7-4排列 题库版

排列

知识框架图 7-4-1排列的基本应用 7 计数综合 7-4 排列 7-4-2捆绑法 7-4-3排列的综合应用

教学目标

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．

知识要点

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm．

根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：

步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；

步骤2：从剩下的(n?1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n?1)种方法； ……

（m?1）?n?m?1(种)方法；步骤m：从剩下的[n?(m?1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n?

7-4.排列.题库 教师版 page 1 of 19

?n?1）（?n?2）??（?n?m?1）由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n（，即

，这里，m?n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共Pnm?（nn?1）（.n?2）（?n?m?1）有m个因数相乘．

二、排列数

一般地，对于m?n的情况，排列数公式变为Pnn?n（?n?1）（?n?2）???3?2?1．

表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n!，?n?1）（?n?2）????3?2?1　读做n的阶乘，则Pnn还可以写为：Pnn?n!，其中n!?n（．

例题精讲

模块一、排列的基本应用

【例 1】 计算：⑴ P52；⑵ P74?P73．（2级）

【解析】 由排列数公式Pnm?（知： nn?1）（.n?2）（?n?m?1）2⑴ P5?5?4?20

4343⑵ P7?7?6?5?4?840,P7?7?6?5?210，所以P7?P7?840?210?630．

2【巩固】 （难度等级 ※）计算：⑴ P32；⑵ P63?P（2级） 10．

232【解析】 ⑴ P3?3?2?6 ⑵ P6?P10?6?5?4?10?9?120?90?30．

3253【巩固】 （难度等级 ※）计算：⑴P（2级） 14?P14； ⑵3P6?P3．

32【解析】 ⑴P14?P14?14?13?12?14?13?2002；

53⑵3P6?P3?3?(6?5?4?3?2)?3?2?1?2154．

【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照

相时3人站成一排) （4级）

【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由

于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在37-4.排列.题库 教师版 page 2 of 19

个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．

由排列数公式，共可能有：P43?4?3?2?24(种)不同的拍照情况．

也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：P44?4?3?2?1?24(种)不同的拍照情况．

【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，

排成一列的问题．这时n?4，m?4．

由排列数公式知，共有P44?4?3?2?1?24(种)不同的排法．

【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？（4级）

【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有P99种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后

排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．

9方法一：由全排列公式，共有P9?9?8?7?6?5?4?3?2?1?362880(种)不同的排法．

方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．

45p9?p5?9?8?7?6?5?4?3?2?1?362880

【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？（4级） 【解析】 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列

问题，且n?4．由全排列公式，共有P44?4?3?2?1?24(种)不同的站法．

【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多

少种不同的站法？（4级）

【解析】 由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排

列问题，且n=4．

由全排列公式，共有P44?4?3?2?1?24(种)不同的站法．

【例 3】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少

种不同的车票．（4级）

2【解析】 P14?14?13?182(种)．

【例 4】 班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：

有多少种不同的分工方式？（4级）

7-4.排列.题库 教师版 page 3 of 19

5【解析】 P5?120(种)．

【例 5】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信

号？（4级）

【解析】 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的

问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n?5，m?3．

3由排列数公式知，共可组成P5?5?4?3?60(种)不同的信号．

【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少

种不同的信号？（4级）

2【解析】 P3?3?2?6．

【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、

黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？（4级）

【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排

法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．

3由排列数公式，共可以组成P3?3?2?1?6(种)不同的信号．

方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3?2?1?6(种)．

【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式

做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．

【例 6】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？（4级） 【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知n?8，m?4，根据排列数公式，一共可以组成

4P8?8?7?6?5?1680(个)不同的四位数．

【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？（2级） 【解析】 P63?120．

【例 7】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？（4级） 【解析】 （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字

中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有P42种

7-4.排列.题库 教师版 page 4 of 19

方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：4?P42?48(个)．

（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从

320、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为P05，其中首位是的三位数有P4个．三位

数的个数是：

32P5?P4?5?4?3?4?3?48(个)．

本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．

【例 8】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？（2级） 【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知n?5，m?2，根据排列数公

2式，一共可以组成P5?5?4?20(个)符合题意的三位数．

【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶

数？（4级）

【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的

25张中选二张，有P3?20?60(个)不同的偶数．． 5?5?4?20(种)选法．由乘法原理，一共可以组成

【例 9】 由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？（4级）

40【解析】 方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为P6?6?5?4?3?360，由于不能在千位

305678上，而以0为千位数的四位数有P5?5?4?3?60，它们的差就是由，2，，，，

组成无重复数字的四位数的个数，即为：360?60?300个．

方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，

第一步：确定千位数；第二步：确定百位数； 第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；

这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：

千位 百位 十位 个位 7-4.排列.题库 教师版 page 5 of 19

第一步：确定千位数 由于首位不能为第三步：确定十位数 因为千位和百位已从0，所以只能从2，5，6，7，8中任选一个数字，共有5种选法． 0，2，5，6，7，8中用去2个数字，所以十位只能从剩下的数字中选择，共有4种选法． 第二步：确定百位数

由于数字不允许重复使用，所以千位用过的数字百位不能再用，然而百位可以是0，所以在

第四步：确定个位数 因为千位、百位和十位已从0，2，5，6，7，

8中用去3个数字，所以

个位只能从剩下的数字中选择，共有3种选法．

2，5，6，7，8中去掉千位

用去的一个数字，百位共有5种选法．

根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5?5?4?3?300(个)．

【例 10】 用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？（4级） 【解析】 按位数来分类考虑：

⑴ 一位数只有1个3；

⑵ 两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成P22?2?1?2(个)不同的两位数，共可组成2?4?8(个)不同的两位数； ⑶ 三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成

36?4?24(个)不同的三位数； P3?3?2?1?6(个)不同的三位数，共可组成

⑷ 四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有P44?4?3?2?1?24(个)不同的四位数；

5⑸ 五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有P5?5?4?3?2?1?120(个)不同的五位数．

由加法原理，一共有1?8?24?24?120?177(个)能被3整除的数，即3的倍数．

【例 11】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？

（4级）

【解析】 可以分两类来看：

⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有

P44?4?3?2?1?24(种)放法，对应24个不同的五位数；

⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可

3以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P3?6种选择．由乘法原

理，可以组成3?3?6?54(个)不同的五位数．

7-4.排列.题库 教师版 page 6 of 19

由加法原理，可以组成24?54?78(个)不同的五位数．

【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687

是第几个数？（4级）

【解析】 从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字

之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个

34?504?2016(个)． 位可有P9?9?8?7?504(种)排列方式．由乘法原理，有

⑵ 千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个

2数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P8?8?7?56，由乘法原理，有

1?5?56?280(个)．

⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1?1?6?7?42(个)． ⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个． 综上所述，比5687小的四位数有2016?280?42?5?2343(个)，故比5687小是第2344个四位数．

【例 12】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在 个．（6

级）

【解析】 比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有2?3?3?18（种），比2008小的2位数有

2?3?6（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第2?18?6?2?1?29（个）．

【例 13】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? （4级） 【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2:9，对应的十位数字取0:7，

每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就

行了，因此总共有8?P82个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取1:7，十位数字取3:9，共有7?P82个这样的四位数．

22所以总共有8?P8?7?P8?840个这样的四位数．

【例 14】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，

那么确保打开保险柜至少要试几次？（6级）

【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，

3；2，2，2，3六种．

6可以任意选择4个位置中的一个，第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，

其余位置放1，共有4种选择；

第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4?3?12(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．

综上所述，由加法原理，一共可以组成4?12?12?12?12?4?56(个)不同的四位数，即确保能打开

7-4.排列.题库 教师版 page 7 of 19

保险柜至少要试56次．

【例 15】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？（4级） 【解析】 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转

化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．

3由排列数公式，共有：P6?6?5?4?120(种)不同的坐法．

【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？（4级） 【解析】 与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个

位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．

3由排列公式，共有：P6?6?5?4?120(种)不同的坐法．

【巩固】 10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种

不同的坐法？（4级）

【解析】 把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取

6个，排在6个不同位置的排列问题．

6 共有P10?10?9?8?7?6?5?151200(种)不同的坐法．

【例 16】 一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以

分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？（4级）

【解析】 方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下

来以后，其余4个人对应4个位置，有P44?4?3?2?1?24(种)排列．由乘法原理， 4?24?9，故一共有696种不同的站位方法．

5方法二：五个人分配到五个位置一共有P5?5?4?3?2?1?120(种)排列方式，E能做中锋一共有

54P44?4?3?2?1?24(种)排列方式，则E不能做中锋一共有P5?P4?120?24?96种不同的

站位方法．

【例 17】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法? （4级） 【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块

糖分成了两部分．

我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，

如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：

○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．

不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．

【例 18】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个

7-4.排列.题库 教师版 page 8 of 19

数字都不相同的时刻一共有多少个? （6级）

【解析】 设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不

22同的数字，所以有P6种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有P7种选22法，所以共有P6×P7=1260种选法．

从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．

模块二、捆绑法

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体

当作一个整体捆绑在一起进行计算．

【例 19】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有

多少种不同的排法？（4级）

【解析】 ⑴ 4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一

个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有6?5?4?3?2?1?720种排法．

⑵ 根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有4?3?2?1?24种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24?2?48种排法．

【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 分为三步：

第一步：4个男得先排，一共有4?3?2?1?24种不同的排法； 第二步：2个女的排次序一共有2种方法；

第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插． 根据乘法原理，一共有24?2?5?240种排法．

【例 20】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种

不同的排列方法？（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）（4级）

【解析】 （法1）七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑．

若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有P55种，所以这种情况有

52?1?P5?240种不同的站法．

若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都有两种选择．另五人的排列共有P55种，所

5以这种情况共有5?2?P5?1200种不同的站法．

所以共有240?1200?1440种不同的站法．

（法2）由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，

7-4.排列.题库 教师版 page 9 of 19

所以共有2?P66?1440种不同的站法．

【巩固】6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若

A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？（6级）

【解析】 若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个

位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为P22?P55=2×120=240（种） A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为P66=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．

【例 21】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少

先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？（6级）

【解析】 把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，有

63个男少先队员，有P73?7?6 P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．然后在七个空档中排列

4?5?210(种)排法，最后4个女少先队员内部进行排列，有P4?4?3?2?1?24(种)排法．由乘法原

理，这样的排法一共有720?210?24?3628800(种)．

【例 22】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：

（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？

（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？（6级）

【解析】 (1)要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女生，考

虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：

P33?P44?6?24?144（种）

(2)根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为： ． P55?P33?120?6?720（种）

【例 23】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同

类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？（6级）

【解析】 ⑴每种书内部任意排序，分别有4?3?2?1，5?4?3?2?1，3?2?1种排法，然后再排三种类型的

顺序，有3?2?1种排法，整个过程分4步完成．4?3?2?1?5?4?3?2?1?3?2?1?3?2?1?103680种，一共有103680种不同排法．

⑵方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有4?3?2?1?24、5?4?3?2?1?120种排法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3本故事书一起全排列，一共有5?4?3?2?1?120种排法，所以一共有24?120?120?345600种排法．

方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一

7-4.排列.题库 教师版 page 10 of 19

共有24?120?6?5?4?345600种排法．

【例 24】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如

果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（4级）

【解析】 要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再

分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为：

． P33?P22?P22?P33=144（种）

【例 25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，

一共有多少种不同的停车方案? （4级）

【解析】 把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以共有

9P9?362880．

【例 26】 a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 解法一：插空法，先排c，d，e，有P33种排法．

在c，d，e三个人之间有2个空，再加上两端，共有4个空，a，b排在这4个空的位置上，a与b就不相邻，有P42种排法．

根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 ． P33P42?72（种）

解法二：排除法，把a，b当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑a与b本身的顺序，有P44P22种排法． 总的排法为P55．

总的排法减去a与b相邻的排法即为a与b不相邻的排法，应为P55?P44P22?72（种）．

【巩固】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？（6级） 【解析】 n人的环状排列与线状排列的不同之处在于：a1a2a3?an、a2a3?ana1、a3a4?ana1a2、…、ana1?an?1在线状排列里是n个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列．所以，n个不同的元素的环状排Pnn?Pnn??11． 列数为n甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是1人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为P22P66．从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的．如甲在乙、丙之间合于后者，但不合于前者）的情况P22P55种．所以，符合题意的排法有P22P66?P22P55?1200（种）．

7-4.排列.题库 教师版 page 11 of 19

模块三、排列的综合应用

【例 27】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？

（6级）

【解析】 先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人

要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：3?P22?P44?144（种）．

【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？

（6级）

【解析】 类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、

5种位置选取方法，所以站法总数有：(3+4+5)?P22?P44?576（种）．

【例 28】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，

丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）

【解析】 先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，

剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：4?3?2?P33?144（种）．

【例 29】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不

能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）

【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：

如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全

排列，站法总数有：6?P55?720（种）

如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 4?5?P55?2400（种）

如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法

如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有4?4?2?14（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 14?4?P55?6720（种）

所以总站法种数为720?2400?2400?6720?12240（种）

【例 30】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端； ⑶ 男、女生分别排在一起；

7-4.排列.题库 教师版 page 12 of 19

⑷ 男女相间．（6级）

【解析】 ⑴ 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随

8意排，也就是8个元素全排列的问题，有P8?8?7?6?5?4?3?2?1?40320(种)选择．由乘法原

理，共有6?40320?241920(种)排法．

⑵ 甲、乙先排，有P22?2?1?2(种)排法；剩下的7个人随意排，有

72?5040?10080(种)排法． P7?7?6?5?4?3?2?1?5040(种)排法．由乘法原理，共有

⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P22?2?1?2(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有

5P44?4?3?2?1?24(种)和P5?5?4?3?2?1?120(种)排法．

由乘法原理，共有2?24?120?5760(种)排法．

⑷ 先排4名男生，有P44?4?3?2?1?24(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有

524?120?2880(种)排法． P5?5?4?3?2?1?120(种)排法．由乘法原理，一共有

【例 31】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排．（6级）

7【解析】 （1）P（种）． 7?50406（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．P（种）. 6?7206（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×P6=1440(种)．

5（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2?P (种)． 5?24025（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P（种）. 5?P5?2400（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个

7位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．P（种）. 7?5040（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所

7-4.排列.题库 教师版 page 13 of 19

5以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×P5×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑

特殊情况再去全排列．

【例 32】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？（6级）

【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿

到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，

33?3?6?54(种)不同的排法． 有P3?3?2?1?6(种)排法．由乘法原理，一共有

【例 33】 书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴ 如果同类的书不分开，

一共有多少种排法？⑵ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？（6级）

32【解析】 ⑴ 可以分三步来排：先排故事书，有P3?3?2?1?6(种)排法；再排作文选，有P2?2?1?2(种)排

法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先

36?2?1?6?72种排法． 后顺序有P3?3?2?1?6(种)．故由乘法原理，一共有

6⑵ 可以看成3?2?1?6(本)书随意排，一共有P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．

若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法．

【例 34】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少

种不同的串法？

⑴ 把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位． ⑵ 串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．（4级）

【解析】 ⑴ 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排，

6 是一个全排列问题，有P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．

由乘法原理，一共有5?720?3600(种)． ⑵ 先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩下的5盏灯

26?5?20?600(种)． 中随意选出2盏排列，有P5?5?4?20(种)选择．由乘法原理，有

【例 35】 某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第

一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？（4级）

【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时

段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意

5安排顺序，有P5?5?4?3?2?1?120(种)选择．

7-4.排列.题库 教师版 page 14 of 19

由乘法原理，一共有4?3?4?120?5760(种)不同的播放节目方案．

【例 36】 从6名运动员中选出4人参加4?100接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：

⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．（6级）

【解析】 ⑴ 先确定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一个人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下

的4个人中随意选择2个人跑第二棒和第三棒，有P42?4?3?12种选择．由乘法原理，一共有5?4?12?240(种)参赛方案．

4⑵ 先不考虑甲、乙的特殊要求，从6名运动员中随意选择4人参赛，有P考6?6?5?4?3?360种选择．

3虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应P考虑若乙跑5?5?4?3?60种不同的选择，

第四棒，也对应60种不同的选择，但是，从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况．这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的P42?4?3?12(种)方案，应加上．

综上所述，一共有360?60?2?12?252(种)不同的参赛方案．

【例 37】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：（6级）

⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有

7 P种)方法．第二步再排0404个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节 7?7!?7?6?5?4?3?2?1?(5 目全排列的问题，有P44?4!?4?3?2?1?24(种)方法．

根据乘法原理，一共有5040?24?120960(种)方法． ⑵ 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有

6P6?6!?6?5?4?3?2?1?720(种)方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从

47个“×”中选4个来排，一共有P7?7?6?5?4?840(种)方法．

根据乘法原理，一共有720?840?604800(种)方法．

【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始

和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？（6级） 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有P44?4?3?2?1?24种排法；其次在

独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，

7-4.排列.题库 教师版 page 15 of 19

233有P3?3?2?6(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法．由乘法原

理，一共有24?6?3?432(种)不同的编排方法．

【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之

后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案．

【例 38】 用2，3，4，5排成四位数：（6级） （1）共有多少个四位数？

（2）无重复数字的四位数有多少个？ （3）无重复数字的四位偶数有多少个？

（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？ （5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？

（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？

3 355，2 444，5 555等． 【解析】 ⑴条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如2 234，依分步计数乘法原理共有4?4?4?4?44（个） ⑵P44?24（个）

⑶个位上只能是2或4，有2P22?12（个）

1⑷所有四位数中，2在3的左边或2在3的右边的数各占一半，共有P44?12（个）

24、5只能在另外的3个位置上排列，有P33?6（个） ⑸2在千位上，只有1种方法，此后3、3⑹法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位上或百位上，有2P3?12（个）

32法二：从P55中减去不合要求的（5在十位上、个位上），有P44?2P． 3?2P2?12（个）

1，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数．【巩固】 用数字0，（6级）

⑴能组成多少个五位数？

⑵能组成多少个正整数？ ⑶能组成多少个六位奇数？

⑷能组成我少个能被25整除的四位数？ ⑸能组成多少个比201 345大的数？ ⑹求三位数的和．

【解析】 本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位

置和特殊元素．

（1）因为万位上的数字不能是0，所以万位上的数字的排法有P22种，其余四位上的排法有P54种，

14所以，共可组成P5P5?600个五位数．

（2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有

7-4.排列.题库 教师版 page 16 of 19

11112131415PP5，P5P5，P5P5，P5P5，P5P5，5P5，

11112131415所以，可组成P5?P5P5?P5P5?P5P5?P5P5?P5P5?1 630个正整数．

1，3，5是特殊元素，先选个位数字，有P31种不同的选法；再考（3）首位与个位的位置是特殊位置，0，虑首位，有P41种不同的选法；其余四个位置的排法有P44种．

114所以，能组成P3P4P4?288个六位奇数．

（4）能被255整除的四位数的特殊是末两位数是25或50，这两种形式的四位数依次是P31?P51和P42个．

112所以，能组成P3P3?P4?21个能被25整除的四位数．

（5）因为210345除首位数字2以外，其余5个数字顺次递增排列，所以，210 345是首位数是2的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为2的没有重复数字的最小六位数．比它小1，2，3，4，5组成的六位数有P66?P55个． 的六位数是首位数为1的六位数，共有P55个，而由0，所以，大于210 345的没有重复数字的六位数共有（P66?P55）-P55?1?479（个）

11，2，3，4，5组成无重复数字的三位数共有P5（6）由0，?P52?100（个）.

11个位数字是1的三位数有P4，同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16个，所以，P4?16（个）

1111个位数字的和是P4P4?(1?2?3?4?5)；同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有P4P4个，

11这些数字的和为P4P4?(1?2?3?4?5)?10；百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有P52个，

这些数字的和为P52?(1?2?3?4?5)?100． 所以，这100个三位数的和为

1111P32?(1?2?3?4)?100?P4P4?(1?2?3?4?5)?10?P4P4?(1?2?3?4?5)?(1?2?3?4?5)?1111(P52?100?P4P4?10?P4P4)?32640

【例 39】 由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．（6级）

⑴四位数有多少个？ ⑵四位数奇数有多少个？ ⑶四位数偶数有多少个？ ⑷整数有多少个？

⑸是5的倍数的三位数有多少个？

7-4.排列.题库 教师版 page 17 of 19

⑹是25的倍数的四位数有多少个？ ⑺大于5860的四位数有多少个？ ⑻小于5860的四位数有多少个？

⑼由小到大排列的四位数中，5607是第几个数？ ⑽由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？

1【解析】 ⑴（或P64?P53?300（个））． P5?P53?300（个）

1⑵个位上只能是5或7，0不能作千位数字，有2P4． ?P42?96（个）

312⑶个位上只能是0或2，6，8，个位上是0的有A5个，个位上的是2，6，8的有3(P4P4)个，所以共

1有3(P4． ?P42)?P53?204（个）

1111111⑷包括一位数，二位数，…，六位数，共有P6． ?P5?P5?P5?P52?P5?P53?P5?P54?P5?P55?1631（个）

11⑸5的倍数只能是个位上的0或5的数，共有P52?P4． ?P4?36（个）

11⑹末两位数只能是25，50，75，共有P42?2P3． ?P3?30（个）

1⑺共有3P53?2P3． ?1?186?1?185（个）

1⑻共有P53?4P42?2P3，或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数?114（个）

300?185?1?114（个）．

⑼小于5607的四位数，即形如2???，50??，52??，5602的数，共有P53?2P42?1?85（个）． 所以，5607是第86个数．

3⑽由小到大排列的四位数形如2???，5???，各有A5?60个，共120个；需再向后数8个，602?，

605?，各有P31个，然后是6072，6075，这样，6075是第120?6?2?128（个）数．

所以，6075为所求的数．

【例 40】 ⑴从1，2，?，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）（6级）

⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？ ⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？ ⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？

⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？

⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？ 【解析】 ⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有P83种．

⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有P83种．

7-4.排列.题库 教师版 page 18 of 19

⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有P83种．

⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有P83种． ⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有P83种． ⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P83种．

【例 41】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数

学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：（6级） (1)共有多少种选法?

(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种? (3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?

(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种? 【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有

3?24?3=3种选法．从4个女同学中选出2人，有=6种选法．在22四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法．

3×6×24=432，所以共有432种选法．

（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法． 3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种．

（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法．

3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种．

（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法．

3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种．

7-4.排列.题库 教师版 page 19 of 19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4ed3.html