(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习 第8章 第7节 抛物线 文 湘教版

2009~2013年高考真题备选题库

第8章 平面解析几何

第7节 抛物线

考点 抛物线的定义、标准方程、几何性质

1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( ) A．2 B．22 C．23 D．

4

解析：本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力．由题意知抛物线的焦点F(2，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝2，所以xP＝32，代入抛物线方1

程求得yP＝6，所以S△POF＝|OF|·yP＝3.

2答案：C

2．（2013山东，5分）抛物线C1：y＝

1x2

x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：y2＝1的右焦点2p3

的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平等于C2的一条渐近线，则p＝( ) A.

33

168

24 D.33

解析：本题主要考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力．由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为y＝

t23

t，，设M 2p3

pt3

0，双曲线的右焦则利用求导得切线的斜率为＝，p＝3t.易知抛物线的焦点坐标为 2p30－26243t点坐标为(2,0)，则点 0，，(2,0)， t， 共线，所以，解得t＝326 2－0t－0 4以p＝3

答案：D 3．（2013江西，5分）已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( ) A．25 B．1∶2 C．1∶5 D．1∶3

解析：本题主要考查抛物线的定义、标准方程等基础知识，考查数形结合思想与分析、解决问题的能力．过点M作MM′垂直于准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知|MM′|＝|FM|，|FM||MM′|所以＝sin ∠MNM′，而∠MNM′为直线FA的倾斜角α的补角．

|MN||MN|

11

因为直线FA过点A(2,0)，F(0,1)，所以kFA＝－＝tan α，所以sin α＝所以sin ∠MNM′

25＝

1

.故|FM|∶|MN|＝15. 5

答案：C 4．（2013北京，5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．

解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力． pp

因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x1.

22答案：2 x＝－1

5．（2013浙江，14分）已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)． (1)求抛物线C的方程；

(2) 过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．

解：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．

p

(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)1，

2所以抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.

y＝kx＋1，由 消去y，整理得x2－4kx－4＝0， x2＝4y，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x1－x2|＝k2＋1. y1 y＝x1，由 y＝x－2，

2x12x18解得点M的横坐标xM＝x214－x1x1－y1

x1－

48

同理点N的横坐标xN.

4－x2所以|MN|＝2|xM－xN|

88

＝ 4－x14－x2

x1－x2 ＝2

x1x2－＋＋16

＝

2 k2＋1

.

|4k－3|

t＋3

令4k－3＝t，t≠0，则k＝4当t>0时，|MN|＝2 当t<0时， |MN|＝22

＋2. t2t

＋2＋16≥82. t5255

2548

综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是2.

335

x2y2

6．（2012山东，5分）已知双曲线C1＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2

a2b2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( ) 3163

A．x2＝y B．x2＝33C．x2＝8y D．x2＝16y

bc

解析：双曲线的渐近线方程为y＝，由于aa

a2＋b2

＝ a2

b

1＋＝2，所以＝3，所

aa

p2p

以双曲线的渐近线方程为y＝3x.抛物线的焦点坐标为(0，所以2，所以p＝8，所以

22抛物线方程为x2＝16y.

答案：D 7．（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ) A．18 B．24 C．36 D．48

pp

解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为0)，将x代入y2＝2px可得y2＝p2，

221

|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为

2×6×12＝36. 答案：C 8．（2011山东，5分）设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2]

C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要

|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 答案：C 9．（2011辽宁，5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )

3A. 45 4

B．1 7D. 4

1

解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)

21315－＝. 4244

答案：C 10．（2010湖南，5分）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．12

p4

解析：由抛物线的方程得＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.

22答案：B 11．（2012安徽，5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.

解析：抛物线y2＝4x准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由抛物线关于x轴对称，假设2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝22(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2113－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2，故|BF|＝2223

答案：2

12.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．

解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所

以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为6. 答案：26 13．（2012江西，13分）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|MA＋MB|＝OM·(OA＋OB)＋2.

(1)求曲线C的方程；

(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是(0，－1)，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比． 解：(1)由MA＝(－2－x,1－y)，MB＝(2－x,1－y)，得 |MA＋MB|＝－

＋－

，

OM·(OA＋OB)＝(x，y)·(0,2)＝2y，

由已知得－

＋－2y＝2y＋2，

化简得曲线C的方程是x2＝4y.

x0

(2)直线PA，PB的方程分别是y＝－x－1，y＝x－1，曲线C在Q处的切线l的方程是y＝

2x20x

4

且与y轴的交点为F(0，－

x20， 4

y＝－x－1，

分别联立方程，得 x0x20

y＝－， 24

y＝x－1， x0－2

x0x2解得D，E的横坐标分别是xD＝02y＝x－ 24

xE＝x0＋22，则xE－xD＝2，|FP|＝1－x20

4

故S△PDE12|xE－xD|＝12·(1－x20

4－x2042＝4，而S△QAB＝1x204－x2

0S△QAB2·4·(1－4)＝2S△PDE2.

即△QAB与△PDE的面积之比为2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4de1.html