2013届新乡许昌平顶山高三第三次调研考试

2005.3 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么

P(A B) P(A) P(B)

球的表面积公式

S 4 R2

如果事件A、B相互独立，那么 P(A B) P(A) P(B) 其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那 么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kk

Pn(k) Cnp(1 p)n k

4

V R3

3

其中R表示球的半径

第一部分 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A {x||x| 1}，B {x|x2 x 0}，则A B

A．{x|x 1}

（ ）

B．{x| 1 x 0} C．{x|0 x 1}

D．{x|1 x 2}

（ ）

2．若函数f(x) (ex 1)，则f 1(1)

A．0

B．1

12

C．2 D．(e 1)

12

3．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同

时落在奇数所在区域的概率是 （ ）

A．

4

9

B．

2 9

C．

2 3

D．

13

4．复数a bi与c di（a,b,c,d R）的积是纯虚数的充要条件是

（ ）

A．ac bd 0 B．ad bc 0 C．ac bd 0且ad bc 0 D．ac bd 0且ad bc 0

5．已知向量a和向量b的夹角为60 ，|a| 6，|b| 4，那么|a b| （ ）

A．100 B．76

C．10

C．

D．

（ ）

6．若tan 2，则sin cos 的值为

A．

1 2

B．

2 32 5

D．1

7．在圆x2 y2 4上的所有点中，到直线4x 3y 12 0的距离最大的点的坐标是（ ）

86

A． ,

55

86 B． ,

55

86 C． ,

55

86 D． ,

55

（ ）

8．在(1 x x2)(1 x)10的展开式中，x3的系数是

A． 85

B． 84

C．83 D．84

（ ）

|x 1|(x 1)

9．设函数f(x) ，则使得f(x) 1的自变量x的取值范围是

x 3(x 1)

A．( , 2] [1,2] C．( , 2] [0,2]

B．( , 2) (0,2) D．[ 2,0] [2, )

C、D是半径为2的球面上的四个不同的点，10．设A、B、且满足AB AC 0，AD AC 0

，AB AD 0，用S ABC、S ABD、S ACD分别表示 ABC、 ABD、 ACD的面积，则S ABC S ABD S ACD的最大值是

A．16

B．8

（ ）

C．4 D．2

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 11．不等式

x

2的解集是 。 x 1

12．如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD中，PA

底面ABCD，PA AB 2，则三棱锥B PCD的体 积为 。

13．小于100的正整数中共有个数被5整除余2，这些数的和是

14． ABC的三个顶点的坐标为A(2,4)，B( 1,2)，C(1,0)，点P(x,y)在 ABC内部及

边界上运动，则y 2x的最大值为 ，最小值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 15．（本小题满分12分）

求函数y 2sinxcosx 2cos2x 3（x R）的最小正周期、最大值和最小值。 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x) x2(ax b)（a,b R）在x 2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切 线与直线3x y 0平行。

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间。 17．（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱A1B1C1 ABC中，D、E分别是棱BC、CC1的中点，AB AA1 2。 （Ⅰ）证明：BE AB1；

（Ⅱ）求二面角B AB1 D的大小。

C1

E

C A

B

18．（本小题满分14分）

甲、乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标 有数字2，2个标有数字3。两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若提取的两个球上的数字相同，则甲胜，否则为乙胜。 （Ⅰ）求乙获胜的概率；

（Ⅱ）若又规定：抽取的两个小球上的数字都有1时，甲胜且得1分；抽取的两个小球上的数字都为2时，甲胜且得2分；抽取的两个小球上的数字都为3时，甲胜且得3分；甲败则得0分。求甲得分的数学期望。 19．（本小题满分14分）

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：f(1) 1；当x 0时，f(x) 0；对于任意 的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y)。 （Ⅰ）证明：f(x)为奇函数；

（Ⅱ）若数列{an}满足条件：0 a1 1，2 an 1 f(2 an)（n N ），证明：0 an 1。 20．（本小题满分14分）

已知双曲线C

的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率e

1 0。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l过点A(0,1)且斜率为k（k 0），问：在双曲线C的右支上是否存在唯

一点B，它到直线l的距离等于1。若存在，则求出符合条件的所有k的值及相应点B的坐标；若不存在，请说明理由。

一、选择题： 数学试卷参考答案

二、填空题： 11．{x|1

x 2}

12．

4 3

13．20，990

14．4， 2

三、解答题： 15．解：由

π

y sin2x 1 cos2x 3 2x 2得

4

最小正周期T

2

2

3

，最大值

ymax2，最小值ymax 2。

f

(1) 3a 2b 3

16．解：（Ⅰ）f(x) ax

f (2) 12a 4b 0依题意，得 bx2 f (x) 3ax2 2bx。 a 1,b 3；

，f (x) 3x2 6x。故由f (x) 3x2

6x 0 x

0orx 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知

f (x) 3x2 6x 0 0 x 2，即函数f(x)的单调递增区间为( ,0)、(2, )，单调递减区

间为(0,2)。

17．解：如图建立空间直角坐标系，则

（Ⅰ）证明：因为B( 1,0,0)，E(1,0

,1)，

A(00)，B1( 1,0,2)，

所以BE (2,0

,1)，AB1 ( 1,2)，故

BE AB1 2 ( 1) 0 ( 1 2 0，

因此，有BE

y

x

B

AB1；

（Ⅱ）设n1

(x

,y,z)是平面ABB1的法向量，

因为AB1 ( 1,2)，BB1 (0,0,2)，所以由

n1 AB1 n1 AB1 x 2z 0

可取n1 1,0)；

n1

BB1 n1 BB1 2z 0

同理，n2 (2,0,1)是平面AB1D的法向量。设二面角B AB1 D的平面角为 ，则

|n1 n2|。 cos |cos n1,n2 | |n1| |n2|

18．解：（Ⅰ）乙获胜的概率为P 1

5 5 3 3 2 2

0.62；

10 10

（Ⅱ）设甲得分为 ，则 的可能取值为0、1、2、3，其分布列为：

从而甲得分的数学期望是

E 0 0.62 1 0.25 2 0.09 3 0.04 0.55。

19．证明：（Ⅰ）因为对于任意的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y)，故

令x y 0得f(0 0) f(0) f(0) f(0) 0，再令y x得

f(0) f(x ( x)) f(x) f( x) 0，即f( x) f(x)，

所以f(x)是奇函数；

（Ⅱ）设x1,x2 R且x1

x2，则x1 x2 0，故f(x1 x2) 0，从而

f(x1) f[(x1 x2) x2] f(x1 x2) f(x2) f(x2)，

所以

f(x)在R上是增函数。又因为f(0) 0，f(1) 1，所以当0 x 1时，有

0 f(x) 1。

由

……①

f(2) f(1) f(1) 2 2 an 1 f(2 an) f(2) f(an) 2 f(an)，即有

an 1 f(an)。

……②

下面用数学归纳法证明：对任意的n N，都有0 an⑴当n 1时，命题显然成立； ⑵假定当n k时，命题成立，即0 ak

即当n k 1时，命题也成立。

由⑴、⑵及数学归纳法原理知：上述命题成立。

1。

1

，则由①知：0 f(

ak) 1，由此及②得0 ak 1 1，

x2y2

20．解：（Ⅰ）依题意，可设双曲线C的方程为2 2 1（a 0，b 0），则

ab

c2 a2 b2

22

c，即双曲线C的方程为x y 1； a b 1 a a2

c

（Ⅱ）依题意，直线l的方程为

y kx 1（k 0），

设B(x0,y0)为双曲线C上到直线l的距离等于1的点，则

d1。

⑴若0 k 1，则直线l与双曲线C右支相交，故双

曲线C的右支上有两个点到直线l的距离等于1，与题意 矛盾；

⑵若k 1（如图所示），则直线l在双曲线C的右支的上方，故

y0 kx0 1，

2

1 y0 kx0 1。又因为x0

2 y0 1，所以有

2

x0 (kx0 12 1，

整理，得

2

(k2 1)x0 2k(1x0 k2 3 0。……（★）

①若k

1，则由（★）得x0

y0 kx0 1

1，即B；

②若k 1，则方程（★）必有相等的两个实数根，故由

4k2(12 4(k2 1)(k2 3) 4(3 0，

解之得k

（k ，此时有

x0 y0 kx0 1

2，即B2)。

综上所述，符合条件的k的值有两个：k

1，此时B

；k

，此时B2)。

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