分类汇编：圆周角

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2013中考全国100份试卷分类汇编

圆周角

1、（德阳市2013年）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为的最大值是

53，tan∠ABC＝，则CQ2415 42520C、 D、

33A、5 B、

答案：D

解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠CPQ=∠CAB， ∴△ABC∽△PQC；

因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC， ∴

BCAC＝，AC、BC为定值，所以PC最大时，CQ取到最大值． CQPC3，即BC：CA=4：3，所以，∴BC=4，AC=3． 42043?，所以，CQ的最大值为

3CQ5∵AB=5，tan∠ABC＝

PC的最大值为直线5，所以，

2、（2013济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ）

A．4 B． C．6 D．

考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理． 专题：计算题．

分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，

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进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长． 解答：解：连接OD， ∵DF为圆O的切线， ∴OD⊥DF， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°， ∵OD=OC， ∴△OCD为等边三角形， ∴OD∥AB，

又O为BC的中点， ∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AB， ∴DF⊥AB， 在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2， ∴AD=4，即AC=8， ∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6， 在Rt△BFG中，∠BFG=30°， ∴BG=3，

则根据勾股定理得：FG=3． 故选B

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 3、(2013年临沂)如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是 (A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°. 答案：B

解析：连结OC，则∠OCB=45°，∠OCA=15°，

所以，∠ACB=30°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，知∠AOB=60° 4、（2013?自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，

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6），则⊙A的半径为（ ）

3 4 5 8 A．B． C． D． 考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理． 专题： 计算题． 分析： 连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径． 解答： 解：连接BC， ∵∠BOC=90°， ∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A， 在Rt△BOC中，OB=8，OC=6， 根据勾股定理得：BC=10， 则圆A的半径为5． 故选C 点评： 此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 5、（2013成都市）如图，点A,B,C在⊙O上，?A?50，则?BOC的度数为（ ） A.40

??

B.50

?

C.80

?

D.100

?

答案：D

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解析：因为同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，所以，∠BOC＝2∠BAC＝100°，选D。 6、（2013?嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）

8 A．B． C． D． 2 2 2 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 专题： 探究型． 分析： 先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长． 解答： 解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8， ∴AC=AB=4， 设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2， 在Rt△AOC中， ∵AC=4，OC=r﹣2， 222222∴OA=AC+OC，即r=4+（r﹣2），解得r=5， ∴AE=2r=10， 连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， 在Rt△ABE中， ∵AE=10，AB=8， ∴BE=在Rt△BCE中， ∵BE=6，BC=4， ∴CE=故选D． ==2． ==6， 点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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此题的关键． 7、（2013?雅安）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ）

A． B． C． D． 考点： 切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值． 分析： 首先连接OC，由CE是⊙O切线，可得OC⊥CE，由圆周角定理，可得∠BOC=60°，继而求得∠E的度数，则可求得sin∠E的值． 解答： 解：连接OC， ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°， ∵∠CDB=30°， ∴∠COB=2∠CDB=60°， ∴∠E=90°﹣∠COB=30°， ∴sin∠E=． 故选A． 点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 8、（2013?巴中）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）

116° A．32° B． 58° C． 64° D． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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考点： 圆周角定理． 分析： 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案． 解答： 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=58°， ∴∠A=90°﹣∠ABD=32°， ∴∠BCD=∠A=32°． 故选B． 点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9、（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是列结论不成立的是（ ） 的中点，则下 A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 专题：计算题．

分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；

由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确； 由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确； AC不一定垂直于OE，选项D错误． 解答：解：A．∵点C是∴OC⊥BE， ∵AB为圆O的直径， ∴AE⊥BE， ∴OC∥AE，本选项正确； B．∵

=

，

的中点，

∴BC=CE，本选项正确； C．∵AD为圆O的切线，

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∴AD⊥OA， ∴∠DAE+∠EAB=90°， ∵∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；

D．AC不一定垂直于OE，本选项错误， 故选D

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

10、（2013泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）

A．60° B．70° C．120° D．140° 考点：圆周角定理． 分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β． 解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D； △OAB中，OA=OB， 则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°， 同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°， 故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°． 故选D

点评：本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数． 11、（2013?莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（ ）

135° A．122.5° B． 115.5° C． 112.5° D． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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考点： 圆周角定理． 分析： 首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理即可求解． 解答： 解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBC=22.5°， ∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°． ∴∠C=（360°﹣135°）=112.5°． 故选D． 点评： 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键． 12、（2013?湖州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ） 156° 78° 39° 12° A．B． C． D． 考点： 圆周角定理． 专题： 计算题． 分析： 观察图形可知，已知的圆心角和圆周角所对的弧是一条弧，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由圆心角∠BOC的度数即可求出圆周角∠BAC的度数． 解答： 解：∵圆心角∠BOC和圆周角∠BAC所对的弧为， ∴∠BAC=∠BOC=×78°=39°． 故选C 点评： 此题要求学生掌握圆周角定理，考查学生分析问题、解决问题的能力，是一道基础题． 13、（2013鞍山）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）

A．45° B．35° C．25° D．20° 考点：圆周角定理． 专题：探究型．

分析：直接根据圆周角定理进行解答即可． 解答：解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ACB=∠AOB=45°．

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故选A．

点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14、（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）

55° 65° 70° A．C． D． 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 专题： 计算题． 分析： 连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数． 解答： 解：连结BD，如图， ∵点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD， ∴∠ABD=∠CBD， 而∠ABC=50°， ∴∠ABD=×50°=25°， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB=90°﹣25°=65°． 故选C． 60° B． 点评： 本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角． 15、（2013?淮安）如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（ ）

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40° 50° 80° 100° A．B． C． D． 考点： 圆周角定理． 分析： 在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数． 解答： 解：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=50°， ∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°， ∴∠A=∠BOC=40°． 故选A． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 16、（2013?衡阳）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） 50° 80° 90° 100° A．B． C． D． 考点： 圆周角定理． 分析： 因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 解答： 解：∵∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ABC=100°． 故选D． 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 17、（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）

∠DBC=90° AF=BF OF=CF A．B． C． D． 考点： 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 分析： 根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案． 解答： 解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点， A、=，正确，故本选项错误； B、AF=BF，正确，故本选项错误； C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误； D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误； 故选C． 点评： 本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般． 18、（2013?荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ） A． 考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义． 分析： 首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值． 解答： 解：过点A作AD⊥OB于点D， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°， B． C． D． ∴OD=AD=OA?cos45°=∴BD=OB﹣OD=1﹣∴AB==， ×1=， ， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°，AC=2， ∴sinC=故选B． ． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 19、（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）

4 A． 5 B． 6 C． 7 D． 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质． 分析： 根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值． 解答： 解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴=，即=， 解得：x=5． 故选B． 点评： 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE． 20、（2013?黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）

50° 40° 60° 70° A．B． C． D． 考点： 切线的性质；圆周角定理． 分析： 连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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解答： 解：连接OC，如图所示： ∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC， ∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°， ∴∠BOC=40°， 又∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE，即∠OCE=90°， 则∠E=90°﹣40°=50°． 故选A． 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 21、（2013安顺）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）

A．100° B．80° C．50° D．40° 考点：圆周角定理．

分析：由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=40°． 解答：解：∵∠AOB=80° ∴∠ACB=∠AOB=40°． 故选D．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 新 课 标 第 一 网

22、（2013?南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）

A．4 5 B． 4 C． 3 D． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 专题： 探究型． 分析： 先根据∠BAC=∠BOD可得出=，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论． 解答： 解：∵∠BAC=∠BOD， ∴=， ∴AB⊥CD， ∵AE=CD=8， ∴DE=CD=4， 设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r， 在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r， ∵OD=DE+OE，即r=4+（8﹣r），解得r=5． 故选B． 点评： 本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．X|k | B| 1 . c|O |m 23、(2013年广东湛江)如图，AB是⊙O的直径，?AOC?110?， 则?D?（ ）

222222A. 250 B. 350

C. 550 D. 700

解析：考查圆心角与圆周角的关系及邻补角的和为1800，

??AOC?110?, ??BOC?1800??AOC?700,??BDC?1?BOC?3502，?选B

24、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ） ．．．A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。

0

C、当PO⊥AC时，∠ACP=30.

0

D、当∠ACP=30，ΔPBC是直角三角形。

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25、（2013?徐州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB的度数为 60 °． 考点： 圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠AOB=2∠C，进而可得答案． 解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°， ∴∠AOB=2∠C=2×30°=60°． 故答案为：60°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 26、（2013?常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= 2 ．

考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系． 分析： 根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 解答： 解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAD=120°﹣90°=30°， ∴∠CBD=∠CAD=30°， 又∵∠BAC=120°， ∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°， ∵AB=AC， ∴∠ADB=∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°， ∵AD=6， ∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2=4． ， 故答案为：2． 点评： 本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键． 27、（2013?益阳）如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC= 5 cm． 考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形． 分析： 根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出BC的长度． 解答： 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵AB=10cm，∠CAB=30°， ∴BC=AB=5cm． 故答案为：5． 点评： 本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据圆周角定理判断出∠ACB=90°． 28、（2013?郴州）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= 20 °．

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考点： 圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB． 解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=70°， ∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°， ∵OC=OB（都是半径）， ∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣∠BOC）=20°． 故答案为：20°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 29、（2013?包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 28 度． 考点： 圆周角定理；垂径定理． 分析： 根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案． 解答： 解：∵OB⊥AC， ∴=， ∴∠ADB=∠BOC=28°． 故答案为：28． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 30、（2013?遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 52° 度．

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考点： 圆周角定理；垂径定理． 分析： 由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案． 解答： 解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB， ∴=， ∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°． 故答案为：52°． 点评： 此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 31、（2013?自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ． 考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义． 专题： 网格型． 分析： 根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值． 解答： 解：∵∠AED与∠ABC都对， ∴∠AED=∠ABC， 在Rt△ABC中，AB=2，AC=1， 根据勾股定理得：BC=， 则cos∠AED=cos∠ABC=故答案为： =． 点评： 此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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32、（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 55 （度）．

考点： 切线的性质． 分析： 首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 解答： 解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°， ∴∠C=∠AOB=55°． 故答案为：55． 点评： 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 33、（2013?黔西南州）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为 50° ．

考点： 圆周角定理． 分析： 连接OA，根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数． 解答： 解：连接OA， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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由题意得，∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=80°， ∵OA=OB（都是半径）， ∴∠ABO=∠OAB=（180°﹣∠AOB）=50°． 故答案为：50°． 点评： 本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 34、（2013?常德）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC= 50° ． 考点： 圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，进而可得答案． 解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°， ∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°． 故答案为：50°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 35、（2013?张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° ．

考点： 圆周角定理；垂径定理． 分析： 根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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解答： 解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直， ∴=， ∴∠BOD=2∠BAC=80°． 故答案为：80°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 36、（2013?娄底）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= 30° ．

考点： 圆周角定理． 分析： 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 解答： 解：由题意得，∠AOB=60°， 则∠APB=∠AOB=30°． 故答案为：30°． 点评： 本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容． 37、（2013?佛山）图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ．

分析：根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°． 解：解：∵CA∥OB，∴∠CAO=∠AOB=30°，

∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=30°，∴∠AOD=2∠C=60°，∴∠BOD=60°﹣30°=30°．故答案为30°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所

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对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 38、（2013甘肃兰州4分、18）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3

度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是 度．

考点：圆周角定理．

分析：首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数． 解答：解：连接OE， ∵∠ACB=90°， ∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵∠ACE=3×24=72°， ∴∠AOE=2∠ACE=144°． ∴点E在量角器上对应的读数是：144°． 故答案为：144．

点评：本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 39、（2013?呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 （0，12）或（0，﹣12） ． 考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理． 分析： 如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C． 注意点C有两个． 解答： 解：设线段BA的中点为E， ∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）． （1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=； 以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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∵∠BCA为⊙P的圆周角， ∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求． 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点C坐标为（0，12）； （2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）． 综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）． 故答案为：（0，12）或（0，﹣12）． 点评： 本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在． 40、(2013年江西省)如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图． ．．． （1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

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（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

【答案】 （1）如图1，点P就是所求作的点；

（2）如图2，CD为AB边上的高.

【考点解剖】 本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．

【解题思路】 图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高． 【解答过程】 略.

【方法规律】 认真分析揣摩所给图形的信息，结合题目要求思考. 【关键词】 创新作图 圆 三角形的高 41、（2013?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质；圆周角定理． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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专题： 计算题． 分析： （1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证； （2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长． 解答： （1）证明：连接OE， ∵AC与圆O相切， ∴OE⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC， 又∵O为DB的中点， ∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线， ∴OE=BF， 又∵OE=BD， 则BF=BD； （2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x， 又∵CF=1， ∴BF=3x+1， 由（1）得：BD=BF， ∴BD=3x+1， ∴OE=OB=∵OE∥BF， ∴∠AOE=∠B， ，AO=AB﹣OB=5x﹣=， ∴cos∠AOE=cosB，即=，即=， 解得：x=， 则圆O的半径为=． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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考点：（1）圆周角定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定

0

分析：连接CD、BE，利用直径所对圆周角90、证明△ADC≌△AEB得AB=AC，（2）利用△OBD∽△ABC得

BDBO得BC=4再求AB=10从而 AD=AB—BD=6此题利用相似三角形的判?BCAB定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．

解答：(1)证明：连接CD、BE ∵BC为半圆O的直径．

0

∴∠BDC=∠CEB=90

0

∴∠LADC=∠AEB=90 又∵AD=AE ∠A=∠A ∴△ADC≌△AEB ∴AB=AC (2)解：连接0D ∵OD=OB．∴∠OBD=∠ODB ∵AB=AC ∴∠0BD=∠ACB ∴∠ODB=∠ACB 又∵∠OBD=∠ABC．∴△OBD∽△ABC ∴BDBO． ?BCAB ∵BO?25∴BC=4．又∵BD=4∴ ∴AB=10 ∴AD=AB—BD=6 445?25 AB

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47、（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

考点： 切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF； （3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF 然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可． 解答： （1）证明：连结OC，如图， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线； （2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=DF=， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即∴AG=2． ：AG=1：2， 点评： 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定． 48、（2013?资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数． 考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解； （2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到的圆周角减去所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对所对的圆周角，计算即可得解． 解答： 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E， 则AE=AC=×2=1， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OE=r， 在Rt△AOE中，AO=AE+OE， 即r=1+（r）， 解得r=； 222222 （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角， ∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°． 点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键． 49、（2013?呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形． 分析： （1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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即可判定点F是AD的中点； （2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案； （3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）=k?（10+5k），解此方程即可求得答案． 解答： （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， 2∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点F是AD的中点； （2）解：连接DM， 设EF=4k，df=3k， 则ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM===k， ∴ME==k， ∴cos∠AED==； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE?BE， ∴（5k）2=k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 50、（2013?温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 分析： （1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D； （2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC+BC=AB，可得方程：（x222﹣2）+x=4，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长． 解答： （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：设BC=x，则AC=x﹣2， 在Rt△ABC中，AC+BC=AB， 222∴（x﹣2）+x=4， 解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去）， ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E， ∴CD=CE， ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+． 点评： 此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股222222新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 51、（2013?广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙0的切线． （2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．

考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形． 分析： （1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF． 解答： （1）证明：连结OD，如图， ∵AB为⊙0的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分BC，即DB=DC， ∵OA=OB， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴EF是⊙0的切线； （2）解：∵∠DAC=∠DAB， ∴∠ADE=∠ABD， 在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=∴AD=8， 在Rt△ADE中，sin∠ADE==， =，而AB=10， ，然后由OD∥AE， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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∴AE=， ∵OD∥AE， ∴△FDO∽△FEA， ∴=，即=， ∴BF=． 点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 53、（2013?天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D． （Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 考点： 切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系． 分析： （Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案． 解答： 解：（Ⅰ）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣108°=72°， ∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°． 点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

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