高中数学复习知识点汇总

艺体生文化教学校本教材

高一数学必修1 .............................................................................................................................................................................. 1

集合： ..................................................................................................................................................................................... 1 函数 ......................................................................................................................................................................................... 3

（一）函数基础知识 ..................................................................................................................................................... 3 （二）函数的应用 ......................................................................................................................................................... 4 （三）基本初等函数 ..................................................................................................................................................... 5

高中数学必修2知识 ................................................................................................................................................................... 14 高中数学必修3知识 ................................................................................................................................................................... 25

1 算法初步 ................................................................................................................................................................... 25

2 统计……………………………………………………………………………………………………………….. 34 3 概率…………………………………………………………………………………………………………………40 高中数学必修4知识点 ............................................................................................................................................................... 42

高中数学必修5知识点 ............................................................................................................................................................... 54 高中数学选修2-1 圆锥曲线…………………………………………………………………………………………………….67 高中数学选修2-2 导数…………………… ...………………………………………………………………………………….71

1

艺体生文化教学校本教材

2013年高考数学应知应会知识点

高一数学必修1

集合：

?（）元素与集合的关系：属于（?）和不属于（?）?1???2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性?集合与元素（??（?3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集??4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（?????子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。?????1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。????????2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A?? 注????关系???3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.????4、空集是任何集合的（真）子集。??????真子集：若A?B且A?B?（即至少存在x0?B但x0?A），则A是B的真子集。集合???????集合相等：A?B且A?B ?A?B?????集合与集合??定义：A?B??x/x?A且x?B??交集???????性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A?B?A?B?A??????定义：A?B??x/x?A或x?B??并集??????????性质：A?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B??运算??? Card(A?B)?Card(A)?Card(B)-Card(A?B)? ????定义：CA?x/x?U且x?A?A??U??????补集?性质：?(CUA)?A??，(CUA)?A?U，CU(CUA)?A，CU(A?B)?(CUA)?(CUB)，???? C(A?B)?(CA)?(CB)??UUU?????1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2 如：集合A?x|x?2x?3?0，B??x|ax?1?

?? 若B?A，则实数a的值构成的集合为

1

艺体生文化教学校本教材

（答：???1，0，1???3?） 3. 注意下列性质：

（1）集合?an1，a2，??，an?的所有子集的个数是2；

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律：

CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax?5x2?a?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

的取值范围。

（∵3?M，∴a·3?532?a?0

?a??5a·5?5??1，?3????9，25?）∵5?M，∴52?a?0

2

艺体生文化教学校本教材

函数

（一）函数基础知识

映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的一个映射。

传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y并且对于x在某个范 围内的每一个确定的值，按照某个对应关系f，y都有唯一确定 定义 的值和它对应。那么y就是x的函数。记作：y=f(x)。 函近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。 数 及其 表定义域 示函数的三要素 值域 对应法则 解析法 函数的表示方法 列表法 图象法 传统定义：在区间[a,b]上，若a≤x1≤x2≤b,如f(x1)f(x2)，则f（x）在 单调性 区间[a,b]上递减，[a,b]是递减区间。 导数定义：在区间[a,b]上，若f’(x)>0, 则f（x）在区间[a,b]上递增， [a,b]是递增区间；若f’(x)<0, 则f（x）在区间[a,b]上递减，[a,b]是 递减区间。 最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1） 函对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I,使f(x0)=M。则称M数是函数y=f(x)的最大值。 的最值 基最小值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）本对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；(2)存在x 性0∈I,使f(x0)=N。则称N 质是函数y=f(x)的最小值。

（1）若函数f(x)的定义域D且定义域关于原点对称； 奇偶性 （2）①若f(-x)=-f(x)，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。②若f(-x)=f(x)，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。 周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(x+T)=f(x)(T≠0的常数)则f(x)叫做周期函 数，T为周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期。 3

艺体生文化教学校本教材 （1）描点连线法：列表、描点、连线 y=f(x+a) 平向左平移a个单位：y1=y，x1-a=x => 向右平移a个单位：y 移1=y，x1+a=x => y=f(x-a) 向上平移b个单位：x 函变1=x，y1+b=y => y-b=f(x) 数换 向下平移b个单位：x 图1=x，y1-b=y => y+b=f(x) 像的横坐标变换：把各点的横坐标x缩短（当w>1时）或 画1（伸 法2缩伸长（当01时）或 换伸长（当0

（二）函数的应用

零零点：对于函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 点定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且 与根有f(a)f(b)<0。那么，函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c∈[a,b]， 的使f(c)=0，这个c也是方程f(x)=0的根。（反之不成立）。 关系关系：方程f(x)=0有实数根<=>函数y=f(x)有零点<=>函数y=f(x)的图像与 x轴有交点 二（1）确实区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； 分（2）求区间（a,b）的中点c； 法求（3）计算f(c)： 方 程 ①若f(c)=0，则c就是函数的零点； 的②若f(a)f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,b)） 近③若f(b)f(c)<0，则令a=c（此时零点x 似0∈(b,c)） 解（4）判断是否达到精确度ε：即|a-b|<ε，则得到零点的近似值a（或b）， 否则重复步骤（2）~（4）

几类不同的增长函数模型

函数模型及其应用 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 4

艺体生文化教学校本教材

（三）基本初等函数

1.指数函数

（1）指数的运算

根式：na，n为根指数，a为被开方数；也可以写为a 分数指数幂：ars1nnm=a

（a>0，r,s∈Q）

mn性质：①aa=ar?s②(ar)s=a（a>0，r,s∈Q） ③(ab)r=ab（a>0，b<0，r∈Q）

（2）指数函数：一般地把函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数（性质见表1） 2.对数函数

（1）对数的运算

对数：x=logaN，a为底数，N为真数。

性质：①loga（MN）= logaM+ logaN；(a>0,且a≠1, M>0,N>0)

②logarrrsM= logaM- logaN；(a>0,且a≠1, M>0,N>0) N③logaMn=nlogaM;( a>0,且a≠1,M>0,N>0) ④换底公式：logab=

logcb

(a,c>0且a,c≠1,b>0) logca

(2)对数函数：一般地，把函数y=logax，(a>0,且a≠1, x>0)叫做对数函数（性质见表1） 3．幂函数

一般地，函数y=xa叫做幂函数，x是自变量，a是常数。（性质见表2） 表1 定义域 值域 xy?a?a?0,a?1? 指数函数对数数函数y?logax?a?0,a?1? x??0,??? y?R x?R y??0,??? 图象 性质

过定点(1,0) 过定点(0,1)?? 减函数 增函数 减函数 增函数 5

艺体生文化教学校本教材 x?(??,0)时，y?(1,??)x?(0,??)时，y?(0,1) x?(??,0)时，y?(0,1) x?(0,??)时，y?(1,??)x?(0,1)时，y?(0,??)x?(1,??)时，y?(??,0) x?(0,1)时，y?(??,0)x?(1,??)时，y?(0,??) a?b 表2 a?b a?b 幂函数y?x?(??R) a?b ??p q??0 0???1 ??1 ??1 p为奇数q为奇数 奇函数 p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数第一象限性质 减函数 增函数 偶函数 （0，1）过定点 5. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能

构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 6. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 7. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是

（答：0，2?2，3?3，4） 8. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

6

????????艺体生文化教学校本教材

义域是_____________。 （答：?a，?a?）

9. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f?x?1??ex?x，求f(x).

令t?x?1，则t?0

∴x?t2?1 ∴f(t)?et2?1?t2?1

∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

10. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)????1?x?x?0????x2?x?0?的反函数

（答：f?1(x)???x?1??x?1??） ???x?x?0?11. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a ?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

12. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)?（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数。）

如：求y?log1??x2?2x?的单调区间

2 （设u??x2?2x，由u?0则0?x?2 且log1u?，u???x?1?2?1，如图：

2 7

艺体生文化教学校本教材

u O 1 2 x 当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log1u?，∴y?

2 ∴……）

13. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

3??B. 1 C. 2 D. 3

?a??a?2（令f'(x)?3x?a?3x?x? ?????0

3??3?? 则x??aa 或x?33a?1，即a?3 3 由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

14. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2x?a?2为奇函数，则实数a? 如：若f(x)?2x?1

8

艺体生文化教学校本教材

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

即a·20?a?220?1?0，∴a?1） 又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?2x4x?1， 求f(x)在??1，1?上的解析式。

（令x???1，0?，则?x??0，1?，f(?x)?2?x 4?x?1

又f(x)为奇函数，∴f(x)??2?x4?x?1?2x?1?4x ???2xx?(?1，0)x 又f(0)?0，∴f(x)???4?1x?0）

?2x??4x?1x??0，1? 15. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若f?x?a???f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期 如：

9

艺体生文化教学校本教材

16. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

将y?f(x)图象?左移a(a?0)个单位y?f(x?a)右移???????a(a?0)个单位??y?f(x?a) ?上移???????b(b?0)个单位y?f(x?a)?b下移b(b?0)个单位??y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”变换：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象

y y=log2x O 1 x 17. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

10

艺体生文化教学校本教材

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：y?kx?b?k?0? （2）反比例函数：y?kx?k?0?推广为y?b?kx?a?k?0?是中心O'(a，b) 的双曲线。

（3）二次函数y?ax2?bx?c?a?0??a??b?24ac?b2?x?2a???4a图象为抛物线 顶点坐标为????b2a，4ac?b2?4a??，对称轴x??b2a 开口方向：a?0，向上，函数y4ac?b2min?4a

a?0，向下，y?4ac?b2max4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

???0? 如：二次方程ax2?bx?c?0的两根都大于k????ba?k

?2??f(k)?0 11

艺体生文化教学校本教材

y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0 （4）指数函数：y?ax?a?0，a?1? （5）对数函数y?logax?a?0，a?1? 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

y ?k O k x

18. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a0?1(a?0)，a?p?1ap(a?0) m an?nam(a?0)，a?mn?1nam(a?0)

对数运算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

12

艺体生文化教学校本教材

logaM1n?logM?logN，logM?logaaaaM Nn 对数恒等式：alogax?x 对数换底公式：logab? 19. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

（3）证明单调性：f(x2)?f?x2?x1??x2???

20. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x （2）y?logcbn?logambn?logab

logcam??2x?4 x?3 附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y?tanx中x?k???2(k?Z)；余切函数y?cotx中；6、如

果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法 四、函数的最值的常用求法：

13

艺体生文化教学校本教材

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)?g(x)在这个区间上也为增（减）函数 2、若f(x)为增（减）函数，则?f(x)为减（增）函数

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y?f[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x?0处有定义，则f(0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则

f(x)?0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)?该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

11[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]，22 高中数学必修2知识

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

?????当??0,90时，k?0； 当??90,180时，k?0； 当??90时，k不存在。

????②过两点的直线的斜率公式：k?y2?y1(x1?x2)

x2?x1注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

14

艺体生文化教学校本教材

②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：

y?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

y2?y1x2?x1xy??1 ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：○

平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x?B0y?C?0（C为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系：（ⅱ）过两条直线l1:y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为

，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）（6）两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交

A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合

Bx2,y2）（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，

则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2

（9）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?C

A2?B2（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 21. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan????y2?y1??????，x1?x2?

?x2?x1?2? P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a?1，k （2）直线方程：

点斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在） 斜截式：y?kx?b 截距式：??????xy??1 ab15

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）

艺体生文化教学校本教材

（3）点Px0，y0到直线l：Ax?By?C?0的距离d???Ax0?By0?CA?B22

（4）l1到l2的到角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 l1与l2的夹角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 22. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥l2

A1C2?A2C1? k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立） A1A2?B1B2?0?l1⊥l2 k1·k2??1?l1⊥l2

23. 怎样判断直线l与圆C的位臵关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 24. 怎样判断直线与圆锥曲线的位臵？

联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相离

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心

22?a,b?，半径为r；

?22?（2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0

DE?，半径为r?1D2?E2?4F 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为???,??222当D?E?4F?0时，表示一个点； 当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系：

直线与圆的位臵关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为d?Aa?Bb?C，则有

22A?B2222d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交

22（2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a???y?b??r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令

其中的判别式为?，则有

??0?l与C相离；??0?l与C相切；??0?l与C相交

16

艺体生文化教学校本教材

注：如果圆心的位臵在原点，可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

2①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r (课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)． 4、圆与圆的位臵关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位臵关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；

当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含； 当d?0时，为同心圆。

2??三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面

是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥P?ABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台P?ABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位臵关系，即反映了物体的高度和长度；

17

''''''''''''''''艺体生文化教学校本教材

俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线）

S直棱柱侧面积?ch S圆柱侧?2?rh S1正棱锥侧面积?2ch' S圆锥侧面积??rl

S1正棱台侧面积?2(c1?c2)h' S圆台侧面积?(r?R)?l S圆柱表?2?r?r?l? S圆锥表??r?r?l? S圆台表???r2?rl?Rl?R2?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

VSh V1柱?圆柱?Sh??2r h V锥?Sh V1圆锥?3?r23h

V1''台?3(S?SS?S)h V圆台?13(S'?SS'?S)h?13?(r2?rR?R)2h （4）球体的表面积和体积公式：V42

球=3?R3 ； S球面=4?R4、空间点、直线、平面的位臵关系 （1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面?内，记作A??；点A不在平面?内，记作A??

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A?l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l不在平面α内，记作l?α。 （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：A?l,B?l,A??,B???l?? （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

18

艺体生文化教学校本教材

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：P?AB?AB?l,P?l 公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位臵关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位臵无关。 ②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位臵，顶点选在特殊的位臵上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位臵关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位臵关系的符号表示：a?α a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位臵关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行?线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行?线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

19

艺体生文化教学校本教材

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0?。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a?,b?，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 （2）直线和平面所成的角

??①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角．．．．．叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，OBCD?D,A,B,C,是单位正方体.以A为原点， 分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位臵。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位臵。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标） （4）空间两点距离坐标公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

25. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

20

艺体生文化教学校本教材

线∥线???线∥面???面∥面 ?判定???线⊥线???线⊥面???面⊥面???性质?

线∥线???线⊥面???面∥面 线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P ?? O a 线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c 面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

21

艺体生文化教学校本教材

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

26. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0o时，b∥?或b??

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o

22

艺体生文化教学校本教材

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：cos??cos?·cos?

A θ O β B ????????????????????????C? D （?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

α

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的

大小。

23

艺体生文化教学校本教材

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……） 27. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。 如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1 28. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧?1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 224

艺体生文化教学校本教材

V锥?1底面积×高 329. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R2?d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球?4?R，V球?24?R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A.3? 答案：A

B.4?C.33?D.6?

高中数学必修3知识

§1 算法初步

? 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个

次乘法和n次加法即可。表达式如下：

n次多项式，只要作n

anxn?an?1xn?1?...?a1?????anx?an?1?x?an?2?x?...?x?a2?x?a1

例题：秦九韶算法计算多项式 3x6?4x5?5x4?6x3?7x2?8x?1 , 当 x?0.4 时,

需要做几次加法和乘法运算? 答案： 6 ， 6

即: ?????3x?4?x?5?x?6?x?7?x?8?x?1

? 理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：

广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法… (algorithm)

1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）. 2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

25

艺体生文化教学校本教材

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输

出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在

时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结

构，循环结构

? 流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，

它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

A N p Y ? 算法结构： 顺序结构，选择结构，循环结构

A p A Y N p

B A B Y

N

直到型循环 当型循环 Ⅰ.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它

有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不

执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结

构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。

? 基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code），且是使用 BASIC

语言编写的,是介于自然

语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用x?y ，也可以用 x?y ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“?”

Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：用 ? 表示， 如：x?y ，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，

y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“变量?表达式” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “x?y”，但此时的 “ = ”不是数

学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。

注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3

26

艺体生文化教学校本教材

都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.

例题：将x和y的值交换

p?xp?xx?yx?y , 同样的如果交换三个变量x,y,z的值 :

y?zy?pz?pⅡ. 输入语句（input statement）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out statement） ：Print x ,y 表示一次输出 运算结果x ,y 注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语

句在一行书写时用 “ ； ”隔开.

例题：当x等于5时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句（conditional statement）：

1. 行If语句: If A Then B 注：没有 End If

2. 块If语句： 注：①不要忘记结束语句End If ，当有If语句嵌套使用时，有几个If ，就必须要

有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④ 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

If A Then B Else C End If 例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

Read a , b , c Read a , b , c If a≥b Then If a≥c Then If a≥b and a≥c Then Print a Else Print a Print c End If Else If b≥c Then Else If b≥c Then 或者 Print b Print b Else Else Print c End If Print c End If End If

注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

If A Then B Else If C Then D End If Ⅳ.循环语句（ cycle statement）： ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N次也是已知次数的循环 ? 当循环次数不确定时用While循环 ? Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应. While A For I From 初值 to 终值 Step 步长 …

… End For For 循环 End While While循环 27

艺体生文化教学校本教材

Do While p Do … … Loop 当型Do循环 Loop Until p 直到型Do循环 说明：1. While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注

意临界条件的判定.

1?3?5?...?99 的一个算法.（见课本P21） 例题： 设计计算S?1S?1For I From 3 To 99 Step 2 S?S?IEnd ForPrint SS?1I?1While I ? 99 S?S?I

I?1While I ? 97 I?I?2 S?S?IEnd While Print S I?I?2End While Print S? ? ?

S?1S?1I?1Do S?S?I I?I?2Loop Until I ?100 (或者 I ?99 )Print SI?1Do I?I?2

S?S?ILoop Until I ?99 Print S? ? S?1S?1I?1I?1Do While I ?99 (或者I ?100 ) S?S?I I?I?2Loop Do While I ?97 (或者I ?99 ) I?I?2

S?S?I Loop Print S?

Print S?

友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被

28

艺体生文化教学校本教材

铺天盖地的资料所淹没！ 2统计

第一部分 抽样方法 一 总体、个体、容量

一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本的容量。 二 简单的随机抽样

1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n?N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。

3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为

n。 N三 系统抽样

1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。

2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号----分段—--确定起始的个体号——抽取样本”四步。

3.在系统抽样中，如果总体容量N能被样本容量n整除，则用它们的比值k?N作为分段间隔．如果k?N不是整

nn数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，确定第一段的起始号．继而确定整个样本。 四 分层抽样

当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。

利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。 注意

（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。 五 三种抽样方法的比较

（1）列表比较： 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程种每个个体被抽取的机会均等 从总体中逐个抽取 总体种的个体数较少 系统抽样 将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 将总体分成几层，分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体种的个体数较多 分层抽样 总体由差异明显的几部分组成

(2)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单

29

艺体生文化教学校本教材

随机抽样方法，抽样方法经常交叉应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样。 六 抽样方法的选择

(1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的概率是一样的。

(2)对于系统抽样和分层抽样．如果N不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概率不变，如从1003个总体

n中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为

10001010 ?100310001003(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。

(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要求被抽取样 本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。

(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量 整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体．

（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：①分层；②按比例确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本。 第二部分 用样本估计总体 一 用样本估计总体

(1)频率分布

样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶图，频率分布直方图来表示．

(2)频率分布折线图

连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。 (3)总体密度曲线

①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y?f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。

②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．产品尺寸落在(a，b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积．对本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。

(4)茎叶图表示数据有两个突的优点

其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录于表示。

二 众数、中位数、平均数、方差、标准差

(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

(2)一组数据按大小依次排列，把处在最中间位臵的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

(3)如果有几个数x1,x2?,xn那么x?x1?x2???xn叫做这几个数的平均数。

n30

艺体生文化教学校本教材

如果在几个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次，（这里f1?f2???fn?n)，那么

x?1(x1f1?x2f2???xkfk) 叫做这几个数的加权平均数。 n(4)标准差与方差

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

设一组数据x1,x2?,xn的平均数为x， 则s?21?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2?，其中s2表示方差而s表示标准差。

?n?三 频率分布图(表)和频率分布直方图

(1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布。

(2)作频率分布直方图的步骤：

①求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。 ②决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的呈现出来。这时应注意：a．一般样本容量越大，所分组数越多；b．为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5组～l2组．

③将数据分组．

④计算各小组的频率，作频率分布表。

．

⑤画频率分布直方图。

(3)总体密度曲线是频率分布折线的一条极限曲线，随着样本容量不断增加，分组的不断加密，频率分布折线就会越来越光滑，最终形成总体密度曲线．总体密度曲线反映的是总体在各个范围内取值的百分比，实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越准确． 四 茎叶图的应用

(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．

(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．

茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。

在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就闲的不太方便了。 五 标准差和方差的关系及计算

(1)标准差的平方就是方差，即

s2?1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2?

?n?2（2）方差的计算

1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2?

?n?21222?， Ⅰ)s2??(x?x???x)?nx②简化计算公式(12n???n?212222或写成s?(x1?x2???xn)?x。即方差等于数据平方的平均数减去平均是的平方。

n1?2?x2?2???xn?2)?nx?2? Ⅱ)s2??(x1③简化计算公式(?n?①基本公式s?

31

艺体生文化教学校本教材

当一组数据中的数据较大时，可仿照简化平均是的据算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均是接近的常

??x1?a,x2??x2?a,?xn??xn?a那么 数a，得到一组新数据x1s2?1?2??x2?2???xn?2)?nx?2?也可以写成 (x1?n?12??x2?2???xn2)?x?2。 s2?(x1n即方差等于新数据的平方平均数减去新数据平均数的平方。 ④原数据x1,x2?,xn的方差与新数据

??x1?a,x2??x2?a,?xn??xn?a的方差相等。 x1即x1,x2?,xn的方差

s?2?1?(x1??x)2?(x2??x)2???(xn??x)2?

?n?2等于原数据x1,x2?,xn的方差s。

（3）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数来比较两组数据的波动大小。方差较大的波动

较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同，不要漏写单位。 3概率 一 事件 （一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象 （二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象 （三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件 二 概率

在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。

1.概率： 一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P?A??2．概率的性质：

①随机事件的概率为0?P(A)?1，

②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用?和?表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P????1，P????0;

3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;

（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性. 1.随机事件的概率：

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件

32

mnm n艺体生文化教学校本教材

记为A，用P?A?表示事件A发生的概率.

三 古典概型

1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．

2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。 3、如果一个随机试验满足：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的；

那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型． 4、古典概型的概率：

1如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中

nm个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)?m． n5、古典概型解题步骤： ⑴阅读题目，搜集信息；

⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；

⑶求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m； ⑷用公式P(A)?m求出概率并下结论. n四 几何概型

１．几何概型的概念：

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． ２．几何概型的基本特点：

（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等． ３．几何概型的概率：

一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率

P(A)?d的测度．

D的测度说明：（１）D的测度不为0；

（２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，

面积和体积．

（３）区域为＂开区域＂；

（４）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分

的测度成正比而与其形状位臵无关．

33

艺体生文化教学校本教材

必修4知识点

?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角

?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．

??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???

终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???

3、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???

第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k?? 4、已知?是第几象限角，确定

??n???所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴n*的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则?原来是第几象限对应的标号即为域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??7、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1?l． r?终边所落在的区n?180?，1????57.3． 180????8、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，

11S?lr??r2．

229、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是

yxy，cos??，tan???x?0?． rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

rr?x2?y2?0，则sin???? 34

艺体生文化教学校本教材

11、三角函数线：sin????，cos????，tan????． 12、同角三角函数的基本关系：?1?sin??cos??1

22yPTOMAx?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；?2?sin??tan? cos?sin???sin??tan?cos?,cos????．

tan???13、三角函数的诱导公式：

?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

?5?sin??????????cos?，cos?????sin?． ?2??2?????????cos?，cos??????sin?． ?2??2???6?sin???口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数y?sinx的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵坐标不变），得到函数

y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 函数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵坐标不变），得到函数

y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移

?个单位长度，得到函数?y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 函数y??sin??x??????0,??0?的性质：

①振幅：?；②周期：??

2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2?35

艺体生文化教学校本教材

函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则

??12?y，??12?y?max?ymin?max?ymin?，2?x2?x1?x1?x2?． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

性 函 质

数 y?sinx y?cosx y?tanx

图象

定义域 R

R

???xx?k????2,k????

值域

??1,1?

??1,1?

R

当x?2k???2?k???时，

当x?2k??k???时，

最值

y1；当x?2k???max?2 ymax?1；当x?2k???

既无最大值也无最小值

?k???时，ymin??1．

?k???时，ymin??1．

周期性

2? 2? ?

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

在???2k?????2,2k??2??

在2k???,2k??k??????k???上是上是增函数；在

在??单调性

增函数；在?2k?,2k?k?????????

2,k??2??

???3???2k??2,2k??2?? ?k???上是减函数．

?k???上是增函数．

?k???上是减函数．

对称中心?k?,0??k???

对称中心???k???2,0??对称性

??k??? 对称中心?k?,0???k???对称轴x?k?????2?2?k???

对称轴x?k??k??? 无对称轴

15. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l??·R，S1扇?2l·R?12?·R2）

36

艺体生文化教学校本教材

R

1弧度 O R

16. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sin??MP，cos??OM，tan??AT

y B S T P α O M A x

如：若??8???0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是

又如：求函数y?1?2cos????2?x???的定义域和值域。 （∵1?2cos????2?x???）?1?2sinx?0 ∴sinx?22，如图：

∴2k??5?4?x?2k???4?k?Z?，0?y?1?2 17. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

37

艺体生文化教学校本教材

sinx?1，cosx?1

y y?tgx ? ? ? x O ? 22

对称点为???k?2，0???，k?Z y?sinx的增区间为??2k????2，2k????2???k?Z? 减区间为??3???2k??2，2k???2???k?Z? 图象的对称点为?k?，0?，对称轴为x?k???2?k?Z? y?cosx的增区间为?2k?，2k?????k?Z?

减区间为?2k???，2k??2???k?Z?

图象的对称点为????k??2，0???，对称轴为x?k??k?Z?

y?tanx的增区间为????k??2，k????2??k?Z 26. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。?或y?Acos??x???? 38

艺体生文化教学校本教材

（1）振幅|A|，周期T?2? |?| 若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

若f?x0??0，则x0，0为对称点，反之也对。 ???3? （2）五点作图：令?x??依次为0，2，?，2，2?，求出x与y，依点 （x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

? 如图列出??(x1)???0????(x?

2)???2 解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan??x???，T??|?| 18. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：cos??x???23??6????2，x?????，?2??，求x值。 （∵??x?3?2，∴7?6?x??6?5?3，∴x??5?136?4，∴x?12?） 19. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y?sinx?sin|x|的值域是

（x?0时，y?2sinx???2，2?，x?0时，y?0，∴y???2，2?） 20. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

? （1）点P（x，y）?????a?(h，k?x'?x?h平移至?)?P'（x'，y'），则??y'?y?k

39

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4e97.html