北京66中-学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）北师大版

2012-2013学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2010?湖南）复数

的值为（ ）

A． 1﹣i B． 1+i C． ﹣1﹣i D． ﹣1+i 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R），可得选项． 解答： 解：． 故选B． 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，高考常考题，是基础题． 2．（3分）

（ ）

D． 3 A． 6 B． 5 C． 4 考点： 定积分． 专题： 计算题． 分析： 直接根据定积分的运算法则求解即可． 12222解答： 解：∫22xdx=x|1=2﹣1=3 故选D． 点评： 本题是定积分的简单计算，是基础题．

32

3．（3分）设f（x）=ax+3x+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（ ） A． B． C． 考点： 导数的运算． 专题： 计算题． 分析： 先求出导函数，再代值算出a． 2解答： 解：f′（x）=3ax+6x， ∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a= D． 故选D． 点评： 本题是对导数基本知识的考查，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容． 4．（3分）若

，则实数x的值为（ ）

C． 4或1 D． 其它 A． 4 B． 1 考点： 组合及组合数公式． 专题： 计算题． 分析： 直接利用组合数公式的性质列式求解x的值． 解答： 解：由，得①或② 解①得，x=1． 解②得，x=4． 所以x的值为4或1． 故选C． 点评： 本题考查了组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础的运算题． 3

5．（3分）（2010?江西模拟）曲线y=x﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 120° 考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题． 分析： 欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． /22解答： 解：y=3x﹣2，切线的斜率k=3×1﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B． 点评： 本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 6．（3分）（2007?杭州二模）在

的展开式中的常数项是（ ）

A． 7 B． ﹣7 C． 28 D． ﹣28 考二项式系数的性质． 点： 专计算题． 题： 分利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项． 析： 解解：展开式的通项为答： 令 故选A 点本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题． 评： 32

7．（3分）函数f（x）=x﹣3x+2x的极值点的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数． 2解答： 解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x﹣6x+2， 当x∈则函数f（x）在32时，f'（x）＜0，当x∈上单调递减，函数f（x）在或（1，+∞）时，f'（x）＞0， ，（1，+∞）上单调递增， ∴函数 f（x）=x﹣3x+2x有2个极值点． 故答案为：C． 点评： 本题考查利用导数研究函数的极值．属于基础题． n

8．（3分）在（x+y）的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（ ） A． 13，14 B． 14，15 C． 12，13 D． 11，12，13 考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 根据题意，分三种情况讨论，①若仅T7系数最大，②若T7与T6系数相等且最大，③若T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案． 解答： 解：根据题意，分三种情况： ①若仅T7系数最大，则共有13项，n=12； ②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n=11； ③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n=13； 所以n的值可能等于11，12，13； 故选D． 点评： 本题考查二项式系数的性质，注意分清系数与二项式系数的区别于联系；其次注意什么时候系数会取到最大值． 3

9．（3分）（2012?昌图县模拟）若函数f（x）=x+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A． [﹣3，+∞） B． （﹣3，+∞） C． [0，+∞） D． （0，+∞） 考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 计算题． 2分析： 由已知，f′（x）=3x≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围． 2解答： 解：f′（x）=3x+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成222立，即a≥﹣3x，恒成立，只需a大于﹣3x 的最大值即可，而﹣3x 在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）． 故选A． 点评： 本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法． 10．（3分）已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（ ） A． P（k）对k=2013成立 B． P（k）对每一个自然数k成立 C． P（k）对每一个正偶数k成立 D． P（k）对某些偶数可能不成立 考点： 进行简单的合情推理． 专题： 概率与统计． *分析： 由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立，故可得结论． *解答： 解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立， 而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立 故p（k）对于k=2013不一定成立，对于某些偶数可能成立，对于每一个偶数k不一定成立，对于每一个自然数k不一定成立． 故选D． 点评： 本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，考查学生的推理能力，属于中档题． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）函数f（x）=1﹣lnx在x=1处的切线方程是 y=2﹣x ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程． 解答： 解：∵f（x）=1﹣lnx，∴f′（x）=﹣ x=1时，f′（1）=﹣1，f（1）=1 ∴函数f（x）=1﹣lnx在x=1处的切线方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即y=2﹣x 故答案为：y=2﹣x． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 12．（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论． 解答： 解：由题意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1 ∴f（5）+f′（5）=2 故答案为：2 点评： 本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 13．（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成 480 个没有重复数字的六位奇数． 考点： 计数原理的应用． 专题： 概率与统计． 分析： 先排第一位、第六位，再排中间，利用乘法原理，即可得到结论． 解答： 解：第一位不能取0，只能在5个奇数中取1个，有5种取法；第六位不能取0，只能在剩余的4个奇数中取1个，有4种取法； 中间的共四位，以余下的4个数作全排列． 所以，由0，1，3，5，7，9这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有5×4×=480个． 故答案为：480 点评： 本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

776

14．（4分）若（2x﹣1）=a7x+a6x+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1= 1094 ． 考点： 二项式定理． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 在所给的等式中，令x=1可得 a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=﹣1可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a2﹣a1 +a0 7=﹣3 ②．把①减去②，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1的值． 解答： 解：在所给的等式中，令x=1可得 a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=﹣1可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a27﹣a1 +a0 =﹣3 ②． 把①减去②，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1==1094， 故答案为1094． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题． 15．（4分）已知x＞0，观察下列几个不等式：

；

；

；

；…；归纳

猜想一般的不等式为，（n是正整数） ．

考点： 归纳推理． 专题： 探究型． 分析： 根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，类推可得变化规律，左式为x+，右式为n+1，即可得答案． 解答： 解：根据题意，对给出的等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…， 则一般的不等式为x+≥n+1，（n是正整数）； 故答案为x+≥n+1（n是正整数）．

点评： 本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中的变化规律． （1）（2）（1）（n）（n﹣1）

16．（4分）记f（x）=[f（x）]′，f（x）=[f（x）]′，…，f（x）=[f（x）]′（n∈N+，

（1）（2）（2013）

n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f（0）+f+L+f（0）的值为 1007 ． 考点： 导数的运算． 专题： 计算题． （1）（2）（5）（1）（2）（5）分析： 先求出f（x），f（x），…f（x），由f（0），f（0），f（0），f（0），…可发现规律，从而可得到答案． （1）（2）解答： 解：由f（x）=xcosx，得f（x）=cosx﹣xsinx，f（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx， （3）（4）（5）f（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…， （1）（2）（2013）则f（0）+f（0）+f+…+f（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007， 故答案为：1007． 点评： 本题考查导数的运算，考查学生的归纳推理能力． 三．解答题（4道题，共36分）

17．（6分）已知函数f（x）=x﹣x﹣2x+5

（1）求函数的单调区间．

（2）求函数在[﹣1，2]区间上的最大值和最小值． 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题． 分析： （1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0； （2）先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值． 2解答： 解：（1）f'（x）=3x﹣x﹣2（2分） 由f'（x）＞0得或x＞1，（4分） 3

2

故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞）；（5分） 由f'（x）＜0得故函数的单调递减区间为（（2）由（1）知而区间[﹣1，2]端点的函数值（6分） ，1）（7分） 是函数的极大值，f（1）=3.5是函数的极小值；（10分） （12分） 故在区间[﹣1，2]上函数的最大值为7，最小值为3.5（14分） 点评： （1）利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定 的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论． （2）这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小

18．（10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，1+2+3+…+n=

3

3

3

3

．

考点： 数学归纳法． 专题： 证明题． 分析： 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可． 解答： 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边==1， ∴等式成立…2分 （2）假设当n=k时，等时成立，即1+2+3+…+k=3333…4分 那么，当n=k+1时，有1+2+3+…+k+（k+1）=33333+（k+1）…6分 3=（k+1）?（=（k+1）?22+k+1） = =…8分 这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分 *根据（1）和（2），可知对n∈N等式成立…10分 点评： 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题． 19．（10分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （l）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲不站左端，乙不站右端． 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 概率与统计． 分析： （l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，再根据分步计数原理求得结果． （2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有? 种站法． ?（种））． 种．把排（3）先把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有（4）先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有结果． 种．根据分步计数原理，求得（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有方法，根据分步计数原理，方法共有4×4×有=120种排法．相加即得所求． 种=384种．当甲在右端时，其余的5个人任意排，共解答： 解：（l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有有?=480 （种）． ?种，故共（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有=240 （种）站法． （3）先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中， 方法共有?=480 （种））． 种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种． 种． （4）先把甲乙排好，有把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有 ??=144种． 种（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有方法， 根据分步计数原理，方法共有4×4×=384种． =120种排法． 当甲在右端时，其余的5个人任意排，共有故甲不站左端，乙不站右端的排法有384+120=504种． 点评： 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目． 20．（10分）已知函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值． （I）求a与b满足的关系式；

（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．

考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用． ′分析： （Ⅰ）利用f（1）=0即可求得a与b的关系． （Ⅱ）先求导得f（x）=′解答： 解：（Ⅰ）f（x）=1﹣﹣′，然后对参数a分a＞2，a=2，a＜2讨论即可． ， ′∵函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值，∴f（1）=0，∴1﹣a﹣b=0，即b=1﹣a． （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 由（Ⅰ）可得f（x）=′′==． 令f（x）=0，则x1=1，x2=a﹣1． ′′①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a﹣1，+∞）时，f（x）＞0；当x∈（1，a﹣1）时，f（x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a﹣1，+∞）；单调递减区间为（1，a﹣1）． ′②当a=2时，f（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增． ′′③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1﹣a）∪（1，+∞）时，f（x）＞0；当x∈（1﹣a，1）时，f（x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1﹣a），（1，+∞）；单调递减区间为（a﹣1，1）． 点评： 本题考查了含有参数的函数的单调性，对参数恰当分类讨论是解决问题的关键．

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