数理统计期末重点知识

数理统计期末重点知识

期末考试重点

目录

5.3 统计量及其分布 ................................................................................................................ 1 5.4 三大抽样分布 .................................................................................................................... 2

内容概要 ........................................................................................................................... 2 §6.1 点估计的几种方式 ........................................................................................................ 6 § 6.2 点估计的评价标准 ..................................................................................................... 11

内容概要 ......................................................................................................................... 11 §7.1 假设检验的基本思想 .................................................................................................... 19

内容概要 ......................................................................................................................... 19 §正态总体参数假设检验 ....................................................................................................... 26

5.3统计量及其分布

样本方差与样本标准差样本方差有两个,样本方差s*2与样本无偏方差s*2

1s=

n*2

1s?,(x?x)?in?1i?1?22n?(xi?1ni?x)2。

?实际中常用的是无偏样本方差s2,这是因为：当?2为总体方差时,总有

E(s?2)=

n?12?, E(s2)??2. ns2的计算有如下三个公式可供选用：

(?xi)211122s=(x?x)?[x?]?[?xi2?nx2]. ??iin?1n?1nn?12在分组样本场合,样本方差的近似计算公式为

1k1k2s?fixi?nx], ?fi(xi?x)?n?1[?n?1i?1i?121．从指数总体exp(1/?)中抽取了40个样品,试求x的渐进分布N(?,? 40)2．设x1,?x25是从均匀分布U(0,5)抽取的样本,试求样本均值x的渐进分布N?,3. 设x1,?,x

2?51??.

?212?20是从二点分布b(1,p)抽取得样本,试求样本均值x的渐近线分布

?p(1?p)?N?p,?

20??4.设x1,?,x16是来自N?8,4?的样本,试求下列概率（1）P(x(16)?10)； （2）P(x(1)?5). 解:（1） P(x(16)?10)?1?P(x(16)?10)?1?(P(x1?10))

10??10?8??16?1???????1?0.8413?0.9370,

??0??（2 ）P(x(1)?5)??P(x1?5)?

1616??5?8????1?????1.5??????0.3308. ????2???16165.4 三大抽样分布

内容概要

1. 三大抽样分布：?2分步，F分布，t分布

设x1,x2,?,xn和y1,y2,?,yn是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布人员下表所示

统计量的构造抽样分布密度函数p(y)??(n1y2e2I{y?0})2n/22n?1期望n方差2n?2?x12?x22???xn2?y22?n)m?1m?n(y12?y22???ym)/mn2n(m?n?2) ?(m2?m/2mm22F?22p(y)?()y(1?y)I(n?2){y?0}n2?(m)?(n)n22(x1?x2???xn)/nn?2m(n?2)2(n?4)t?y12(x12?x2???xn2)/np(y)??1)?(n212(1?nny)n??()2?1?n20(n?1)n(n?2)n?2今后正态总体参数的置信区间与假设检验大多数将基于这三大抽样分布 2. 一个重要的定理

设x1,x2,?,xn是来正态总体N(?,?2)的的样本,其样本均值与样本方差分别为

1n1x??xi和s2?(xi?x)2, ?ni?1n?1则有（1）x与s相互独立；（2）x~

3. 一些重要推论

（1）设x1,?,xn是来自正态总体N(?,?2)的样本,则有t?其中x为样本均值,为样本标准差.

（2）设x1,?,xm是来自N(?1,?1)的样本,y1,?,yn是来自N(?2,?2)的样本,且此两样本相互独立,则有F?22222（3）N(?,?/n)；

2(n?1)?s2?2~?2(n?1).

n(x??)~t(n?1), ssx?1sy2222?2~F(m?1,n?1),

22其中sx,sy分别是两个样本方差.若?1??2,则

F?sx

22sy~F(m?1,n?1).

1. 在总体N(7.6,4)中抽取容量为n的样本,如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95,则至少为多少？

解：样本均值x~N(7.6,),从而按题意可建立如下不等式

4nP(5.6?x?9.6)?P(5.6?7.64n?x?7.64n?9.6?7.64n)?0.95,

n?1.96或

即2?(n)?1?0.95,所以?(n)?0.975,查表,?(1.96)?0.975,故

n?3.84,即样本量n至少为4.

2．设x1,?,xn是来自N(?,25)的样本,问n多大时才能使得P(|x??|?1)?0.95成立？

解：样本均值x~N(?,25),因而 n?x??P(|x??|?1)?P?||??25n?1??2?(n5)?1?0.95, ??25n?所以?(n5)?0.975,n5?1.96,这给出n?96.04,即n至少为97时,上述概率不等式才成立.

.设x1,?,x16是来自N(?,?2)的样本,经计算x?9,s2?5.32,试求P(|x??|?0.6).

|x??|解：因为

n(x??)?s?(n?1)s2n(n?1)~t(n?1),用t15(x)表示服从t(15)的随机变

?2量的分布函数,注意到t分布是对称的,故

P(|x??|?0.6)?P(4|x??|4?0.6?)?2t15(1.0405)?1. ss统计软件可计算上式.譬如,使用MATLAB软件在命令行输入tcdf(1.0405,15)则给出0.8427,直接输入2* tcdf(1.0405,15)-1则给出0.6854.这里的tcdf(x,k)就是表示自由度为可 k的t分布在x处的分布函数，于是有

P(|x??|?0.6)?2?0.8427?1?0.6854.

3.设x1,?,xn是来自?(?,1)的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的??0,有

?(|x|?c)??.

解：由于x~?(?,),所以?(|x|?c)的值依赖于?,它是?的函数,记为g(?),于是

1ng(?)???(|x|?c)??(?c?x?c)??(n(?c??))??(n(?c??)),

其导函数为g'(?)??n[?(n(c??))??(n(?c??))],其中?(x)表示?(0,1)的密度函数,由于c?0,??0,故?c???c??,从而?(n(?c??))??(n(c??)),这说明g'(?)?0,g(?)为减函数,并在??0处取得最大值,即

max{?(n(c??))??(n(?c??))}??(nc)??(?nc)?2?(nc)?1.

??0于是,只要2?(nc)?1??,即(0?)c?u(1??)/2/n就可保证对任意的??0,有

?(|x|?c)??.最大的常数为c?u(1??)/2/n.

?x1?x2?4．设x1,x2是来自N(0,?2)的样本,试求Y???x?x??的分布.

2??1解：由条件,x1?x2~N(0,2?2),x1?x2~N(0,2?2),故

2?x1?x2??x1?x2?2~?(1),????~?2(1),

?2???2??又Cov(x1?x2,x1?x2)?Var(x1)?Var(x2)?0,且x1?x2与x1?x2服从二元正态分布,

22?x1?x2?((x1?x2)/2?)2故x1?x2与x1?x2独立,于是Y???x?x???((x?x)/2?)2~F(1,1).

2??1125.设总体为N(0,1),x1,x2为样本,试求常数k,使得

2??(x1?x2)2????k?22??0.05. (x?x)?(x?x)212?1??x1?x2?(x1?x2)2Y?~F(1,1),z??, 解：由上题,Y??22?x?x?1?Y(x1?x2)?(x1?x2)2??1由于Z的取值与（0,1）,故由题目所给要求有0

2YkP(Z?k)?P(?k)?P(Y?)?0.05.

1?Y1?kk161.45?F0.95(1,1)?161.45,这给出k??0.9938. 于是

1?k1?161.45

6．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为

S2s12,s2,试求p(S12?2).

22解不妨设正太总体的方差为?,则有

214s12?2~?(14),2219s2?2~?2(19),于是

s12F?2~F(14,19).

s222利用统计软件计算可算出P(s1s2?2)?P(F?2)?0.0798.譬如,可使用MATLAB软

件计算上式：在命令行输入1-fcdf（2,14,19）则给出0.0798,这里的fcdf(x,k1,k2)就表示

(k1,k2)自由度为的F分布在x处的分布函数。

7．设(x1?x17)是来自正态分布N(?,?)的一个样本,x与s2分别是样本均值与样本方差。求k,使得p(x???ks)?0.95,

_2_解：在正态总体下,总有

n(x??)~t(n?1),所以 s__??n(x??)P(x???ks)?P??kn??0.95,

??s??__即P(n(x??)?kn)?0.05,故kn是自由度是n-1的t分布t（n-1）的0.05分倍数,s即kn?t0.05(n?1),如今n=17,查表知t0.05(16)??1.7459,从而k?

?1.745917??0.4234.

§6.1 点估计的几种方式

1．设总体密度函数如下,

x1,?,xn是样本,试求未知参数的矩估计

(1)p(x;?)?(??x),0?x??,??0;?2(2)p(x;?)?(??1)x?,0?x?1,??0;(3)p(x;?)??x(4)p(x;?,?)?1??1?2,0?x?1,??0;,x??,??0.

x???e?解：(1) 总体均值E(X)=

??20?x(??x)dx?22?2??01(?x?x2)dx??,即即??3E(X),

3??3x. 故参数?的矩估计为?(2)总体均值E(X)=

?10x(??1)x?dx=

1?2E(X)??1,所以??,从而参数?的矩估计??2E(X)?1???1?2x. x?1?E(X)???1dx=(3)由E(X)=?x?x可得????1?E(X)??,由此,参数?的矩估计0??1??1?2x???????.

?1?x?(4)先计算总体均值与方差

E(X)=

2????xe1?x????dx=?te?dt+?0??1?t??1?0??e?dt=???

?t?tE(X2)=?x2???1?1e?x???dx=?(t??)20????1?e?dt

??=

???0t2?e?dt+?2?te?dt+??0?t1?t21?0?e?dt=2?2?2????2.

?tVar(X)=E(X)?(E(X))=?

由此可以推出??Var(X),??E(X)?Var(X),从而参数?,?的矩估计为

222??s,???x?s. ?

2．设总体概率函数如下,x1,?,xn是样本,试求未知参数得最大似然估计. (1)p(x;?)??x??1,0?x?1,??0;

(2)p(x;?)??c?x?(??1),x?c,c?0已知,?>1

n解 (1)似然函数为L（?）=（?）(x1,?,xn)?-1,其对数似然函数为

lnL(?)?nln??(??1)(lnx1???lnxn) 2将lnL(?)关于?求导并令其为0即得到似然方程

?lnL(?)n1??(lnx1???lnxn)?0 ??2?2???(1lnx)?2 解之得??ini?12?lnL(?)?n?lnxi?(?lnx)由于??????2232?4n??2?4?????i3??4n?0

所以??是?的最大似然估计.

(2)似然函数为L(?)??ncn?(x1?xn)?(??1),其对数似然函数为

lnL(?)?nln??n?lnc?(??1)(lnx1??lnxn)

解之可得

n1???(?Lnxi?Inc)?1

ni?1?2InL(?)?n?2?0,这说明??是?的最大似然估计. 由于

???3．设总体概率函数如下,x1,?,xn是样本,试求未知参数的最大似然估计. (1)p(x;?)?c?x(2p(x;?,?)?c?(c?1),x??,??0,c?0已知；

,x??,??0;

?11?e?x???(3)p(x;?)?(k?)(k?),??x?(k?1)?,??0

解：(1)样本x1,?,xn的似然函数为

L(?)?cn?nc(x1?xn)?(c?1)I?x(1)??}

要使L(?)达到最大,首先示性函数应为1,其次是?nc尽可能大.由于c>0,故?nc是?的单调增函数,所以?的取值应尽可能大,但示性函数的存在决定了?的取值不能大于x(1),由此给出的?最大似然估计为x(1)

?1n?(2)此处的似然函数为L(?)?()exp???(xi??)?,x(1)??

???i?1?1n其对数似然函数为lnL(?,?)??nln???(x??)ii?1n?

由于

?lnL(?,?)n???0

???所以,lnL(?,?)是?的单调增函数,要使其最大,?的取值应该尽可能的大,由于限制

??x(1). ??x(1),这给出?的最大似然估计为?将lnL(?,?)关于?求导并令其为0得到关于?的似然方程

(xi??)?lnL(?,?)n????i?12?0 ,

?????)?(x??ii?1nn??解之得?n??x(1). ?x(3)似然函数为

L(?)?(k?)?nI???x?n(1)?x(n)?(k?1)??.

由于L????(k?)是关于?的单调递减函数,要使L???达到最大,?应尽可能小,但由限制???x(1)?x(n)?(k?1)??可以得到

x(n)k?1???x(1),这说明?不能小于

x(n)k?1,因而?的最大似然估

??计为?x(n)k?1.

4．设总体概率函数如下,x1,?,xn是样本,试求未知参数的最大似然估计. (1)p?x;???12?e?x/?,??0；

(2)p?x;???1,??1/2?x???1/2； (3)p?x;?1,?2??1,??x??2.

?2??11n?1?解：(1)不难写出似然函数为L???????2??nie.

?i?1?xi?n.

对数似然函数为 lnL?????nln2???|x|i?1?|xi|?lnL????n???i?12?0, 将之关于?求导并令其为0得到似然方程

????n解之可得 而：

????|x|ii?1nn.

?2lnL(?)?n2?|xi|?n????2?2?2(?|x|)????????2??i2?0,

故??是?的最大似然估计

(2) 此处的似然函数为L????I?11?????x(1)?x(n)????2??2.

它只有两个取值：0和1,为使得似然函数取1,?的取值范围应是x(n)?11???x(1)?,因而2211?的最大似然估计??可取(x(n)?,x(1)?)中的任意值.

22(3) 由条件,似然函数为

3．设x1,?,xn是来自二点分布b(1,p)的一个样本, (1) 寻求p2的无偏估计； (2) 寻求p(1?p)的无偏估计；

(3) 证明

1的无偏估计不存在. p解：(1)x是p的最大似然估计,x2是p2的最大似然估计,但不是p2的无偏估计,这是因为

E(x2)?Var(x)?[E(X)]2?由此可见p2?p(1?p)pn?12?p2??p?p2, nnn?n?2x?2是的无偏估计. x?p??n?1?n?(2)x(1?x)?x?x2是p(1?p)的最大似然估计,但不是p(1?p)无偏估计,这是因为

E(x?x2)?p?(p(1?p)n?1n?p2)?p(1?p)?p(1?p),由此可见x(1?x)是nnn?1p(p-1)的一个无偏估计,

1（3）反证法，倘若g(x1,L,xn)是的无偏估计，则有

px1,?xn?g(x1,?xn)p?nn?i?1nxin?(1?p)?xii?1n?1 p或者

x1?xn?g(x,?x1n)pi?1xi?1n?(1?p)?xii?1?1?0

上式是p的n+1次方程,它最多有n+1个实根,而p可在(0,1)取无穷多个值,所以不论取什么形式都不能使上述方程在0

1的无偏估计不存在. p参数 枢轴量 置信区间 ?已知 u?x??~N(0,1) ?/n[x?u1?a/2?/n,x?u1?a/2?/n] ? ?未知 u?x??~t(n?1) s/n[x?t1?a/2s/n,x?t1?a/2s/n] n?n22?(x??)(x??)?i??i?i?1i?1?2? ,2?a/2(n)???1?a/2(n)?????已知 ?2 ??21?2?(x??)ii?1n2~?2(n) ?未知 ?2?(n?1)s2?2~?2(n?1) ?(n?1)s2(n?1)s2?,2?2? ?(n?1)?(n?1)a/2?1?a/2??已知 ? ??21?2?(x??)ii?1n2~?2(n) ???????(xi??)(xi??)???i?1? ,i?122?1?a/2(n)?a/2(n)???n2n2?未知 ??2(n?1)s2?2枢轴量 ~?(n?1) 2?(n?1)s?n?1s?? ,22???1?a/2(n?1)?a/2(n?1)??置信区间 参数 22?1与?2已知 ?12与?22未知,但 均值差?1-?2, ?22/?12=?已知 T?T?U?x?y?(?1??2)?12m~N(0,1)?2?2 nx?y?u1?a/2?12m2?2 ?n?12=?22 x?y?(?1??2) ~t(m?n?2)11sw?mnx?y?t1?a/2(m?n?2)sw其中sw?11 ?mn 22(m?1)sx?(n?1)sym?n?2x?y?(?1??2) ~t(m?n?2)1?st?mnx?y?t1?a/2(m?n?2)st其中st?1? ?mn 22(m?1)sx?(n?1)sy/?m?n?22ssx?y mn2m,n都很大时 U?x?y?(?1??2)ss?mn2x2y ~?N(0,1)x?y?u1?a/2一般场合 U?x?y?(?1??2)ss?mn2xm2y1 ~t(l)?22sysxx?y?t1?a/2(l)? mn11?m?2(x??)2?(xi??)2?(xi??)2?2m?i?2~F(m,n) ?in?1?F1?a/21(m,n),in?1?Fa/2(1m,n)? ?1，?2已知 F?in?111?1?(y??)2?1(y??)2(y??)2n?i方差比n?in?ii?1i?1?i?1?1mmm?12/?22 ?1，?2 之一未知 22sx?2F?2?2~F(m?1,n?1) sy?12sx11?sx2? ?,2F1?a/2(m?1,n?1)s2?Fa/2(m?1,n?1)?s?y?y?3．0.50,1.25,0.80,2.00是取自总体X的样本,已知Y=lnX服从正态分布N(?,1). (1) 求?的置信水平为95%的置信区间；

(2) 求X的数学期望的置信水平为95%的置信区间.

解 (1) 将数据进行对数交换,得到Y=lnX的样本值为:-0.6931,0.2231,-0.2231,0.6931.它可看作是来自正态分布N(?,1)的样本,其样本均值为y=0,由于?=1已知,因此,?的置信水平为95%的置信区间为: y?u1??/2/n,y?u1??/2/n=[-0.9800,0.9800].

(2) 由于EX=e??12??是?的严增函数,利用(1)的结果,可算得X的数学期望的置信水平为95%

0.98?0.5的置信区间为[e?0.98?0.5,e]=[0.6188,4.3929].

4．用一个仪表测量某一物理量9次,得样本均值x=56.32,样本标准差s=0.22.

(1) 测量标准差?大小反映了测量仪表的精度,试求?的置信水平为0.95的置信区间； (2) 求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间.

2解 (1)此处(n-1)s=8×0.22=0.3872,查表知?0.025(8)=2.1797,?0.975(8)=17.5345,?的

22221-?置信区间为

?(n?1)s2(n?1)s2??0.38720.3872?,,?=???=[0.0221,0.776] ?(n?1)17.53452.1797?(n?1)??/2???1??/2从而?的置信水平为0.95的置信区间[0.1487,0.4215].

(2) 当?未知时,?的1-?置信区间为

[x?t1??/2(n?1)s/n,x?t1??/2(n?1)s/n].

22ssyx1

注：这里s0??mn2s0,l为最接近于

ss?m2(m?1)n2(n?1)4x4y的整数

查表得t1?0.005(8)=3.3554,因而?的置信水平为0.99的置信区间为

[56.32-3.3554×0.22/9,56.32+3.3554×0.22/9]=[56.0739,56.5661].

§7.1 假设检验的基本思想

内容概要

1. 假设

参数空间?={?}的非空子集或有关参数?的命题，称为统计假设，简称假设。 原假设，根据需要而设立的假设，常记为H0 : ???o.

备择假设，在原假设被拒绝后而采用(接受)的假设，常记为H1 : ???1. 2. 检验 个结果：

“原假设不正确”，称为拒绝原假设，或称检验显著； “原假设正确”，称为接受原假设，或称检验不显著 3. 检验问题

由原假H0和备择假设H1组成的一个需要作判断的问题称为检验问题。 参数检验问题，两个假设都是由有关参数的命题组成的检验问题； 非参数检验问题，两个假设都是由有关分布的命题组成的检验问题。 常用的参数的假设检验问题有如下三种，其中?0是已知常数

(1) H0 :???o vs (2) H0 :???o vs (3) H0 :?= ?o vs

H 1 : ?>?o H 1 : ?

对原假设H0 : ???o.作出判断的法则称为检验法则，简称检验。检验有两

其中(1)与(2)又称单侧检验问题，因为一个假设位于另一个假设的一侧，(3)称为双侧检验问题，因为备择假设位于原假设的两侧。

4. 两类错误及其发生的错误

原假设H0正确，但被拒绝，这种判断错误称为第一类错误，其发生概率称为犯第一类错误的概率，或称拒真概率，常记为?；

原假设H0不真，但被接受，这种判断错误称为第二类错误，其发生概率称为犯第二类错误的概率，或称受伪概率，常记为?.

5．假设检验的基本步骤

(1)建立假设.根据要求建立原建设H0和备择假设H1. (2)选择检验统计量，给出拒绝域W的形式.

?用于对原假设H0作出判断的统计量称为检验统计量；

?使原假设被拒绝的样本观察值所在区域称为拒绝域，常用W表示；

反之，一个检验法则唯一确定一个拒绝域W. ?一个拒绝域W唯一确定一个检验法则，

(3) 选择显著性水平?(0???1).只控制犯第一类错误的概率不超过?的检验称为水平为?的检验，或称为显著性检验，但也不能使?过小(?过小会导致?增大)，在适当控制?中制约?，最常用的??0.05，有时也选择??0.10.或者??0.01.

(4) 给出拒绝域.由概率等式P(W)??确定具体的拒绝域. (5) 作出判断.

?当样本(x1,...,xn)?W,则拒绝H0,即接受H1; ?当样本(x1,...,xn)?W,则接受H0.

6.势函数设检验问题H0:???0 vs H1?:??1的拒绝域为W,则样本观测值

x1,?,xn落在拒绝域W内的概率称为该检验的势函数,记为

g(?)?P?((x1,...,xn)?W),???0??1

由势函数g(?)容易得到犯两类错误的概率

??(?),???0, g(?)???1??(?),???1.

1. 设x1,...,xn是来自N(?,1)的样本,考虑如下假设检验问题

H0:??2vsH1:??3,

若检验由拒绝域W?x?2.6确定.

(1) 当n?20时求检验犯两类错误的概率；

(2) 如果要使得检验犯第二类错误的概率??0.01,n最小应取多少？ (3) 证明：当n???时，??0,??0. 解：(1) 由定义知，犯第一类错误的概率为

????P(x?2.6|H0)?P??x?22.6?2???1??(2.68)?0.0037?,

?120?120??这是因为在H0成立下，x~N(2,120).而犯第二类错误的概率为

?x?32.6?3???P(x?2.6|H1)?P????(?1.79)?1??(1.79)?0.0367 ??120?120??这是因为在H1成立下，x~N(3,1/20)

(2) 若使犯第二类错误的概率满足

?x?32.6?3???P(x?2.6|H1)?P???0.01 ??120?120??即1????0.4?0.或?4??0.01，

?1/n??n909.??n?33.93，，查表得：因此，0.4n?2.33，

即n最小应取34,才能使检验犯第二类错误的概率??0.01,n

(3) 在样本量为n时，检验犯第一类错误的概率为

??P(x?2.6|H0)?P?检验犯第二类错误的概率

?x?22.6?2???1??(0.6n)?0(n??), ??1n?1/n???x?32.6?3???P(x?2.6|H1)?P????(?0.4n)?0(n??) ??1n?1n??

注：从这个例子可以看出，要使检验犯两类错误的概率都趋于零，必须样本容量无限增

大才行，这一结论在一般场合仍然成立。但是在实际中，样本容量很大往往不可行，故在一

般情况下不可能做到犯两类错误的概率都很小。

2. 设x1,x2,?,x10是来自0-1总体B(0,1)的样本，考虑如下检验问题：

H0: p=0.2

vs H0: p=0.4

取拒绝域W?{x?0.5}，求该检验犯两类错误的概率。

解：x1,x2,?,x10～B(0,1),则10x~B(10,p)，于是犯两类错误的概率分别为：

1??P(x?0.5|H0)?P(10x?5|H0)???10k??5?k?510k??410?k5?0.0328,

检验犯第二类错误的概率

2??P(x?0.5|H1)?P(10x?5|H1)???10k??5?k?04k3?5?10?k?0.6331.

讨论：这里?=0。0328已经很小了，但是?=6331却很大，在样本容量n=10固定下，要

使?变小，则?就会变大。为了进一步说明这一点，我们试着改变拒绝域为W?{x?0.6},则这时检验犯两类错误的概率分别为

??P(x?0.6|H0)?P(10x?6|H0)??k?610?10??1??4???k???5??5???????k10?k

?10??1??4? =0.0328-??5???5??5?=0.0328-0.0264=0.0064,

???????10??2??3???P(x?0.6H1)?P(10x?6H1)????????k?0?k??5??5?555k10?k55?10??2??3??0.6331????????0.6331?0.2007?0.8338.?5??5??5?

这一现象在一般场合也是对的，即在样本量n固定下，减小?必导致增大?，减小?也

必导致增大?.

3．设x1,x2,?,x16是来自正态总体N(?,4)的样本，考虑检验问提H0: ?= 6 vsH0: ?? 6 拒绝域取为W?{|x?6|?c},试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求检验在?=6.5处犯第二类错误的概率。

解：在H0为真的条件下，x~N(6,1/4)，因而由

c??x?6P(|x?6|?c|??6)?0.05,?P????1??(2c)?0.025

?0.50.5? ??(2c)?0.975?2c?1.96?c?0.98

即当c=0.98时，检验的显著性水平为0.05

检验在?=6.5处犯第二类错误的概率为

??P(|x?6|?0.98|??6.5)?P(?2?1.48?x?6.5?2?0.48) 0.5??(0.96)??(?2.96)??(0.96)??(2.69)?1?0.83. 4.设总体为均匀分布u(0,?),x1,x2,?,xn是样本，考虑检验问题H0:??3 vs H1:??3,

拒绝域取为W?x?n??2.5,求检验犯第一类错误的最大植?。若要使的该最大植?不超过0.05， n至少应取多大???nxn?1,0?x??,?解：均匀分布U(0,?)的最大次序统计量fn?x????n，因而检验犯第一

?0，其他?类错误的概率为

?????P(x?n??2.5H0)??2.50?2.5?nndx???, ????nxn?1n?2.5?它是?的严减函数，故其最大值在?=3处达到，即????3????.

3??若要使得??3??0.05,则要求nln(2.5/3)?ln0.05,这给出n?16.43，即n至少为17.

5.设总体密度函数为f?x???1???x,0?x?1,??0.为检验

?H0:??1 VS H1:??1,

现观测1个样本，并取拒绝域为W={x?0.5},试求检验的势函数以及检验两类错误的概率。

解：由定义，检验的势函数g???是检验拒绝原假设的概率，为

???1g(?)?P。 0(x?0.5)=?0?1???xdx?0.50.5

1?1当??1时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为??0.5?0.25;

当??0时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它是?的函数，为

?????1?0.5??1,0???1,即????在0.5与0.75间变动。

9.设x1,?,xn是来自U(0，?)的一个样本，对如下的检验问题

H0:??11 VS H1:??, 22已给出拒绝域W?x?n??C,其中x?n?为样本的最大次序统计量。

(1) 求此检验的势函数；

(2) 若要求检验犯第一类错误的概率不超过0.05(即????0.05?)，如何确定C? (3) 若在(2)的要求下进一步要求检验??

??3

处犯第二类错误的概率不超过0.02(即4

????0.02?)，n至少要取多少？

(4) 如今n?20,x?20??0.48,对此检验问题作出判断。 解：(1)此检验的势函数为

g????Px?n??c?1?Px?n??c?1?P?x1?c,x2?c,?,xn?c??0,当??c,????c?n,?1???当??c.??n?可见，在??c时，势函数g???是?的严增函数

(2)在H0成立下，犯第一类错误的概率为?????g???，故由题意知，应有

????1?c?g????1????0..05,??.

2???由于g???在??

n1?1?n处达到最大值，故只要使g???1??2c??0..05,即可实现，由此解出2?2?c?1?0.95?1n.譬如，在n=5时，c=0.4873;n=10时,c=0.4974。 2(3)在备择假设H1成立下，犯第二类错误的概率为

1?c?g????1?g??????,??.

2?n?31c由题意知，要求在??处有?(?)?0.02,即()n?0.02,若把(2)中的c?(0.95)n代入，

3424可得n?1nln95?ln2?9.52

ln3?ln2

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