甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学（文）试题

兰州市2015届高三3月诊断考试

数学（文）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．已知集合A?{x||x|?1}，B?{x|x?0}，则AIB? A．(?1,0) B．(?1,1) 2．复数z?(1?i)2的实部是

A．2 B．1 C．0 D．?1

C．(0,)1 D．(0,1) 2

rrrrrrrr3．已知向量a，b满足a?b?0，|a|?1，|b|?2，则|a?b|?

A．0 B．1 C．2 D．5

4．从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为 A．

1 6B．

112 C． D． 3235．在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB．则B?

? B．? C．? D．? 46326．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是

A．

A．2 C．

7．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?BC?2，AA1?1，

俯视图 B．

9 2x3 2D．3

211正视图 侧视图

·1·

则点A到平面A1BC的距离为

A．33 B． 42C．33 D．3 4开始 i=12,S=1 否 是 8．如图，程序输出的结果S?132, 则判断框中应填 A．i?10? B．i?11? C．i?11? D．i?12?

S=S*i i=i-1 输出S 结束 ?x?y?1?9．已知不等式组?x?y??1所表示的平面区域为D，若直线y?kx?3与平面区域D有公 共点，

?y?0?则k的取值范围为是 A．[?3,3]

B．(??,?]?[,??) D．[?,]

1313C．(??,?3]?[3,??)

113310．在直角坐标系xoy中，设P是曲线C：xy?1(x?0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，

且l交坐标轴于A,B两点，则以下结论正确的是 A．?OAB的面积为定值2

C．?OAB的面积有最大值为4

B．?OAB的面积有最小值为3 D．?OAB的面积的取值范围是[3,4]

x2y211．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，

ab若椭圆C的中心到直线AB的距离为

6|F1F2|，则椭圆C的离心率e? 6·2·

A．

2 2B．

3 2C．

2 3D．

3 3(x)，且12．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f?(x)，若对于任意实数x，有f(x)?f?y?f(x)?1为奇函数，则不等式f(x)?ex的解集为

A．(??,0)

B．(0,??)

C．(??,e4)

D．(e4,??)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知??(0,2?2)，cos??4，则sin(???)? ． 5x2y2??1的两条渐近线所围成的三角形的面积等14．抛物线y??12x的准线与双曲线93于 ．

15．已知函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 16．若函数f(x)?2sin(x?)(?2?x?14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f(x)84uuuruuuruur的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则(OB?OC)?OA? ．

??三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

在等比数列{an}中，已知a1?2,a4?16． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式．

（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的前n项和Sn．

·3·

18．（本小题满分12分）

AB?2, 如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，

BC?CD?1AB∥CD，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C．

D1 （Ⅰ）求证：AD1?BC；

（Ⅱ）在AB上是否存在点M，使得

A1 C1

B1

C1M∥平面ADD1A1？若存在，确定

点M的位置；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

兰州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽

取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从 第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中

随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4 组至少有一名志愿者被抽中的概率．

20．（本小题满分12分）

A

D C B 频率/组距 0．07 0．06 0．05 0．04 0．03 0．02 0．01 O 20 25 30 35 40 45 年龄

a2x2y2已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线为y?3x，右焦点F到直线x?的

abc距离为

3． 2（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若

uuuruuurDF?BF?1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?e?ax（a?R,e为自然对数的底数）．

·4·

x（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若a?1，函数g(x)?(x?m)f(x)?ex?x2?x在x?(2,??)上为增函数，求实数m的取

值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A、B两点，?APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D．求证: （Ⅰ）CE?DE；

C ?O

A B P

E D CAPE?（Ⅱ）． CEPB

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

?x?3cos? 在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为?，（?为参数），以原点O为极点，

?y?sin??x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(??)?42．

4（Ⅰ） 求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ） 设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．

·5·

一、选择题 2 题号 1 答案 D C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B 8．由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此

循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意

11. 解析：设椭圆C的的焦距为2c(c?a)，由于直线AB的方程为ax?by?ab?0，所以

aba2?b2所以e??6，c，因b2?a2?c2，所以3a4?7a2c2?2c4?0，解得a2?2c2或3a2?c2（舍）

32 2二、填

空题

13 14. 33 15. (0,) 16. 72

2511 15．解析 ：函数f(x)?x?lnx?ax?，则f?(x)?lnx?ax?x(?a)?lnx?2ax?，

x13.

令f?(x)?lnx?2ax?1得lnx=2ax-1，因为函数f(x)?x?lnx?ax?有两个极值点，所以

f?(x)?lnx?2ax?1有两个零点，等价于函数y?lnx与y?2ax?1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作y?lnx的切线，设切点为（x0，y0），

·6·

则切线的斜率k?x11，切线方程为y?x?1. 切点在切线上，则y0?0?1?0，又切点在曲线x0x0x0y?lnx上，则lnx0?0?x0?1，即切点为（1，0）.切线方程为y?x?1. 再由直线y?2ax?1与曲线y?lnx有两个交点，知直线y?2ax?1位于两直线y?0和y?x?1之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是(0,).

16．解析：∵?2?x?14，∴f(x)?0的解为x?6，即A(6,0)，而A(6,0)恰为函数f(x)图像的一个对称中心，∴B、C关于A对称

12uuuruuuruuruuruuruur2 ∴(OB?OC)?OA?2OA?OA?2|OA|?2?36?72

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）??an?为等比数列 ∴

a43=q?8;a1

∴ q?2∴an?2?2n?1?2n …………6分

（Ⅱ）∵b3?a3?23?8,b5?a5?25?32,又因为{bn}为等差数列 ∴b5?b3?24?2d ∴d?12

a1?a3?2d??16 ∴Sn??16n?

n(n?1)?12?6n2?22n …………12分 218. 解：(Ⅰ)证明:连接D1C,则D1C?平面ABCD, ∴D1C?BC

在等腰梯形ABCD中,连接AC ∵AB?2,BC?CD?1,AB∥CD ∴BC?AC

·7·

∴BC?平面AD1C

∴AD1?BC …………6分

(Ⅱ)设M是AB上的点

∵AB∥CD ∴AM∥D1C1

因经过AM、D1C1的平面与平面ADD1A1相交与AD1，要是C1M∥平面ADD1A1，则C1M∥AD1，即四边形AD1C1M为平行四边形 ，此时D1C1?DC?AM?点.

所以在AB上存在点M,使得C1M∥平面ADD1A1，此时点M为AB的中点.……12分 19. 解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,

第5组的人数为0.1×100=10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第3组: 第4组: 第5组:

30×6=3； 6020×6=2； 6010×6=1； 601AB，即点M为AB的中2 即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3 ,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

( A1,A2), (A1,A3),( A1,B1),( A1,B2),( A1,C1), ( A2,A3),( A2B1),( A2,B2), ( A2,C1), ( A3,B1), A3,B2), (A3,C1),

( B1,B2),( B1,C1),( B2,C1),共有15种.

·8·

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

( A1,B1),( A1,B2),( A2B1),( A2,B2), ( A3,B1), (A3,B2),( B1,B2), ( B1,C1),( B2,C1),共有9种,………10分 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

93? …………12分 155ba23? 20. 解：（Ⅰ）依题意有?3，c?ac2 ∵a?b?c ∴c?2a ∴a?1，c?2 ∴b?3

2222y2?1 ……………6分 ∴曲线C的方程为x?32 （Ⅱ）设直线l的方程为y?x?m，则B(x1,x1?m)，D(x2,x2?m)，BD的中点为M

?y?x?m?22 由?2y2 得 2x?2mx?m?3?0

x??1?3?m2?3 ∴x1?x2?m，x1x2??

2uuuruuur ∵DF?BF?1，即(2?x1)(2?x2)?(x1?m)(x2?m)?1

∴m?0（舍）或m?2 ∴x1?x2?2，x1x2??uuuruur∵DA?BA?(1?x1)(1?x2)?(x1?2)(x2?2)

7x?x2?1 M点的横坐标为122 ?5?2x1x2?x1?x2?5?7?2?0 ∴AD?AB

∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径 ∵M点的横坐标为1

·9·

∴MA?x ∵MA?1BD 2∴过A、B、D三点的圆与x轴相切 ……………12分

21. 解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为x?R

f?(x)?ex?a

当a?0时，f?(x)?0，所以f(x)在R上为增函数； 当a?0时，由f?(x)?0得x?lna

则:当x?(??,lna)时,f?(x)?0,所以函数f(x)在(??,lna)上为减函数， 当x?(lna,??)时,f?(x)?0,

所以函数f(x)在(lna,??)上为增函数. ……………6分

（Ⅱ）当a?1时，g(x)?(x?m)(ex?x)?ex?x2?x， ∵g(x)在x?(0,??)上为增函数，

?g?(x)?xex?mex?m?1?0在x?(2,??)恒成立，

xex?1即m?x在x?(2,??)恒成立，

e?1xex?1令h(x)?x，x?(2,??)，

e?1(ex)2?xex?2exex(ex?x?2)， h?(x)??x2x2(e?1)(e?1)令L(x)?e?x?2，

xL?(x)?ex?1?0在x?(2,??)恒成立，

即L(x)?e?x?2在x?(2,??)单调递增， 即L(x)?L(2)?e?4?0，?h?(x)?0

2x·10·

xex?1即h(x)?x在x?(2,??)单调递增，

e?12e2?1h(x)?h(2)?2

e?12e2?1所以m?2． …………………12分

e?122. 证明: (Ⅰ) ?PE切⊙O于点E, ??A??BEP ∵PC平分?APE

??A??CPA??BEP??DPE

??ECD??A??CPA,?EDC??BEP??DPE,

??ECD??EDC,?EC?ED …………5分 (Ⅱ) ??PDB??EDC,?EDC??ECD,?PDB??PCE

?PEC

??BPD??EPC,??PBD∽ ?PEPC ?PBPD同理?PDE∽?PCA, ??PCCA ?PDDEPECA?PBDE

CAPE …………10分 ?CEPB ?DE?CE,??x?x?3cos??cos??23. 解：(Ⅰ)由曲线C1：? 得?3

?y?sin???y?sin?x2?y2?1 即：曲线C1的普通方程为：3由曲线C2：?sin(???4)?42得：

2?(sin??cos?)?42 2即：曲线C2的直角坐标方程为:x?y?8?0 …………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知椭圆C1与直线C2无公共点，

·11·

椭圆上的点P(3cos?,sin?)到直线x?y?8?0的距离为

d?3cos??sin??822sin(???2?3)?8

所以当sin(???3)?1时，d的最小值为32 …………10分

24. 解：（Ⅰ）由2x?a?a?6得2x?a?6?a，

∴a?6?2x?a?6?a，即a?3?x?3， ∴a?3??2

∴a?1 …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x??2x?1?1,令??n??f?n??f??n?

1?2?4n, n???2?11? 则，??n??2n?1?2n?1?2??4, ??n?

22?1?2?4n, n??2?∴??n?的最小值为4，故实数m的取值范围是?4,???． …………10分

·12·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4edw.html