初三数学数学总复习系列 因式分解（三） - 194

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因式分解 综合练习

【例题精选】：

（1）5x2y?15x3y2?20x2y3

评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取22

X，同法确定提Y，最后确定提公因式5XY。提取公因式后，再算出括号内各项。

解：5x2y?15x3y2?20x2y3 =5x2y(1?3xy?4y2) （2）?3x2y?12x2yz?9x3y2

评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同

2

字母最低次的项是XY

解: ?3x2y?12x2yz?9x3y2 =?(9x3y2?12x2yz?3x2y) =?3(3xy?4xyz?xy) =?3xy(3xy?42?1)

（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)

评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x

解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)

（4） 把32xy?2x分解因式

评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式

解：

3432322232x3y4?2x3=2x3(16y4?1)=2x3(4y2?1)(4y2?1)=2x3(2y?1)(2y?1)(4y2?1)

（5） 把xy?xy分解因式

评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作(x)?(y)用平方差公式

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分解，最后再运用立方和立方差公式分解。

对于x6-y6也可以变成(x2)3?(y2)3先运用立方差公式分解，但比较麻烦。 解：x7y2?xy8

=xy2(x6-y6)= xy2[(x3)2?(y3)2]=xy2(x3?y3)(x3?y3) =xy2(x?y)(x2?xy?y2)(x?y)(x2?xy?y2) （6）把(x?y)2?12(x?y)z?36z2分解因式

评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的

解：(x?y)2?12(x?y)z?36z2

=(x?y)2?2(x?y)(6z)?(6z)2=(x+y-6z)2

（7） 把

12(x?2y2)2?2(x2?2y2)y2?2y4分解因式 2评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。

12(x?2y2)2?2(x2?2y2)y2?2y4 2122222222 =[(x?2y)?2(x?2y)?2y?(2y)]

2121222222 =(x?2y?2y)?(x?4y)

22122 =(x?2y)(x?2y)

2解：

（8） 分解因式a2-b2-2b-1

评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。

解：a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1) 一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。 （9） 把a2-ab+ac-bc分解因式

解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)

解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c) （10） 把2x?2xy?3x?3y分解因式

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解法一：2x2?2xy?3x?3y

=(2x2?2xy)?(3x?3y)?2x(x?y)?3(x?y)?(x?y)(2x?3) 解法二：2x2?2xy?3x?3y

=(2x2?3x)?(2xy?3y)?x(2x?3)?y(2x?3)?(2x?3)(x?y)

说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是 1：1，解法二是2：（-3） (11) 分解因式x?x?x?1

评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组 解法一：x?x?x?1

=(x3?x2)?(?x?1)?x2(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x2?1)?(x?1)(x?1)(x?1)?(x?1)2(x?1)

解法二：x?x?x?1=x3?x?(?x2?1)?x(x2?1)?(x2?1) =(x?1)(x?1)?(x?1)(x?1)(x?1)?(x?1)(x?1)

322解法三：x?x?x?1=(x?1)?(x?x)?(x?1)(x?x?1)?x(x?1)

2223232323222 =(x?1)(x?x?1?x)?(x?1)(x?2x?1)?(x?1)(x?1)

（12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2

评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组

解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c2

=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)

（13）分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b

解：8a2-5ab-42b2 a +2b

=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab

（14） 分解因式a6-10a3+16

解：a6-10a3+16 a3 -2 =( a3-2)( a3-8) a3 -8 =( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3 （15） 分解因式-x2+x+30

解：-x2+x+30 （先提出负号） x +5

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=-( x2-x-30) x -6 =-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x （16） 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7

解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1 =[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7 =(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8

（17）把x3?y3?x2?xy?y2分解因式

评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是x3?y3按立方差公式分解后的一个因式： 解：x3?y3?x2?xy?y2 =(x3?y3)?(x2?xy?y2)

=(x?y)(x2?xy?y2)?(x2?xy?y2) =(x2?xy?y2)(x?y?1)

（18） 把x2?y2?z2?2yz?2x?1分解因式

评析：把x?2x?1看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。 解：x?y?z?2yz?2x?1 =(x?2x?1)?(y?2yz?z) =(x?1)?(y?z)

=(x?1?y?z)(x?1?y?z) （19）分解因式(x?x?1)(x?x?2)?6

评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是x?x这一显著特点，我们不妨设x?x=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）

解：(x?x?1)(x?x?2)?6

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=(x2?x)2?3(x2?x)?2?6 =(x2?x)2?3(x2?x)?4 =[(x2?x)?4][(x2?x)?1] =(x2?x?4)(x2?x?1)

（20）把(x2?2x?4)(x2?2x?3)?8分解因式

解：(x2?2x?4)(x2?2x?3)?8 =(x2?2x)2?(x2?2x)?12?8 =(x2?2x)2?(x2?2x)?20 =[(x2?2x)?5][(x2?2x)?4] =(x2?2x?5)(x2?2x?4)

（21）把(x2?3x?2)(x2?9x?20)?72分解因式

评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有(x?3x?2)(x?9x?20)?(x?1)(x?2)(x?4)(x?5)。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）

解：(x?3x?2)(x?9x?20)?72 =(x?1)(x?2)(x?4)(x?5)?72 =[(x?1)(x?4)][(x?2)(x?5)]?72 =(x?3x?4)(x?3x?10)?72 =(x?3x)?14(x?3x)?32 =[(x?3x)?16][(x?3x)?2]

=(x?3x?16)(x?3x?2)?(x?3x?16)(x?2)(x?1) （22）把(a?1)(a?2)(a?3)(a?6)?a分解因式

评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a2+6

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