山西省太原市2018届高考第三次模拟考试数学试题(文)及答案

太原市2018年高三年级模拟试题（三）;;

文科数学;;

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.;;

1.已知集合A?x|x2?1?0,B??x|x?????2??，则AB?（ ）;; 3???2?3??2??3?A．??1,1? B．?1,??? C．??1,? D．?,1? 2.已知复数z满足iz?4?3i，则复数z在复平面内对应的点在（ ） 1?2iA． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 设命题p:函数y?sin2x的最小正周期为?；命题q:函数y?cosx的图象关于直线x?下列结论正确的是（ ）

A．p为假 B．?q为假 C．p?q为假 D．p?q为假 4. 若0?a?b?1，则ab,logba,log1b的大小关系为（ ）;;

a?2对称，则

A．ab?logba?log1b B．ab?log1b?logba

aaC. logba?log1b?ab D．logba?ab?log1b

aa5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n除以正整数m后的余数为r，则记为n?r?modm?，例如11?2?mod3?.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）;;

A．21 B． 22 C. 23 D．24

6. 已知等比数列?an?满足a1?a2?3,a2?a3?6，则a8?（ ） A．243 B．128 C. 81 D．64

?3x?y?107.设不等式组?表示的平面区域为D，若在区域D上存在函数y?logax?a?1?图象上的点，

?x?3y?6则实数a的取值范围是（ ）

A．?3,??? B．?1,3? C. ?3,??? D．?1,3? 8.已知函数f?x??2cos?可将函数y?2cosA． 向右平移

??x?且f?1??f?3?，要得到函数f?x?的图象，???的一个对称中心是?2,0?，

3???x3的图像（ ）

1?个单位长度 B． 向右平移个单位长度 261?C. 向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

26x2y29. 已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线

ab上的点，且OM?MF，O为坐标原点，若S?OMF?16，则双曲线C的离心率为（ ）

A．533 B．5 C. 3 D． 2210.如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）

A．2??2 B．2?2?3 C. 4??3 D．4??2

11. 已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M,N两点，若

PF?3MF，则MN?（ ）

A．

1683 B．8 C. 16 D． 33lnx??x?t?12.已知函数f?x??，若对任意的x??1,2?,f??x?x?f?x??0恒成立，则实数t的取值

x范围是（ ）

A． ??,2? B．???,? C. ???,? D．?2,?

?2222???3????3????3??二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

?a2x,x?013.已知函数f?x????x若f??f??1?????1，则实数a? ．

?2,x?014.在?ABC中，若4cos2A7?cos2?B?C??，则角A? ． 2215.已知a,b是单位向量，ab?0，若向量c满足c?a?b?1，则c的最大值是 . 16.已知圆C:x?y?2x?1?0，直线l:3x?4y?12?0，在圆C内任取一点P，则P到直线的距离大于2的概率为 ．

三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知数列?an?满足a1?22an1. ,an?1?22an?1（1）证明数列??1??是等差数列，并求?an?的通项公式； ?an?1，求数列?bn?的前n项和Sn. n2an（2）若数列?bn?满足bn?18.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表 投保类型 浮动因素 浮动比率 下浮10% 下浮20% A1 A2 上一个年度未发生有责任道路交通事故 上两个年度未发生有责任道路交通事故 A3 A4 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 下浮30% 0% 上浮10% A5 A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30% 某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 A1 20 A2 10 A3 10 A4 20 A5 15 A6 5 （1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；

（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车. ①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；

②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.

19.已知空间几何体ABCDE中，?BCD与?CDE均为边长为2的等边三角形，?ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE?平面BCD，平面ABC?平面BCD,M,N分别为DB,DC的中点. （1）求证：平面EMN//平面ABC； （2）求三棱锥A?ECB的体积.

x2y220. 已知抛物线C1:y?8x的焦点也是椭圆C2:2?2?1?a?b?0?的一个焦点，点P?0,2?在椭圆

ab2短轴CD上，且PCPD??1.

（1）求椭圆C2的方程；

（2）设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过椭圆的右焦点F2作OQ的平行线，交曲线C2于M,N两点，求?QMN面积的最大值. 21.已知函数f?x??e（1）当a?x?2a?lnx.

1时，求f?x?的单调区间； 2（2）当a?1时，证明：f?x??0.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?极轴建立极坐标系. （1）求圆C的普通方程；

（2）直线l的极坐标方程是2?sin???点为Q，求线段PQ的长. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数f?x??x?2?x?1.

（1）求f?x?的最小值及取得最小值时x的取值范围；

（2）若不等式f?x??ax?1?0的解集为R，求实数a的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: DCDDC 6-10: BCAAA 11、12：CB 二、填空题 13. ??x?3cos?（?为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为

y?3?3sin????????OM:??，射线与圆C的交点为P，与直线l的交?43?66?1?3??2 14. 15. 2?1 16. 44?3三、解答题 17.解：（1）∵an?1?an11，∴??2，

2an?1an?1an

∴??1??是等差数列， ?an?11???n?1?2?2n， ana1∴

1； 2n2n（2）∵bn?n，

2即an?∴Sn?b1?b2?则

?bn?1?1123Sn??2?3?222223??222n?n， 2?n， 2n?1两式相减得

1111Sn?1??2?3?22222?n. 2n?115?51?； 804?1n1?n???21??n， ?n?2n?12n2??2∴Sn?4?18.解：（1）所求概率为

（2）①设两辆事故车为A,B，四辆非事故车为a,b,c,d，从这六辆车中随机挑取两辆车共有?A,B?，

?A,a?,?A,b?,?A,c?,?A,d?,?B,a?,?B,b?,?B,c?,?B,d?,?a,b?,?a,c?，?a,d?,?b,c?,?b,d?,?c,d?共15

种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有?A,a?，?A,b?,?A,c?,?A,d?,?B,a?,?B,b?,?B,c?,?B,d?8种情况，所以所求概率为

8； 151?5000. 120②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为??30???4000??90??8000????19.证明：（1）

取BC中点H，连结AH， ∵?ABC为等腰三角形， ∴AH?BC，

又平面ABC?平面BCD,AH?平面ABC， ∴AH?平面BCD，同理可证EN?平面BCD， ∴EN//AH，

∵EN?平面ABC,AH?平面ABC， ∴EN//平面ABC，

又M,N分别为BD,DC中点，∴MN//BC， ∵MN?平面ABC,BC?平面ABC， ∴MN//平面ABC， 又MNEN?N，

∴平面EMN//平面ABC；

（2）连结DH，取CH中点G，连结NG，则NG//DH， 由（1）知EN//平面ABC，

所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等， 又?BCD是边长为2的等边三角形，∴DH?BC， 又平面ABC?BCD平面，平面ABC平面BCD?BC,DH?平面BCD，

∴DH?平面ABC，∴NG?平面ABC， ∴DH?3，又N为CD中点，∴NG?又AC?AB?3,BC?2，∴S?ABC?∴VE?ABC?VN?ABC?3， 21BCAH?22， 216. S?ABCNG?332220.解：（1）由C1:y2?8x，知焦点坐标为?2,0?，所以a?b?4，

由已知，点C,D的坐标分别为?0,?b?,?0,b?，

2又PCPD??1，于是4?b??1，

解得b?5,a?9，

22x2y2??1； 所以椭圆C2的方程为95（2）设M?x1,y1?,N?x2,y2?,Q?x3,y3?，直线MN的方程为x?my?2，

?x?my?2?22由?x2y2，可得?5m?9?y?20my?25?0，

?1??95?则y1?y2??20m25,yy??， 125m2?95m2?9222301?m????20m100??2?2?所以MN??1?m??y1?y2??4y1y2??1?m????， ????222??5m?95m?95m?9??????30t30t302令?m?1??t，则m2?t2?1?t?1?,S?， ??2245?t?1??95t?45t?t4所以f?t??5t?在?1,???上单调递增，

t所以当t?1时，f?t?取得最小值，其值为9. 所以?QMN的面积的最大值为21.解：（1）a?10. 311x?1x?1时，f?x??e?lnx,f??x??e??x?0?， 2x因为f??1??0，故0?x?1时，f??x??0；x?1时，f??x??0， 所以f?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增； （2）当a?1时，x?2a?x?2,f?x??e令??x??ex?2x?2?lnx，

?lnx，则???x??ex?2?，

1x显然???x?在?0,???上单调递增，且???1??0,???2??0，所以???x?在?0,???上存在唯一零点

x0,x0??1,2?，

又0?x?x0时，???x??0,x?x0时，???x??0， 所以x??0,???时，??x????x0??e0由???x0??0，得ex0?2x?2?lnx0，

?1,x0?e2?x0， x0∴??x0??111?lne2?x0???2?x0???x0?2?2?2?0， x0x0x0综上，当a?1时，f?x??0 .

?x?3cos?C22.解：（1）圆的参数方程为?，（?为参数），

y?3?3sin??2∴圆C的普通方程为x??y?3??9；

2（2）化圆C的普通方程为极坐标方程??6sin?，

???6sin?5??设P??1,?1?，则由?， ??解得?1?3,?1?6???6?????2?sin?????43?5??6??设Q??2,?2?，则由?，解得?2?4,?2?，

65?????6?∴PQ??2??1?1.

23.解：（1）∵函数f?x??x?2?x?1?x?2??x?1??3， 故函数f?x??x?2?x?1的最小值为3， 此时?2?x?1；

（2）当不等式f?x??ax?1?0的解集为R，函数f?x???ax?1恒成立， 即f?x?的图象恒位于直线y??ax?1的上方，

??2x?1,x??2?函数f?x??x?2?x?1??3,?2?x?1，

?2x?1,x?1?而函数y??ax?1表示过点?0,1?，斜率为?a的一条直线， 如图所示：当直线y??ax?1过点A?1,3?时，3??a?1， ∴a??2，

当直线y??ax?1过点B??2,3?时，3?2a?1，∴a?1， 数形结合可得a的取值范围为??2,1?.

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