期望方差（完美知识点试题） - 图文

教 师姓 名 学 科 课 题 教 学 目 标 教 学 重 难 点 数学 学生姓名 年级 学管师 上课时间 月 日 __ : -- _ _ : 数学期望 知识内容 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X,Y,表示． 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值xi与该取值对应的概率pi(i?1,2,,n)列表表示： 教 学 过 程 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中0?p?1，q?1?p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.2 两点分布又称0?1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 n?mCmMCN?M(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)． P(X?m)?CnN我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X?m)，从而列出X的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．n次独立kn?k(k?0,1,2,,n)． 重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)?Cknp(1?p)2．二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q?1?p，那么在n次独立重复试验中，事kn?k件A恰好发生k次的概率是P(X?k)?Ck，其中k?0,1,2,npq,n．于是得到X的分布列 X P 0 0nC0npq 1 1n?1 C1npq… … k kn?k Cknpq… … n n0Cnnpq n0Cnnpq 0n11n?1k由于表中的第二行恰好是二项展开式(q?p)n?C0??Cnpkqn?k?npq?Cnpq各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作X~B(n,p)． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 E(X)?np，D(x)?npq(q?1?p)． ⑷正态分布 1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线． b之间曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数a，的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量y的概率分布近似服从正态分布． x=μ服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)?12π??e?(x??)22?2，x?R，其中?，?是参数，且??0，???????． 式中的参数?和?分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为?、标准Ox差为?的正态分布通常记作N(?,?2)． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间(???,???)，(??2?,??2?)，(??3?,??3?)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ??)内的取值的概率为1，在区间(??3?，??3?)之外的取值的概率是0.3%，②正态变量在(??， 故正态变量的取值几乎都在距x??三倍标准差之内，这就是正态分布的3?原则． ⑷若?~N(?，?2)，f(x)为其概率密度函数，则称F(x)?P(?≤x)????f(t)dt为概率分布函数，特x1?t2???2edt为标准正态分布函数． 别的，~N(0，1)，称?(x)?????2πx??P(??x)??()． ?标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得． 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可． 2x 3．离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(x)?x1p1?x2p2??xnpn，叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）． 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)?(x1?E(x))2p1?(x2?E(x))2p2??(xn?E(x))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差． 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）． D(X)的算术平方根D(x)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量． b为常数，则E(aX?b)?aE(X)?b，3．X为随机变量，a，D(aX?b)?a2D(X)； 4． 典型分布的期望与方差： ⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np． ⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)?np，D(x)?npq(q?1?p)． M，n的超几何分布， ⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，n(N?n)(N?M)MnM则E(X)?，D(X)?． 2N(N?1)N 4．事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)?P(B)， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的An)?P(A1)?P(A2)??P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件积，即P(A1A2后等式仍成立． 5．条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示．把由事件A与B的交（或积），记做D?AB（或D?AB）．

典例分析 A．3 【例1】 投掷1枚骰子的点数为?，则?的数学期望为（ ） B．3.5 C．4 D．4.5 【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为?，则?的数学期望是（ ） A．20 B．25 C．30 D．40 2，3，4，5，6这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ． 【例3】 从1， 【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目?的期望为（ ） A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4 【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c??0，1?），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为（ ） 1A． 48B．1 24 C．1 12 D．1 6P2(P【例6】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为P已知该题被甲或乙解出的概1，1?P2)，率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求： P2； ⑴P1，⑵解出该题的人数X的分布列及EX． 【例7】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试

1合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求签约人数?的数学期望． 2 【例8】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示： 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30 ⑴根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； ⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，?表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望． 【例9】 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人2参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率31均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有2的考试机会，记他参加考试的次数为?，求?的数学期望E?． 【例10】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、

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