第08讲 实际问题与一元一次方程（教师版）

第08讲 实际问题与一元一次方程

（教师版）

考点·方法·破译

1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型? 2．熟练掌握运用方程解决实际问题?

经典·考题·赏析

【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内还价？

【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝

商品利润；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）

商品进价800 3解：设原进价为x元，根据题意得

① 当利润为50%时：（1+50%)x＝400 解得x＝

② 当利润为100%时：（1+100%)x＝400 解得x＝200 所以：

800×（1+20%）＝320（元） 200×（1+20%）＝240（元） 3答：应在240～320元范围内还价? 【变式题组】 01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一

次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折?王波两次购物分别付款80元、252元?如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ）

A．288元 B．322元

C．288或316元 D．332或363元 02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元?为了扩大

销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于（ ）

A．1 B．1.8 C．28 D．29 03．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，

则标价为（ ）

A．26元 B．27元 C．28元 D．29元 【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？

【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费?

解：设中型车辆有x辆，则小型车辆有(50－x)辆，根据题意得6x+4(50－x)＝230，解

得x＝15 50－x＝35

答：中小型车辆分别是15辆、35辆? 【变式题组】

01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,

则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ） A．144 人 B．72人 C．48 人 D．36人 02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响

应,实际赠书3780册 其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？

03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他

买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ） A．1支 B．2支 C． 3支 D．4支

【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、

天津间单程直达运行的时间为半小时?某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同?如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系

解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米

根据题意得

30?61x?（x+40） 602解得x＝200

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米? 【变式题组】 01．(长沙) 汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时

50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（ ） A．10千米 B．20千米 C．40千米 D．50千米 02．(南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价5元，（即路程不超过3km的车费为5元），

3km后每千米收费1.2元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是（ ） A．8km B．9km C．6km D．10km 03．(南宁) 小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地二人都均速前进，已

知二人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，二人又相距36km，求A、B两地间的路程?

【例４】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40 m2墙面?每名一级技工比二级技工一天多粉刷10 m2墙面，

求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？

【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1?

解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10) m2的墙面.

根据题意得

3x?505(x?10)?40＝ 810解得x＝122 则x－10＝122－10＝112

答：每一名一级技工一天刷122m2的墙面，则每名二级技工一天刷112 m2的墙面. 【变式题组】

01．(随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长

20%，则两年后城市绿化面积是原来的（ ） A．1.2倍 B．1.4倍 C．1.44倍 D．1.8倍

02．(天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独

22/3要同时开甲、乙两龙的时间（ ） 3848A．小时 B．小时 C．4小时 D．小时

335开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的

03．(乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？

【例５】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总积分为18分，问：该队战平了几场？

【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程?

解：设该队负x场，则胜(x+2)场，平的场数为11－x－(x+2)＝ (9－2x)场 根据题意得3(x+2)+1x(9－2x)＝18 解得x＝3 ∴9－2x＝9－2×3＝3 答：该队战平了3场. 【变式题组】

01．(长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球

队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了（ ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场

02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球

少4个，则他投进了几个3分球和几个2分球？

【例６】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元?

当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜

进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工.

方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售. 方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.

你认为选择哪种获利多？为什么？

【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解?

解：对方案一：获利为4500X140＝630000(元)

对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利7500X90+1000X50＝725000(元)

对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得 解得x＝60 140－x＝140－60＝80

故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三 【变式题组】

01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一辆

摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过3小时?

02.A市和B市分别有某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A

市调一台到C市和D市的运输费分别为400元和800元；已知从B市调一台到C市和D市的运输费分别为300元和500元?问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？

【例７】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？

【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比?

解：设站点每隔x分钟开出一辆 根据题意，得

x?412?x?，解得x＝6 412答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆?

【变式题组】 01．（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x米，以等速前进，它进入300米的隧道经历

了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x.

02．（武汉选拔赛）若关于x的方程||x－2|－1|＝a有三个整数解，则a的值为（ ）

A． 0 B． 2 C．1 D．3 3．（第16届江苏竞赛）如果|x－2|+x－2＝0,那么x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2

演练巩固·反馈提高

01．（天津）东方商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍可获利10%,则该商品的标价为（ ）

A． 2160元 B．2613.6元 C．2640元 D．2722.5元 02．（武汉）某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，

在这次买卖中，这家商店（ ） A．不赔不赚 B．赚了8元 C．赔了8元 D．赚了32元 03．（太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年

利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了13.5元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为（ ） A．1000元 B．2000元 C．4000元 D．3000元 04．（宁夏）某乡中学现有学生500人，计划一年后女生增加3%，男生在校生增加4%，这样

在校学生将增加3.6%，那么该校现有女生和男生人数分别是（ ） A．200和300 B．300和200 C．320和180 D．180和320 05．（石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组8人，后来由于器材不够重

新编组，每组12人，这样比原来少2组，问这些学生有（ ） A． 48人 B．24人 C．36人 D．60人 06．（银川）一列火车通过890米的大桥需要55秒，同样的速度穿过690米隧道需要45秒，

则这列火车长（ ） A．210米 B．230米 C．250米 D．270米 07．（重庆）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不

高于800元不纳税；⑵稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800的那一部分的14%的税；⑶稿费高于4000元缴纳全部稿费的11%的税?今知王教授出版了一本著作获得了一笔稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是_______元? 08．（重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重

60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合?如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克? 09．（福州）小明去文具店购买2B铅笔，店主说“如果多买一些给你打八折?”小明算了一

下，如果买50支，比按原价购买便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少？ 10．（北京）甲、乙两地相距416千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，汽车

开出1小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍，摩托车开出几小时后，才能与汽车相遇？ 11．（山西）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1元/条，发送网际短信

0.15元/条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短息各多少条？

12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1:2:4.7，现要配制这

种中药2100克，四种草药成分分别需要多少克？

13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，

为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品每件的成本应该降低多少元？

14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优

惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算? 15．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，

B型每台4000元，C型每台2500元，学校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由?

0.15元/条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短息各多少条？

12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1:2:4.7，现要配制这

种中药2100克，四种草药成分分别需要多少克？

13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，

为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品每件的成本应该降低多少元？

14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优

惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算? 15．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，

B型每台4000元，C型每台2500元，学校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由?

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