2010届高三数学步步高（理）第四编 三角函数及三角恒

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第四编 三角函数及三角恒等变换

§4.1 角的概念的推广和弧度制及任意角的三角函数

基础自测

1.A={小于（ ）

A.{小于90°的角} C.{第一象限的角} 答案 D

2.将表的分针拨慢( ) A.

?390°的角}，B={第一象限的角}，则

B.{0°～90°的角} D.以上都不对 10

A∩B等于

分钟，则分针转过的角的弧度数是

B.

?6 C.-

?3 D.-

?6

答案 A

3.已知扇形的周长是( )

A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C 4.已知角?（ ）

A.sin2 B.-sin2 C.cos2 D. -cos2 答案 D

5.?是第二象限角，P（x，（ ）

A.

1046 cm，面积是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是

2

终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?等于

5）为其终边上一点，且cos?=

24x,则sin?的值是

B.

64 C.

24 D.-

104

答案 A

例1 若?是第二象限的角，2?,

?2试分别确定

,

?3的终边所在位置.

解 ∵?是第二象限的角，

∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

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（2）∵k2180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时， n2360°+45°＜

?2?2 ＜k2180°+90°（k∈Z），

＜n2360°+90°；

当k=2n+1（n∈Z）时， n2360°+225°＜∴

?2?2＜n2360°+270°.

是第一或第三象限的角.

?3（3）∵k2120°+30°＜当k=3n（n∈Z）时， n2360°+30°＜

?3＜k2120°+60°（k∈Z），

＜n2360°+60°；

当k=3n+1（n∈Z）时， n2360°+150°＜

?3＜n2360°+180°；

当k=3n+2（n∈Z）时， n2360°+270°＜∴

?3?3＜n2360°+300°.

是第一或第二或第四象限的角.

例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?,所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r,

?180?∴?=?-2=(?-2)3??????≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,

12∴扇形的面积为S=

12r2?=

（?-2）r2.

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) 扇形的面积S=S=

1212 ①

lr，将①代入，得

(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-235=10,?=

lr=2.

所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.

例3 （12分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值.

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解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角?的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),

2分

则x=4t,y=-3t,

r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,

4分

当t＞0时，r=5t, sin?=tan?=

yryx??3t5t?3t4t??3534,cos?=;

xr?4t5t?45,

???

8分

yr??3t?5t?35当t＜0时，r=-5t,sin?=cos?=tan?=

xryx4t?5t?3t4t4534,

???,

???.

10分

35综上可知，t＞0时，sin?=?t＜0时，sin?=

35,cos?=

4534,tan?=?.

34;

,cos?=-

45,tan?=?12分

例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥

32;(2)cos?≤?3212.

解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?

的终边的范围，故满足条件的角?的集合为

?|2k?+

?3≤?≤2k?+

1223?，k∈Z . （2）作直线x=?交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）

??2343即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为??|2k??

1.已知?是第三象限角，问

?3????2k???,k?Z?.

??是哪个象限的角？

解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），

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60°+k2120°＜

?3＜90°+k2120°.

①当k=3m(m∈Z)时，可得 60°+m2360°＜

?3?3＜90°+m2360°（m∈Z）.

故的终边在第一象限.

②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m2360°＜

?3?3＜210°+m2360°（m∈Z).

故的终边在第三象限.

③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 300°+m2360°＜

?3?3＜330°+m2360°（m∈Z）.

故的终边在第四象限.

?3综上可知，是第一、第三或第四象限的角.

2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=

122?3rad，r=6，∴ 的弧长为l=

122?336=4?.

12(2)∵S扇形OAB=

lr=

1234?36=12?，S△ABO=

r2sin

2

2?3=363

2

32=93，

∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.

3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.

解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t. ∴r=x2?y2=02?t2=|t|. 当t＞0时，r=t,sin?=

yr=

yryxtt=1,cos?=

t?txr=

0t=0,tan?=

yx不存在；

当t＜0时，r=-t，sin?=

xr0?t==-1,

cos?===0,tan?=不存在.

综上可知,sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：

（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）.

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解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥

12.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x∈?2k?????3,2k?????3?（k∈Z）.

34（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜

,∴-

32＜sinx＜

32.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x?（k?-

一、选择题 1.

已

知

cos

??3,k?+

?3）（k?Z).

2tan

?＜0,那么角

?是

（ ）

A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案 C 2.

若

0

＜

x

＜

?2，则下列命题中正确的是

（ ）

A.sinx

43?x B. sinx>

3?x C. sinx<

4?22x

?22x

答案 D 3.

与

610

°

角

终

边

相

同

的

角

表

示

（ ）

A. k2360°+230°(k∈Z) B. k2360°+250°(k∈Z) C. k2360°+70°(k∈Z) D. k2360°+270°(k∈Z) 答案 B 4.

已

知

（

12为

）

sin2

?＜1,则?所在象限为

（ ）

A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第三象限 答案 D

5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第几象限 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B

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6.（20092德州模拟）已知?∈???????2,，则关于tan?的值，以下四?且sin?+cos?=a，其中a∈(0，1）

2?，

可

能

正

确

的

个答案中是

（ ）

A.-3 B.3或D.-3或-1313 C.-

13

答案 C 二、填空题

7.已知角?的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则答案 2

8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ,其中t∈［0,60］. 答案 10sin三、解答题 9.已知sin?=

1?a1?asin?sin??cos?cos?? .

?t60

,cos?=

3a?11?a,若?是第二象限角，求实数a的值.

解 ∵?是第二象限角，∴sin?＞0,cos?＜0,

1?a?0?sin???1??1?a∴???1?cos??3a?1?0?1?a?，解得0＜a＜

13.

又∵sin2?+cos2?=1,

?1?a??3a?1?∴??????1?a??1?a?22?1,

19解得a=

19或a=1(舍去），故实数a的值为.

10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形半径为R，圆心角为?，所对的弧长为l.

?12??R?4,（1）依题意，得?2??R?2R?10,?

∴2?2-17?+8=0,∴?=8或∵8＞2?,舍去,∴?=

1212.

.

(2)扇形的周长为40,∴?R+2R=40， S=

12lR=

12?R=

214?R22R≤

1??R?2R???4?2?2?100.

当且仅当?R=2R,即R=10,?=2时面积取得最大值，最大值为100.

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sin?211.设?为第三象限角，试判断

cos?2的符号.

解 ∵?为第三象限角， ∴2k?+?＜?＜2k?+k?+

?23?2 (k∈Z),

??2?k??3?4 (k∈Z).

?2当k=2n (n∈Z)时，2n?+此时

?2??2?2n??34?,

在第二象限.

?2∴sin

?2＞0,cos

?2＜0.

sin因此

cos?2＜0.

当k=2n+1(n∈Z)时， (2n+1)?+即2n?+此时

?2?2＜＜

?22＜(2n+1)?+＜2n?+

7?43?4(n∈Z),

3?2?(n∈Z)

在第四象限.

?2∴sin

?2sin?2sin?2＜0,cos＞0,因此

cos?2＜0,综上可知：

cos?2＜0.

12.角?终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角?终边上的点Q与A关于直线y=x对称， 求sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?的值. 解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)， 点Q的坐标为（2a，a）. sin?=

a2?2a?(?2a)??22??2a5a2,cos?=

aa?22a?(?2a)a5a22?a5a2,

tan?=

?2aa,sin?=

2a5a2,

(2a)?a2a?22cos?=,tan?=

a2a?12,

(2a)?a2故有sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan? =

?2a5a2?a5a2?a5a2?2a5a2?(?2)?12=-1.

§4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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基础自测

1.（20092泰安模拟）sin2(?（ ）

A.1 B.2sin? C.0

2+?)-cos(?+?)2cos(-?)+1的值为

D.2 答案 D 2.sin210（ ）

A.C.

12°等于

32 B.-1232

D.-

答案 D 3.

已

知

tan

?=

12,且

?∈

3?????,?2??，则sin

?的值是

( )

A.?55 B.

55 C.

255 D.?255

答案 A 4.

若

sin??cos?sin??cos?=2,则sin(?-5

?)2sin

?3???????2?等于

（ ）

A.

34 B.?310 C.

310 D.-

310

答案 C 5.已知sin?=

A.?3555，则sin4?-cos4?的值为

( )

B.?15 C.

15 D.

35

答案 A

例1 已知f(?)=

sin(???)cos(2???)tan(????)?tan(????)sin(????);

（1）化简f(?);

（2）若?是第三象限角，且cos?????3??1??2?5，求f(?)的值.

解 （1）f（?）=

sin??cos??(?tan?)tan?sin?=-cos?.

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（2）∵cos????3???2?=-sin?,

?152?12∴sin?=-5,cos?=-5??256,

∴f(?)=

265.

例2 （12分）已知-?＜x＜0,sinx+cosx=125.

（1）求sinx-cosx的值； （2）求

1的值.

cos2x?sin2x解 （1）方法一 联立方程：

?sinx?cosx?1　?　①?5 ??sin2x?cos2x?1　② 2分 由①得sinx=

15-cosx,将其代入②，整理得

25cos2x-5cosx-12=0.

3分 ∵-?2＜x＜0,

?sinx3∴?????5,

???cosx?45所以sinx-cosx=-75.

6分

方法二 ∵sinx+cosx=

15,

2∴(sinx+cosx)

2

=??1??,

?5?即1+2sinxcosx=125,

∴2sinxcosx=-2425.

2分

∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x =1-2sinxcosx=1+2425=

4925

4分 又∵-?2＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,

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①

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∴sinx-cosx＜0

75 .

②

由①②可知：sinx-cosx=-

6分

（2）由已知条件及（1）可知

1?sinx?cosx???5??sinx?cosx??7?5?3?sinx????5,解得??cosx?4?5?,

8分

34∴tanx=-

又∵

cossin2.

9分

122?xsincos22x?cosx?sin22xx

x?sin2x?coscos2x=

cosx22

xx?sin2cosx=

tan2x?12

1?tanx 11分

2=

?3?????1?4??3?1?????4?2?257.

12分

例3 已知tan?=2,求下列各式的值： （1）

2sin??3cos?4sin??9cos?;

2（2）

2sin4sin22??3cos???9cos?2;

（3）4sin2?-3sin?cos?-5cos2?. 解 （1）原式=

2sin4sin222

2tan??34tan??92?2?2?34?2?92??1.

2（2）

??3cos???9cos?2

2?2tan??34tan??92?2?2?34?2?92?57.

（3）∵sin?+cos?=1, ∴4sin2?-3sin?cos?-5cos2? =

4sin22??3sin?cos??5cos?sin2??cos??4?4?3?2?54?1?1.

2

=

4tan??3tan??5tan??122我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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tan(???)cos(2???)sin?????3??1.化简?2??cos(????)sin(????).

(?tan?)?cos???(???)??sin???????解 原式=

?2???cos(???)???sin(???)?

(?tan?)???cos(???)?????sin????????=

??2???

(?cos?)?sin?=?tan??cos??(?cos?)?cos??sin?=

?tan??cos?sin?

=?sin?cos??cos?sin?=-1.

2.已知sin? +cos?=15,?∈(0,?).求值：

（1）tan?;（2）sin?-cos?;（3）sin3?+cos3?. 解 方法一 ∵sin?+cos?=15,?∈(0,?),

∴(sin?+cos?)2=

125=1+2sin?cos?，

∴sin?cos?=-1225＜0.

由根与系数的关系知， sin?,cos?是方程x2-15x-

1225=0的两根，

解方程得x431=5,x2=-5.

∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?=

45,cos? =-

35.

∴（1）tan?=-43.

（2）sin?-cos?=75.

（3）sin3?+cos3?=37125.

方法二 （1）同方法一.

（2）(sin?-cos?)2=1-2sin?2cos? =1-23???12?=

49?25??25.

∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0, ∴sin?-cos?=

75.

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http://www.52ekt.com 我爱E课堂 语文 数学 外语 物理 化学 生物 政治 历史 地理 http://www.52ekt.com （3）sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?) =

153?1???12??25?=

37125.

3.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z). 求:（1）

142

4sin??2cos?5cos??3sin?;

（2）sin?+

25cos?.

2

解 由已知得cos(?+k?)≠0, ∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2. （1）

4sin??2cos?5cos??3sin??4tan??25?3tan??10.

125?7251（2）

14sin2?+

25cos2?=4sinsin22??25cos?22=4tan??tan??122.

??cos?一、选择题 1.

?是第四象限角，tan

?=

?512，则sin

?等于

（ ） A.

15 B.-

15 C.

513 D.-

513

答案 D

2.（20082浙江理，8）若（ ）

A.

12cos?+2sin

?=-

5,则tan?等于

B. 2 C.?12 D.-2

答案 B

3.（20082 四川理，5）设0≤?＜2?,若sin?＞（ ）

A.(??3,2)3cos?,则?的取值范围是

B. (,?) C. (3??3,4?3) D.(?3,3?2)

答案 C 4.

设

0

≤

x

＜

2

?，且

1?s2xin=sinx-cosx，则

（ ）

A.0?x?? B.

?4?x?7?4

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C.

?4?x?5?4 D.

?2?x?3?2

答案C 5.sin(（ ） D.2 答案 D 6.

若

sin

?2

?+

?)-cos(

?+

?)cos(-

?)+1的值为

A.1 B.2sin2? C.0

+cos

?=tan

?

????0????，则

?的取值范围是

?2?（ ）

A.(0,?6

) C. (??4,3) D. (?,?32)

答案 C 二、填空题 7.如果cos?=

1?)5,且?是第四象限的角,那么cos (??2= .

答案 265

28.化简:

sin(???)?cos(???)?cos(???2?)= .

tan(???)?sin3(?2??)?sin(???2?)答案 1 三、解答题 9.已知cos(?+?)=-12,且?是第四象限角，计算：

（1）sin(2?-?); （2）

sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?) (n∈Z).

解 ∵cos(?+?)=-12,∴-cos?=-

112,cos?=2,

又∵?是第四象限角，∴sin?=-1?cos2???32.

（1）sin(2?-?)=sin［2?+(-?)］ =sin(-?)=-sin?=32.

（2）

sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)

=

sin(2n?????)?sin(?2n?????)sin(2n???)?cos(?2n???)

=sin(???)?sin(????)sin??cos?

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B. (?,?64) http://www.52ekt.com

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=

?sin??sin(???)sin?2sin??cos?=

?2sin?cos?=?cos?=-4.

4sin410.化简：

1?cos???66.

1?cos??sin?224 方法一 原式=

(cos??sin2解?)?cos??sin4?(cos2??sin2?)3?cos6

??sin6?2cos22=

??sin??23cos23.

?sin2?(cos2??sin2?)22方法二 原式=

(1?cos?)(1?cos?)?sin4?(1?cos2?)(1?cos2??cos4?)?sin6

?sin2?(1?cos2??sin2=

?)sin2?(1?cos2??cos4??sin4?

)=

2cos2?1?cos2??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?

)2cos2?2=

1?cos2??cos2??sin2??2cos?3cos2??2.3

11.设k为整数，化简

sin(k???)cos?(k?1)????

sin?(k?1)????cos(k???).解 方法一 当k为偶数时，设k=2m (m∈Z),则 原式=

sin(2m???)cos?(2m?1)????sin?

(2m?1)????cos(2m???).=

sin(??)cos(???)?(?sin?)(?cos?)sin(???)cos??sin?cos???1;

当k为奇数时，可设k=2m+1(m?Z), 仿上可得，原式=-1.

方法二 由(k?+?)+(k?-?)=2 k?, ［(k-1)?-?］+［(k+1)?+?］=2 k?, 得sin(k?-?)=-sin(k?+?),

cos?(k?1)?????cos?(k?1)????

=-cos(k?+?),

sin［(k+1)?+?］=-sin(k?+?). 故原式=

?sin(k???)??cos(k???)??sin(k???)cos(k???)??1. 12.已知sin(?-?)-cos(?+?)=2??3???????.求下列各式的值：?2?（1）sin?-cos?; （2）sin3????????cos3(???).?2?2

解 由sin(?-?)-cos(?+?)=

23,

得sin??cos??23, 我爱E课堂 中学资源仅在其中

①

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将①式两边平方，得1+2sin?2cos?=

?229,故2sin?2cos?=-

79,

又＜?＜?，∴sin?＞0，∴cos?＜0.

∴sin??cos?＞0.

（1）(sin??cos?)?1?2sin??cos??1?(?)?271699,

∴sin??cos?? （2）sin(343.

?2?2??)?cos(23??)?cos??sin?2?3

=(cos??sin?)(cos??cos??sin??sin?) =????4??7?22. ???1????3??18?27

§4.3 三角函数的图像与性质

基础自测

1.在下列函数中，同时满足： ①在（0,

?2）上递减；②以2?为周期；③是奇函数. （ ）

A.y=tanx B.y=cosx C.y=-sinx D.y=sinxcosx 答案C 2.

下

列

函

数

中

，

周

期

为

?2的是

（ ） A.y=sin

x2 B.y=sin2x C.y=cos

x4 

D.y=cos4x 答案D

3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 ( )

A.1 D.7 答案 C 4.

函

数

y=|sinx|

的

一

个

单

调

增

区

间

B.4  C.5

是

（ ）

A.(???4,4)  B.(?4,3?4) C.(?,3?2)

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D. (答案 C

3?2,2?)

5.（20082全国Ⅱ理，8）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）

A.1  D.2 答案 B

例1 求下列函数的定义域：

（1）y=lgsin(cosx);（2）=sinx?cosx. 解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.

方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-?2 B.2 C.3

+2k?＜x＜

?2+2k?,k∈Z}.

方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为?x|????2?2k??x????2k?,k?Z?. 2?（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.

方法一 利用图像.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图像，如图所示.

在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为?x|???4，

5?4，再结合正弦、余弦函数的周期是2?,

?4?2k??x?5???2k?,k?Z?. 4?方法二 利用三角函数线，

如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则

?4≤x≤

5?4（在［0，2?］内）.

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∴定义域为

??x|?5??4?2k??x?4?2k?,k?Z??. ?方法三 sinx-cosx=2sin(x??)4≥0，

将x-?4视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图像和性质

可知2k?≤x-?4≤?+2k?,

解得2k?+

?≤x≤

5?44+2k?,k∈Z.

所以定义域为??x|2kx???x?5??44?2k?,k?Ζ??. ?例2 求下列函数的值域： （1）y=

sin2xsinx1?cosx;

(2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos(?3?x)+2cosx.

）y=

2sinxcosxsinx=

2cosx(1?cos2解 （1x)1?cosx1?cosx

=2cos2x+2cosx=2(cosx?12-12)2.

于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且y1min=-2,当且仅当cosx=-12时取得.

故函数值域为?1??2,4??.

??（2）令t=sinx+cosx,则有t2

=1+2sinxcosx, 即sinxcosx=

t2?12.

t2有y=f(t)=t+

?11(t?1)2?12=2. 又t=sinx+cosx=2sin(x??)4，

∴-2≤t≤2. 故y=f(t)=

1(t?1)22?1(-2≤t≤2),

从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+12.

即函数的值域为?1???1,2??2?.

?我爱E课堂 中学资源仅在其中

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（3）y=2cos(=2cos

?3?3?x)+2cosx

?3cosx-2sinsinx+2cosx

=3cosx-3sinx

?3?1=23?cosx?sinx?

?2?2??=23cos(x?∵cos(x??6?6).

)≤1

∴该函数值域为［-23，23］. 例3（12分）求函数y=2sin(解 方法一 y=2sin(

1分

?4?4?x)的单调区间.

?4?x)化成y=-2sin(x?).

∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为

????2k??,2k????（k∈Z), 22???3????2k??,2k??? (k∈Z), 22??

3分

?4)∴函数y=-2sin(x?2k?+

?2的递增、递减区间分别由下面的不等式确定

3?27?4≤x-3?4?4≤2k?+（k∈Z), （k∈Z),

即2k?+

?2≤x≤2k?+

?42k?-≤x-?4≤2k?+

?2（k∈Z), （k∈Z).

即2k?-11分

≤x≤2k?+

3?4∴函数y=2sin(?4?x)的单调递减区间、单调递增区间分别为?2k?????4,2k??3???4?（k∈Z),

3?7???,2k???2k???44??（k∈Z).

12分

方法二 y=2sin(?4?x)可看作是由y=2sinu与u=

?4

?x复合而成的.

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又∵u=

1分

?4?x

为减函数，

?2∴由2k?--2k?-???2≤u≤2k?+

3?4（k∈Z),

?4≤x≤-2k?+

?4,?2k?? (k∈Z). （k∈Z）为y=2sin(?4?x)即??2k??由2k?+即2k?+得-2k?-??3???4?的递减区间.

?2≤u≤2k?+≤

?43?2 (k∈Z),

3?2?2-x≤2k?+

?4 (k∈Z)

5?4≤x≤-2k?-,?2k?? (k∈Z),

?4?x)即??2k??

5?4???4?（k∈Z)为y=2sin(的递增区间.

11分

?4?x)综上可知：y=2sin(的递增区间为

5????,?2k?????2k??44??（k∈Z）；

3???4?递减区间为??2k?????4,?2k??（k∈Z）.

12分

1.求f(x)=1?2cos(?2?x)的定义域和值域. ????x?≥0,得?2?22解 由函数1-2cos?域是

sinx≤,利用单位圆或三角函数的图像，易得所求函数的定义

5?????x?2k??,k?Z ?x|2k???. 44??当sinx=cos?当sinx=cos???2??x?=

2?2?????x?=-1?2?时，ymin=0;

时，ymax=1?2.

所以函数的值域为［0，1?2］. 2.已知函数f(x)=

2cos4x?3coscos2x2x?1,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.

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解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+解得x≠

k?2?2，

??4（k∈Z）.

??k?22所以f(x）的定义域为?xx?R,且x?又f（x)=

2cos4???,k?Z?. 4?2x?3coscos2x2x?1=

(2cosx?1)(coscos2xx?1)

=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数. 显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠∴-sin2x≠-12k?2??4,k∈Z.

.所以原函数的值域为

11???y|?1?y??或??y?0?.

22??3.（1）求函数y=sin?（2）求y=3tan????6????2x??3??x??4?的单调递减区间；

的周期及单调区间.

?3解 （1）方法一 令u=

?2?2x,y=sinu利用复合函数单调性.

由2k?-2k?--k?-5?6≤-2x+

?3≤2k?+

?6?2(k∈Z),得

≤-2x≤2k?+≤x≤-k?+

5?125?（k∈Z),

?12 (k∈Z),

即k?-

?12≤x≤k?+

12（k∈Z).

??∴原函数的单调递减区间为?k?????12,k??5???12? (k∈Z).

??方法二 由已知函数y=-sin?2x?间. 由2k?-?2???3?,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin?2x????3?的单调递增区

≤2x-??3≤2k?+

5?12?2（k∈Z),

解得k?-

12≤x≤k?+（k∈Z).

??∴原函数的单调递减区间为?k??（2）y=3tan?∴T=

?????6?x??4??12?,k??5???12?（k∈Z）.

=-3tan????6?x?4???6?,

=4?,∴y=3tan??x??4?的周期为4?.

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由k?-

?2＜

4?3x4??6＜k?+

8?3?2，

得4k?-y=3tan??x?4＜x＜4k?+

???6? (k∈Z),

?的单调增区间是

4?8???,4k???4k???(k∈Z） 33??∴y=3tan????6?x??4?的单调递减区间是

4?8???,4k???4k??? (k∈Z). 33??

一、选择题 1.

已

知

函

数

y=tan

???2,2x在

(?)内是减函数,则

（ ）

A.0＜?≤1 B.-1≤?＜0 C.?≥1 D.ω≤-1 答案B

2.（20092 连云港模拟）若函数y=sin(?x??)(??0)的最小正周期为4，且当x=2时y取得最小值,则?的一个可能值是（ )

A.C.

?2?4 B.

?3

D.?

答案 C

3.函数f(x)=tan?x (?＞0)的图像的相邻的两支截直线y=( )

A.0 B.1 C.-1 D.答案 A 4.函数( ) A.?0,???4所得线段长为

?4,则f(

?4)的值是

?4

y=2sin（

?6-2x）(x∈［0，?］)为增函数的区间是

???3? B. ?,? C.?,? D.

?1212??36???7????5???5??,?? ??6?我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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答案 C 5.(

??函

?6数

f(x)=lg(sin2x+

??,k?Z? 2?3cos2x-1))

A.

的定义域是

?????x?k??,k?Z? ?x|k??124??B.?x|k??C.

?x?k???11????x?k??,k?Z? ?x|k??412????,k?Z? 3?D. ?x|k??x?k????答案 A 6.给出下列命题： ①函数y=cos??2?3x????是奇函数； 2?32②存在实数?,使得sin?+cos?=;

③若?、?是第一象限角且?＜?,则tan?＜tan?; ④x=

?8是函数y=sin?2x?????5???的一条对称轴方程； 4?⑤函数y=sin?2x?其（ ）

中

?????,0?成中心对称图形. ?的图像关于点?3??12?正确的序号为

A.①③ B.②④ C.①④ D.④⑤ 答案 C 二、填空题

7.(20082江苏，1)f(x)=cos(?x-答案 10

8.关于函数f(x)=4sin（2x+

?3?6)最小正周期为

?5，其中?＞0，则?= .

）（x∈R），有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是?的整数倍； ②y= f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-?6?6)；

③y= f(x)的图像关于点(-,0)对称；

?6④y= f(x)的图像关于直线x=-对称.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 答案 ②③ 三、解答题 9.已知x∈???????6,?，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围. 3?我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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解 由mcosx-1=cosx+m得 cosx=

m?1m?1,作出函数y=cosx的图像（如图所示），

12由图像可得

2≤

m?1m?1≤1,解得m≤-3.

10.设a=(sin??2x4,cosx?sinx),b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a2b.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）已知常数?＞0，若y=f(?x)在区间?????2??上是增函数，求?的取值范围； ?23?,（3）设集合A=?x???62

?x?23??，B={x||f(x)-m|＜2},若A?B，求实数m的取值范围.

????2x解 （1）f(x)=sin

424sinx+(cosx+sinx)2(cosx-sinx)

=4sinx2

???1?cos??x??2?2+cos2x

=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1, ∴f(x)=2sinx+1.

（2）∵f(?x)=2sin?x+1,?＞0. 由2k?-?2≤?x≤2k?+

?2k????2?,

?2?,2k??得f(?x)的增区间是?∵f（?x）在???????2???,k∈Z.

?2???上是增函数， 23?,∴?????2?????????,??. 23??2?2??,∴-

?2≥??2?且

2?3≤

,∴?∈??0,4?. 2?????3?（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2, 即f(x)-2＜m＜f(x)+2. ∵A?B，∴当

?6≤x≤

23?时，

不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立. ∴f(x)max-2＜m＜f(x)min+2, ∵f(x)max=f(

?2)=3,f(x)min=f(

?6)=2,∴m∈（1，4）.

??11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?,且当x∈?0,f(x)=sinx.

（1）求当x∈［-?，0］时，f(x)的解析式； （2）画出函数f(x)在［-?，?］上的函数简图；

???时，2?我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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（3）求当f(x)≥

12时，x的取值范围.

解 （1）∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x). 而当x∈?0,?????2?时，f(x)=sinx.

∴当x∈??????,0?时， 2?f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx. 又当x∈???,??????2?时，x+?∈?0,?，

?2????∵f(x)的周期为?，∴f(x)=f(?+x)=sin(?+x)=-sinx. ∴当x∈［-?,0］时，f(x)=-sinx. （2）如图

（3）由于f(x）的最小正周期为?, 因此先在［-?，0］上来研究f(x)≥即-sinx≥∴-5?612,

12,∴sinx≤-?612,

≤x≤-.

由周期性知， 当x∈?k????56?,k?????,k∈Z时，f(x)≥. 6?2112.已知a＞0，函数f(x)=-2asin(2x?（1）求常数a,b的值； （2）设g(x)=f(x?解 （1）∵x∈?0,???6)+2a+b,当x∈?0,?????时，-5≤f(x)≤1. 2??2)且lgg(x)＞0,求g(x)的单调区间.

??????7??1?(2x?)∈?,1， ?，∴2x+6∈?,??.∴sin??62??66??2?∴-2asin(2x??6)∈［-2a,a］.∴f(x)∈［b,3a+b］,

又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. （2）由（1）知a=2,b=-5,∴（fx）=-4sin(2x??6?6))-1,g(x)=f(x??2)=-4sin(2x?7?6)-1=4sin(2x??6)-1.

又由lgg(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin(2x??6-1＞1,

5?6∴sin(2x?由2k?+

?6)＞

12?6,∴2k?+≤2k?+

?6?2＜2x+

?6＜2k?+,k∈Z.

??＜2x+(k∈Z),得g(x)的单调增区间为：?k?,k???????6?（k∈Z）

由2k?+

?2≤2x+

?6＜2k?+

5?6,得g(x)的单调减区间为?k???6,k?????（k∈Z）. 3?我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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§4.4 函数y=Asin(?x+?)的图像及三角函数

模型的简单应用

基础自测

?2)1.（20082天津理，3）设函数（fx）=sin(2x?，x∈R，则（fx）是 ( )

A.最小正周期为?的奇函数 B.最小正周期为?的偶函数 C.最小正周期为答案 B

2.（20082 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(?2x3?2)?2的奇函数 D.最小正周期为

?2的偶函数

(x∈[0,2?])的图像和直线y=

12的交点个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.4 答案 C

3.为了得到函数y=2sin?（ ） A.向左平移

?6?x?3????，x∈R的图像，只需把函数y=2sinx，x∈R的图像上所有的点

6?个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

?613倍（纵坐标不变）

13B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移

?6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

?6答案C 4.下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合是{?|?=

k?2,k∈Z}.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图像和函数y=x的图像有三个公共点. ④把函数y=3sin(2x+

?2?3)的图像向右平移

?6得到y=3sin2x的图像.

⑤函数y=sin(x-)在［0,?］上是减函数.

其中，真命题的序号是 . 答案 ①④

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5.已知函数f(x)=2sin?x(?＞0)在区间???????3,?4?上的最小值是-2，则?的最小值等于 .

答案

32

例1 已知函数y=2sin(2x??3),

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明y=2sin(2x??3)的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到. 的振幅A=2,周期T=

?3解 （1）y=2sin(2x?（2）令X=2x+

?3?3)2?2=?，初相?=

?3.

,则y=2sin(2x?)=2sinX.

列表，并描点画出图像：

x X y=sinX y=2sin(2x+

（3）方法一 把y=sinx的图像上所有的点向左平移y=sin(x??3)-?6 ?12 ?3 7?123?2 5?6 0 0 ) 0 ?2 ? 2? 0 0 1 2 0 0 -1 -2 ?3?3个单位，得到y=sin(x??3)的图像，再把

?3的图像上的点的横坐标缩短到原来的

?3)12倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x?)的图像，最

?3)后把y=sin(2x?上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin(2x?的图

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像.

方法二 将y=sinx的图像上每一点的横坐标x缩短为原来的再将y=sin2x的图像向左平移

?312倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图像；

?6个单位；

?3得到y=sin2(x?)=sin(2x??3)的图像；再将y=sin(2x??3)的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐

标伸长为原来的2倍，得到y=2sin(2x?)的图像.

例2 如图为y=Asin(?x+?)的图像的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点， 则A=-3，T=2(5?6??3)=?，

∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）. ∵点N(??6,0)，∴-

?632+?=0，∴?=

?3?3，

所求解析式为y=-3sin(2x?方法二 由图像知A=3， 以M(

?3

). ①

,0)

为第一个零点，P(5?6,0)为第二个零点.

???·???0??3列方程组???·5??????6????2? 解之得?2?.

????3?2?3∴所求解析式为y=3sin(2x?A2).

?2 ②

例3（12分）已知函数f(x)=其图像相邻

-

A2cos(2?x+2?) (A＞0, ?＞0,0＜?＜),且y=f(x)的最大值为2，

两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;

(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008). 解 （1）∵y=∴

A2A2-

A2cos(2?x+2?),且y=f(x)的最大值为2，A＞0,

+

A2=2,A=2.

又∵其图像相邻两对称轴间的距离为2,?＞0, ∴

12(2?2?)=2, ?=

?4.

2分

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∴f(x)=

22-

22cos(?2x?2?)=1-cos(?2?2x?2?).

∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos(

?2?2?)=-1.

?2? 4分

=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+

?2?4,k∈Z.

又∵0＜?＜

，∴?=

?4.

6分

?4(2)∵?=,∴f(x)=1-cos(?2x??2)=1+sin

?2x.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.

9分

又∵y=f(x)的周期为4，2 008=43502,

∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008.

12分

1.已知函数y=3sin(x?21?4)

（1）用五点法作出函数的图像；

（2）说明此图像是由y=sinx的图像经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图像的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：

x

12?2

32?

52?

7232?

92?

x?1?4

?40 0

?2

?

? 2?

3sin(x?2) 3 0 -3 0

描点、连线,如图所示：

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（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图像上所有点向右平移

?4个单位，得到y=sin(x??4)的图像；再把y=sin(x??4)的图像

上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y=sin(x?21?4)的图像，最后将

1y=sin(x?21?4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不

变），就得到y=3sin(x?2?4)的图像.

方法二 “先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=siny=sin

1212x的图像；再把

x图像上所有的点向右平移

12?2个单位，

x2得到y=sin(x-

?2)=sin(x2??4)的图像，最后将y=sin(1??4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的

3倍（横坐标不变），就得到y=3sin(x?22??4)的图像.

（3）周期T=

?=

2?12=4?，振幅A=3，初相是-

?4.

(4)令

12x??4=

?2+k?(k∈Z),

得x=2k?+令

1232?(k∈Z),此为对称轴方程.

x-

?4=k?(k∈Z)得x=

?2?2+2k?(k∈Z).

对称中心为(2k??,0) (k∈Z).

?22.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜

( )

?8x?,x∈R)的部分图像如图所示，则函数表达式为

A. y=-4sin(C. y=4sin(答案 B

?4) B. y=-4sin( D. y=4sin(?8x??8x??4)

?8x??4)?4)

3.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x(其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=

13时,f(x)取得最大值2.

（1）函数f(x)的表达式； （2）在闭区间??2123?,?上是否存在f(x)的对称轴? 如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. 44??22解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A?Bsin(?x??)

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由T=

2??=2知?=?，

又因为f(x)最大值为2，所以f（x）=2sin(?x+?). 由x=

13?6时f(x)max=2，得sin(.∴f(x)=2sin(?x??6?3)??)=1，

∴?=

?6.

（2）令?x+x=k+即

5912=k?+

?2(k∈Z)得对称轴方程为

21413，由对称轴满足

6512≤k+

13≤

234（k∈Z）

≤k≤且k∈Z，∴k=5.

故在?x=5+

?2123?上f(x）只有一条对称轴. ,?44??13=

163，即对称轴方程为x=

163.

一、选择题 1.

下

列

函

数

中

，

图

像

的

一

部

分

如

下

图

所

示

的

是

（ ）

A.y=sin(x??6) B. y=sin(2x?)?6)

C.y=cos(4x?答案 D

?3 D.y=cos(2x??6)2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos(2x?（ ） A.向左平移B.向右平移

5?12?3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像

个单位长度

5?12个单位长度

C.向左平移

5?6个单位长度

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D.向右平移

5?6个单位长度

答案A

3.（20082湖南理，6）函数f(x)=sin2x+（ ）

A.1 B.C.

323sinxcosx在区间?,?上的最大值是

?42?????1?23

D.1+3

答案 C

4.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 （ ）

A. f(0)=1 B. f(0)=0 C.f?(0)=1 D.f?(0)=0 答案 D 5.

函

数

y=3sin

(12x??3)的周期、振幅依次是

（ ）

A.4?，3 B.4?，-3 C. ?，3 D. ?，-3 答案 A 6.若函数（ ）

A.2或0 B.-2或2 C.0 D. -2或0 答案 B 二.填空题

7.（20082辽宁理，16）已知f(x)=sin(?x?无最大值，则?= . 答案

143f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f(?6?x)=f(?6?x)，则f()等于

6??3) (?＞0),f()=f(),且f(x)在区间(63????6,3)上有最小值，

8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 . 答案 2?-三、解答题

9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+的a值；若不存在，说明理由. 解 y=1-cos2x+acosx+

2212

58a-

32在闭区间?0,?????2?上的最大值是1？若存在，求出对应

58a-

32

a?a51??a? =??cosx???2?482?我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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当0≤x≤

a2?2时，0≤cosx≤1，

若＞1,即a＞2,则当cosx=1时

58a2?ymax=a+若0≤ymax=若

a2a-

32=1,∴a=

2013＜2(舍去).

a2≤1，即0≤a≤2,则当cosx=

5812时,

a24a?=1,∴a=

32或a=-4(舍去).

＜0,即a＜0时,则当cosx=0时,

5812ymax=

a?=1,∴a=

32125＞0(舍去).

综上所述,存在a=符合题设.

?610.已知函数f(x)=sin(?x+(1)求函数f(x)的值域；

)+sin(?x-

?6?x)-2cos2,x∈R(其中?＞0).

2

(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x),x∈(a,a+?］的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定，并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间. ?的值（不必证明）解 （1）f(x)=

?32sin?x?12cos?x?32sin?x?12cos?x?(cos?x?1)

=2?3?2???sin?x?1?cos?x?-1

?2?=2sin??x??????6? -1.

???6?由-1≤sin??x?≤1,得-3≤2sin??x??????6?-1≤1.

可知函数f(x)的值域为［-3，1］.

（2）由题设条件及三角函数图像和性质可知，y=f(x)的周期为?,又由?＞0,得于是有f(x)=2sin?2x???2??=?,即得?=2.

???-1, 6?再由2k?-

?2≤2x-

?6≤2k?+?3?2(k∈Z)，

解得k?-

?6≤x≤k?+(k∈Z).

??所以y=f(x)的单调增区间为?k???6,k????(k∈Z). 3???????????+2sin?x??2sin?x??.

4?4?3???11.（20082安徽理，17）已知函数f(x)=cos?2x???(1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程;

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(2)求函数f(x)在区间?????12,???2?上的值域.

解 （1）∵f（x）=cos?2x????????????+2sin?x??sin?x??

4?4?3???=

121212cos2x+

323232sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) sin2x+sinx-cosx

2

2

==

cos2x+cos2x+

sin2x-cos2x=sin?2x??????. 6?∴周期T=

2?2=?. ?2由2x??6=k?+(k∈Z),得x=

k?2k?2???3(k∈Z).

∴函数图像的对称轴方程为x=（2）∵x∈??????3(k∈Z).

???5??，∴2x?∈??,?. ?6?36??122??,??∵f(x)=sin?2x?∴当x=

????,?上单调递增，在区间?,?上单调递减， ?在区间??6??123??32??????????3时，f(x)取得最大值1,

又∵f??3???1＜f??=, ?=-212??2?2??∴当x=??12时，f(x)取得最小值-

32.

∴函数

????f(x)在??,??122??3?,1?. 上的值域为??2????1?t1?t12.（20082湖北理，16）已知函数f(t)=，g(x)=cosx2f(sinx)+sinx2f(cosx),x∈??,??17??. 12??（1）将函数g(x)化简成Asin(?x+?)+B(A＞0, ?＞０, ?∈［0，2?)）的形式； （2）求函数g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx2

1?sinx1?sinx+sinx2

21?cosx1?cosx

=cosx2

?1?sinx?2cos2+sinx2

(1?cosx)sin2

xx=cosx2

??1?sinxcosx+sinx2

1?cosxsinx.

∵x∈??,17??，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx. 12??我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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∴g(x)=cosx2

1?sinx?cosx??+sinx2

??1?cosx?sinx

=sinx+cosx-2=2sin?x?（2）由?＜x≤∵sint在?sin

5?3?5??4,?-2. 4?17?12，得

5?4＜x+

?4≤

5?3.

3???3?5??上为减函数，在,??上为增函数， 232????＜sin

5?4??,

∴sin

3?2≤sin?x???5??＜sin4?4?2???17??????x??,x?,即-1≤sin＜-, ??????1224??????∴-2-2≤

???2sin?x??-2＜-3,故g(x)的值域为［-4??2-2，-3）.

§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切

基础自测

1.

已

知

sin

?=

35,且

?∈

????,???2?，那么

sc2i?no?s2的值等于

( )

A.?34 B.?32 C.

34 D.

32

答案 B 2.

已

知

tan(

?+?)=3，tan(

?-?)=5，则tan2

?等于

( )

A.

18 B.-

18 C.

47 D.-

47

答案 D 3.

设

??(0,?2)，若s??i,53n则2cos(???4)等于

`（ ） A.

75 B.

15 C.-

75 D.-

15

答案 B

4.（20082山东理，5）已知cos????????6?+sin?=

453,则sin?????7???6?的值是

（ ） A. ?235 B.

235 C.?45

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D.

45

答案 C

5.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为 A.

?4

（ ）

B.

?2 C.?

D.2? 答案 C

例1 求［2sin50°+sin10°

2?(1+3tan10°)］22sin80的值.

解 原式=?2sin50??sin10???1????????3sin10?????cos10?????2sin80?

（2sin50??sin10??=

cos10??3sin10?cos10?）?2sin80?

??13cos10??sin10???2??=?2sin50??2sin10??2cos10???????2cos10?

=?2sin50????2sin10?sin40????2cos10?

cos10??2cos10??22sin60?=

2sin60?cos10??

=22?32?6.

例2 已知cos(??解 ??????2)??19,sin(?2??)?23,且

?2????,0????2,求cos???2的值.

???????????????2??22?,

∵∴

?2＜?＜?,0＜?＜＜?-???2，

?2?4?2＜?,-

?42＜

??-?＜

???2??4.

∴sin???cos??????2?=1?cos???2=

53459,

?????2?=1?sin?=cos????????????2?=

??.

??∴cos

???2???2?cos??????2?+sin????????75. ?sin????=272??2?我爱E课堂 中学资源仅在其中 http://www.52ekt.com

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例3 (12分)若sinA=

55,sinB=

101055,且A,B均为钝角,求A+B的值.

1010解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-2,sinB=，

，

25=-

255cosB=-1?sinB=-23=-

310，

1010 4分

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =??25????3????5102 ?5????310?10?-?5310=2

① 8分 又∵

?2＜A＜?, ?2＜B＜?, 10分

∴?＜A+B＜2?

②

由①②知，A+B=7?4.

12分

例4 化简sin2?2sin2?+cos2?cos2?-

12cos2?2cos2?.

解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin2?2sin2?+cos2?2cos2?-122(2cos2?-1)2(2cos2?-1)

=sin2?2sin2?+cos2?2cos2?-12(4cos2?2cos2?-2cos2?-2cos2?+1)

=sin2?2sin2?-cos2?2cos2?+cos2?+cos2?-12

=sin2?2sin2?+cos2?2sin2?+cos2?-12

=sin2?+cos2

?-

1112=1-

2=

2.

方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2?2sin2?+(1-sin2?)2cos2?-12cos2?2cos2?

=cos2?-sin2? (cos2?-sin2

?)-

12cos2?2cos2?

=cos2?-sin2

?2cos2?-

12cos2?2cos2?

=cos2

?-cos2?2??sin2??1?2cos2??

??我爱E课堂 中学资源仅在其中

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=

1?cos2?21?cos2?2-cos2?2?sin2??(1?2sin2?)?

2??-12?1?=cos2?=

12.

方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=

141?cos2?22

1?cos2?2+

1?cos2?22

141?cos2?2-

12cos2?2cos2?

12=(1+cos2?2cos2?-cos2?-cos2?)+

12(1+cos2?2cos2?+cos2?+cos2?)-2cos2?2co

s2?=.

方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

原式=(sin?2sin?-cos?2cos?)2+2sin?2sin?2cos?2cos?-=cos2(?+?)+=cos2(?+?)-121212cos2?2cos2?

sin2?2sin2?-2cos(2?+2?)

1212cos2?2cos2?

=cos2(?+?)-

2［2cos2(?+?)-1］=

12.

1.不查表求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值. 解 sin220°+cos280°+3sin20°cos80° =

12(1-cos40°)+

12121212(1+cos160°)+ 3sin20°cos80°

=1-=1-

cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

12cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°

sin20°) =1-=1-1234cos40°-cos40°-

1434cos40°-

34sin40°+

1434sin40°-

32sin220°

(1-cos40°）=

??.

2.求值：（1）已知cos?????4???????5?,且＜?＜?,0＜?＜,求cos的值； ? =-,sin????=

2?2521322??1114（2）已知tan?=43,cos(?+?)=-, ?、?均为锐角，求cos?的值.

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解 （1）????????????2?+????2? =

, ???2∵

??2＜?＜?,0＜?＜2.

∴?????,???,???∈??4?2???2∈?,???24? ?∴sin???????2?=1?cos2(?3???2)=5, cos??????2?12?2?=1?sin(??, ?2)?13∴cos

????2=cos?(???(????2)?2)??

?=cos???2?cos??????????????????2?-sin????2?sin?????2?

??=(?4)12553

13-

133

35=-

6365.

(2)∵tan?=43,且?为锐角， ∴

sin?43cos??,即sin?=43cos?,

又∵sin2?+cos2?=1, ∴sin?=

4317,cos?=

7.

∵0＜?,?＜?2,∴0＜?+?＜?,

∴sin(?+?)=1?cos2(???)=5314.

而?=(?+?)-?,

∴cos?=cos［（?+?）-?］

=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin? =???11??53431?143

1?7+

143

7=

2.

3.在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2

A?C2-cos2B=

72,求角B的度数.

解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2

A?C2-cos2B=

72,

得42

1?cos(A?C)2B+1=

72-2cos2,

所以4cos2

B-4cosB+1=0. 于是cosB=

12,B=60°.

4.化简：（1）2sin????x??+6cos?4?????x??;

?4?我爱E课堂 中学资源仅在其中

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(2）

2cos2??1?2???????4????2tan????sin?4?.

解 （1）原式=22?sin?2???13??????x???cos??x??

2?4??4?????=22?sin???????????sin??x??coscos??x??66?4??4???

=22cos?（2）原式=

???6???x?=24?2cos(x-

?12).

cos2?cos2?1?sin2?(1?sin2?)cos2?1?tan?????1?cos??2?1?tan???2??????==1.

一、选择题 1.已知tan(?+?)=

A.C.

32225,tan????????4?=

14,那么tan ????????4?等于

（ ）

1318 B.

161322

D.

答案 C

2.sin163°2sin223°+sin253°2sin313°等于

A.?C. ?32

（ ）

12 B.

3212

D.

答案 B 3.(2008

2

长

沙

模

拟

)

已

知

x?(??2,0),cxo?45s,则tan2x等于

（ ）

A.?C.

724247 B. ?247724

D.

答案 A 4.已

知

cos2

?=

12（其中?∈

???,0????4?），则sin?的值为

（ ）

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A.C.

3212 B.-3212

D.-

答案 B 5.

（ ）

A.-3(cos?12?sin?12)(cos?12?sin?12)等于

B.-1

2

C.12 D.

32

答案 D

2sin2xf(x)=2tanx-2?16.若，则f????的值为 sinxcosx?12??22 （ ） A.-433 C.43 D.-43 答案 B 二、填空题

7.（20082上海理，6）函数f(x)=3sinx+sin????x??的最大值是 .

?2?答案 2 8.求值：cos4?4

3?5?8+cos8+cos4

8+cos4

7?8= .

答案

32

三、解答题 9.已知tan?=

17,tan?=

13,并且?,?均为锐角，求?+2?的值.

解 ∵tan?=17＜1,tan?=13＜1,

且?、?均为锐角， ∴0＜?＜

??4,0＜?＜

4.

∴0＜?+2?＜3?4. 又tan2?=

2tan?=

31?tan2,

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