S跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96埃。试求出原能级P3/2在磁场中分裂后的最低能级与P1/2分裂后的最高能级相并合时所需要的磁感应强度Ｂ。

解：对P3/2能级：l?1,s?22212,j?32,M??1232,?2312,g?43;

2P1/2能级：l?1,s?he4?mB

12,j?12,M??,g?;磁场引起的附加能量为：

?E?Mg2222222设P3/2,P1/2,S1/2,对应的能量分别为E2,E1,E0，跃迁P3/2?S1/2,P1/2?S1/2,产

??生的谱线波长分别为?2,?1；那么，?2?5889.96A,?1?5895.93A。

2P能级在磁场中

22发生分裂，P3/2,P1/2,的附加磁能分别记为?E2,?E1；现在寻求E2??E2?E1??E1时的

B。

E2?E1??E1??E2?(M1g1?M2g2)eh4?mB

eB4?mc由此得：

1(E2?E1)?(?E1??E2)hc?(M1g1?M2g2)

即：

?2?1?1?(M1g1?M2g2)eB4?mc

因此，有：B?134?mce1M1g1?M2g2?2(1?1?1)

其中M1g1?,M2g2??2，将它们及各量代入上式得：

B=15.8特斯拉。

6.8 已知铁的原子束在横向不均匀磁场中分裂为9束。问铁原子的J值多大？其有效磁矩多大？如果已知上述铁原子的速度v?10米/秒，铁的原子量为55.85，磁极范围

3

?故： ?S?11??11??11?33?1.3533?0.8633?0.01?9.18?9.6 ?10P?D轨道贯穿和原子实极化等效应对价电子的影响，归结为内层电子对价?的物理意义是：

电子的屏蔽作用。

7.4 原子中能够有下列量子数相同的最大电子数是多少？

(1)n,l,m;(2)n,l;(3)n。

答：（1）n,l,m相同时，ms还可以取两个值：ms?数为2个。

（2）n,l相同时，ml还可以取两2l?1个值，而每一个ms还可取两个值，所以n,l相同的最大电子数为2(2l?1)个。

（3）n相同时，在（2）基础上，l还可取n个值。因此n相同的最大电子数是：

n?112,ms??12；所以此时最大电子

N??2(2l?1)?2nl?02

7.5 从实验得到的等电子体系KⅠ、CaⅡ……等的莫塞莱图解，怎样知道从钾Z=19开始不填3d而填4s次壳层，又从钪Z=21开始填3d而不填4s次壳层？

解：由图7—1所示的莫塞莱图可见，3D和4S相交于Z=20与21之间。当Z=19和

2220时，由于能量同谱项值有E??hcT的关系，可见从钾Z=194S的谱项值大于3D的值，

2222起到钙Z=20的4S能级低于3D能级，所以钾和钙从第19个电子开始不是填3d而填4s次

壳层。从钪Z=21开始，4S谱项低于3D普项，也就是3D能级低于4S能级，所以，从钪Z=21开始填3d而不填4s次壳层。

7.6 若已知原子阿Ne,Mg,P和Ar的电子壳层结构与“理想”的周期表相符，试写出这些原子组态的符号。

解：Ne原子有10个电子，其电子组态为：1s2s2p；Mg原子有12个电子，其电子组态为：Ne的壳层+3s；P原子有15个电子，其电子组态为：Ne的壳层+3s3p；

Ar原子有18个电子，其电子组态为：Ne的壳层+3s3p。

262226222223第八章 X射线

8.1 某X光机的高压为10万伏，问发射光子的最大能量多大？算出发射X光的最短波长。

解：电子的全部能量转换为光子的能量时，X光子的波长最短。而光子的最大能量是：

5?max?Ve?10电子伏特

而 ?max?hc?minc

所以?min?h?max?6.63?105?34?3?10?198?10?1.60?10?0.124A

8.2 利用普通光学反射光栅可以测定X光波长。当掠射角为?而出现n级极大值出射光线偏离入射光线为2???，?是偏离?级极大出射线的角度。试证：出现n级极大的条件是

2????2dsinsin?n?

22d为光栅常数（即两刻纹中心之间的距离）。当?和?都很小时公式简化为

d(????22)?n?。

解：相干光出现极大的条件是两光束光的光程差等于n?。而光程差为：

2?????L?dcos??dcos(???)?2dsinsin

22根据出现极大值的条件?L?n?，应有

2????2dsinsin?n?

22当?和?都很小时，有sin由此，上式化为：d(???22???2?2???2????2;sin?2??2

)??n?;

即 d(????22)?n?

8.3 一束X光射向每毫米刻有100条纹的反射光栅，其掠射角为20＇。已知第一级极大

出现在离0级极大出现射线的夹角也是20＇。算出入射X光的波长。

解：根据上题导出公式：

2???2dsin2sin?2?n?

由于??20',??20'，二者皆很小，故可用简化公式：

d(???d?n?22)?n?

?由此，得：?;?(???2)?5.05A

?8.4 已知Cu的K?线波长是1.542A，以此X射线与NaCl晶体自然而成15?50'角入射而得到第一级极大。试求NaCl晶体常数d。

解：已知入射光的波长??1.542A，当掠射角??15?50'时，出现一级极大（n=1）。

n??2dsin?d???2sin???2.825A

?8.5 铝（Al）被高速电子束轰击而产生的连续X光谱的短波限为5A。问这时是否也能观察到其标志谱K系线？

解：短波X光子能量等于入射电子的全部动能。因此

?要使铝产生标志谱K系，则必须使铝的1S电子吸收足够的能量被电离而产生空位，因?电?hc?2.48?10电子伏特

3此轰击电子的能量必须大于或等于K吸收限能量。吸收限能量可近似的表示为：

EK?Rhcn2(Z??)

2这里，n?1,??0,Z?13；所以有：

EK?13Rhc?13R?hc?169?1.097?10?6.63?10?2.30?10电子伏特 37?3422?3?10

8故能观察到。

?8.6 已知Al和Cu对于??0.7A的X光的质量吸收系数分别是

0.5米/公斤和5.0米/公斤，Al和Cu的密度分别是2.7?10公斤/米和

8.93?10公斤/米。现若分别单独用Al板或Cu板作挡板，要??0.7A的X光的强度

332233?减至原来强度的1/100。问要选用的Al板或Cu板应多厚？

?解：??0.7A，(??3)Al?0.5米/公斤；(2??)Cu?5.0米/公斤

2?Al?2.7?10公斤/米，?Cu?8.93?10公斤/米

333II0?1100

??xI?I0e因为X光子能量较低，通过物质时，主要是电离吸收，故可只考虑吸收而略掉散射。

????I?I0eII0???x

?e??x11001所以有：x? 对于Al:

?ln100

??2?0.5米/公斤

???0.5米/公斤?2.7?10公斤/米xAl?1233?1.35?10米3?1?ln100?3.41?10?3米

对于Cu:

???5.0米/公斤

2???5.0米/公斤?8.93?10公斤/米xCu?1233?4.465?10米4?1?ln100?1.03?10?4米

8.7 为什么在X光吸收光谱中K系带的边缘是简单的，L系带是三重的，M系带是五重的？

答：X射线通过物质时，原子内壳层电子吸收X射线能量而被电离，从而产生吸收谱中带有锐利边缘的多个线系。吸收谱的K、L、M、……系是高能X光子分别将n=1,2,3……壳层的电子电离而产生的。每一谱线的锐边相当于一极限频率，在这频率下，X光子恰好把电子从相应壳层电离而不使其具有动能。对应于X射线能级的谱项公式是：T?R(Z??)n22?R?(Z?S)n424(nK?34)???

式中?对不同的n和不同的l都不同，K=J+1/2。由于J不同也有不同的谱项数。对于K壳层,n?1,l?0,J?12,?只有一个值，只有一个光谱项，所以K系带的边缘是简单的。对于

12),(l?1,J?12),(l?1,J?32)。此三组量子数

L壳层n?2可以有三组量子数(l?0,J?分别对应有三种谱项值，所以，L系有三个吸收限，即是三重的。M壳层, n?3,可以有五组量子数：(l?0,J?12),(l?1,J?12),(l?1,J?32),(l?2,J?32),(l?2,J?52)。此五

组量子数分别对应五个光谱项值，所以M系带有五个吸收限，即是五重的。同理可知：N系是七重的。Ｏ系是九重的。

8.8 试证明X光标识谱和碱金属原子光谱有相仿的结构。

证明：我们以X光谱L系与碱金属光谱进行比较。L系是由外层电子向L壳层（n=2）上的空位跃迁时发射的。它可分成三个小系。LI系是电子由诸ｎ＞２的p能级向2s能级跃迁产生的。s能级是单层的，p能级是双层的且间隔随n的增大而逐渐减小。所以LI系由双线构成且随波数增加而双线间隔缩小。对应的碱金属主线系也是诸p能级向较低的s能级跃迁产生的，而p、s能级结构与X能级相仿。所以其光谱具有相仿的结构。LII系是由诸的n?3能级跃迁到2P能级上产生的，而s是单层的，p是双层的。所以LII系谱必是由一组等间距的双线构成。LII系对应于碱金属第二辅线系的跃迁。它们有相仿的结构。同理，LIII系与碱金属第一辅线系有相仿结构。其他X光谱系也具有同金属相仿的结构。

X光标志谱之所以与碱金属原子光谱具有相仿的结构，在于满壳层缺少一个电子形成的原子态同具有一个价电子的原子态相同。X能级是有满壳层缺少一个电子构成的；碱金属能级是一个价电子形成的。根据第七章习题8的证明，它们应有相同的谱项，因而具有相仿的结构。在跃迁是，它们服从同样的选择定则，因此它们应有相仿的光谱线系。

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